משוואות וזהויות טריגונומטריות הנפתרות על ידי הוצאת גורם משותף

פתרון משוואות טריגונומטריות על ידי הוצאת גורם משותף זו טכניקה בסיסית שעליכם לדעת.
במעט מקרים גם נוסחאות הכפל המקוצר ישמשו אותכם על מנת לפתור תרגילים.
(a² – b²= (a-b)*(a+b
a+b)²= a²+2ab+b²)
a-b)²= a²-2ab+b²)

במספר מצומצם עוד יותר של מקרים גם פירוק לגורמים על פי קבוצות יכול להיות שימושי (בעיקר לתלמידי אוניברסיטה).

דרך הפתרון בשיטה זו מתבססת על כך שאם יש מכפלת איברים השווה ל 0 אז לפחות אחד האיברים שווה ל 0.
כלומר אם:
x*y = 0
אז x  ו / או y שווים ל 0.

דוגמה 1
sin²x + 0.5sinx = 0

פתרון
sin²x + 0.5sinx = 0
sin x (sinx + 0.5) = 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 360k
או
x = 180 – 0 ± 360k
את שתי האפשרויות הללו ניתן להציג על ידי
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
sinx + 0.5 = 0
sin x = -0.5
x = 330 ± 360k
או
x = 210 ± 360k

תשובה: הפתרונות הם:
x = 0 ± 180k
x = 330 ± 360k
x = 210 ± 360k

דוגמה 2
tg²x – 0.16 = 0

פתרון
tg²x – 0.16 = 0
על פי נוסחת הכפל המקוצר:
(a² – b²= (a-b)*(a+b
נקבל:
tg x + 0.4) (tg x – 0.4) = 0)

אפשרות ראשונה
tg x + 0.4 = 0
tg x = -0.4
x = 158.2 ± 180k

אפשרות שנייה
tg x – 0.4 = 0

tg x = 0.4
x = 21.8 ± 180k

דוגמה 3
cos x + tgx =1

פתרון
נשתמש בזהות:
tg x = sin x/ cos x

cos x + sin x / cos x = 1  /*cos x
cos²x + sin x =1
נשתמש בזהות:
cos²x = 1 – sin²x

נקבל:
sin x + 1 – sin²x = 1
sinx -sin²x = 0
sin x (1 – sinx) = 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
sin x = 1
x = 90 ± 360k

תרגילים

  1.    cos x + 2cos² x = 0
  2.    sin2x – sin x = 0
  3.    cos x *sin² + cos³x = 0
  4.   cos x *sin² – cos³x = 0
  5.   cos x + sin² x = 1
  6.   2tg²x + 2tgx + tgx + 1 = 0

פתרונות

בפתרונות נפרט השלב של מציאת המכנה המשותף ואקצר בכתיבת התשובה הסופית, דבר שאתם אמורים כבר לדעת.

תרגיל 1
cos x + 2cos² x = 0

פתרון
נוציא cos x גורם משותף.
cos x (1 + 2cosx) = 0
יש שתי אפשרויות פתרון:
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה
2cos x + 1 = 0  / -1
2cos x = -1  / : 2
cosx = -0.5
x = 120 ± 360k
או
x = 240 ± 360k

תשובה: x =90 +180k,  x = 120 + 360k
x = 240 ± 360k

תרגיל 2
sin2x – sin x = 0
נשתמש בזהות של sin 2x ונקבל:
2sinx cos x – sin x = 0
sin x (2cos x – 1)= 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
2cos x -1= 0  /+1
2cos x = 1  / : 2
cos x = 0.5
x = 60 ± 360k
או
x = 300 ± 360k

תשובה:   x = 0 ± 180k,  x = 60 ± 360k,  x = 300 ± 360k

תרגיל 3
cos x *sin² + cos³x = 0

פתרון
cos x (sin²x + cos²x ) = 0
נשתמש בזהות:
sin²x + cos²x = 1
ונקבל:
cos x * 1 = 0

הפתרון הוא:
x = 90 ± 180k

תרגיל 4
cos x *sin²x – cos³x = 0

פתרון
cos x (sin²x – cos²x) = 0
cos x * -(cos²x – sin²x) = 0
נשתמש בזהות:
cos²x – sin²x = cos 2x
נקבל:
cos x * (-cos 2x) = 0
cos x * cos 2x = 0

אפשרות ראשונה:
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה:
cos 2x = 0
2x = 90 ± 180k
x = 45 ± 90k

תשובה: הפתרונות הם:
x = 90 ± 180k,  x = 45 ± 90k

תרגיל 5
cos x + sin² x = 1

פתרון
נשתמש בזהות:
sin² x = 1 – cos²x
ונקבל:
cos x +1 – cos²x = 1
cos x – cos²x = 0
cos x (1 – cos x) = 0

אפשרות ראשונה
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה
cos x = 1
x = 0 ± 180k

תשובה:
x = 90 ± 180k,  x = 0 ± 180k

תרגיל 6
2tg²x + 2tgx + tgx + 1 = 0

פתרון
נוציא גורם משותף לשני האיברים הראשונים ולשני האיברים האחרונים.
2tg x (tg x +1) +1(tg x +1) = 0
2tg x +1) (tg + 1) = 0)

אפשרות ראשונה
2tg x +1 = 0
2tg x = -1
tg x = -0.5
x = 153.43 ± 180k

אפשרות שנייה
tg + 1 = 0
tg x = -1
x = 135 ± 180k

תשובה:
x = 153.43 ± 180k,    x = 135 ± 180k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות – הדף הראשון בנושא.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות ? כתבו לי ואתקן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.