זהויות טריגונומטריות

בדף זה תמצאו טיפים לפתרון זהויות טריגונומטריות + הזהויות עצמן:

  1. טיפים לפתרון זהויות טריגונומטריות.
    1.1 סיכום הטיפים.
  2. זהויות טריגונומטריות.
    2.1  זהויות טריגונומטריות יסודיות.
    2.2 זהויות טריגונומטריות של סכום והפרש זוויות.
    2.3 זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה.
    2.4 זהויות טריגונומטריות של חצי זווית.
    2.5 זהויות טריגונומטריות לסכום והפרש שתי פונקציות.
    2.6 זהויות טריגונומטריות למכפלה של פונקציות.

1. סיכום טיפים לפתרון משוואות וזהויות טריגונומטריות

הפתרון של זהויות טריגונומטריות הוא פתרון עם דרך פחות ברורה ויחידה ביחס למרבית השאלות במתמטיקה. בכל זאת יש כמה רמזים לדרך בה אתם צריכים ללכת.

1. פתרון משוואות בסיסיות

למשוואה טריגונומטרית בסיסית כמו:
sin x = a
יש 2 פתרונות בתחום 0-360 מעלות.
פתרון אחד נקבל דרך המחשבון ופתרון שני מתקבל על ידי הזהות הטריגונומטרית:
(sin x = sin (180- x

למשל עבור
sin x = 0.5
במחשבון נקבל:
x = 30
ובאמצעות הזהות נקבל
x = 180 – 30 = 150

עבור פונקציית הקוסינוס הפתרון השני מתקבל על ידי הזהות הטריגונומטרית
(cos x = cos (-x

עבור פונקציית הטנגס הפתרון השני מתקבל על ידי הזהות הטריגונומטרית
(tg x = tg (180 + x

2.פתרון משוואות וזהויות בהם יש מינוס לפני הפונקציה הטריגונומטרית

כאשר יש לנו משוואה הנראית כך:
sin x = – sin 2x

נשתמש בזהויות המאפשרות לנו להכניס את המינוס "לתוך הזוויות"
עבור הסינוס הזהות היא:
(sin x = sin (-x-
לכן נקבל את המשוואה
(sin x =  sin (-2x
ואת המשוואה הזו למדנו לפתור בסעיף הקודם.

הזהויות המאפשרות להכניס את המינוס הן:

  • (sin x = sin (-x-
  • (cos x = cos (180 – x-
  • (tg (x) = tg (-x –

הסבר מלא בדף משוואות וזהויות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.

3 טכניקות אלגבריות שצריך לדעת

3.משוואות עם חזקה

משוואה הנראית כך:
sin² x = 0.36
ניתן לפתור על ידי הוצאת שורש, שבעקבותיה נקבל שתי משוואות
sin x = 0.6  או   sin x = -0.6
לשתי המשוואות הללו יש 4 פתרונות בתחום 0-360.

ניתן לפתור את התרגיל גם באמצעות שימוש בזהות הטריגונומטרית:

ואז נקבל:
0.5cos 2x + 0.5 = 0.36-
cos 2x = 0.28
למשוואה זו יש 2 פתרונות בתחום 0-360 ולכן הפתרון בדרך זו קצר יותר.

עבור משוואה מהסוג:
cos ² x = 0.36
ניתן להשתמש בזהות הטריגונומטרית:

עבור משוואה מהסוג:
tg ² x = 0.36
אין זהות טריגונומטרית שניתן להשתמש בה וחייבים להוציא שורש, כפי שלמדנו למעלה.

4.הוצאת גורם משותף

זו טכניקה אלגברית בסיסית.
למשל:
sin ² x + sin x   = 0
sin x (sin x + 1) = 0

sin x = 0  או   sin x + 1 = 0

5.הפיכת המשוואה למשוואה ריבועית

את המשוואה
sin ² x + sin x – 2 = 0
ניתן לכתוב ולפתור כמשוואה ריבועית:
t² + t -2 = 0

זהויות טריגונומטריות היכולות לסייע לנו להפוך משוואה טריגונומטריות למשוואה ריבועית הן:
sin²x + cos²x = 1
cos 2x = cos ²x – sin²x

למשל:
sin x + cos² x = 0
sin x + 1 – sin ²x = 0
sin ² x + sin x + 1 = 0-
t² + t + 1 = 0-

6.משוואות טריגונומטריות עם פונקציות טריגונומטריות שונות

עבור משוואה מהסוג:
sin x = cos x
יש שתי דרכים לפתור.

דרך ראשונה
נשתמש בזהות:
(sin x = sin  (90 – x
ונקבל:
(sin x = sin (90 – x
זו משוואה עם אותה פונקציה טריגונומטרית שאנו כבר יודעים לפתור.

דרך שנייה
נחלק את המשוואה ב cos x ונקבל:
tg x = 1
וגם זו משוואה  שאנו יודעים לפתור.

כאשר אנו מחלקים ב cos x אנו צריכים להוציא מתחום ההצבה את המקרים שבהם cos x = 0.
x ≠ 90 ± 180k

כאשר המשוואה כוללת מקדם שהוא מספר, למשל:
sin x = 2cos x
אנו יכולים להשתמש רק בדרך השנייה ולחלק ב cos x, הדרך הראשונה לא עובדת.

כללים מנחים נוספים

8. הופכים את הביטוי המורכב לפשוט ולא להפך

כאשר יש בצד אחד של המשוואה ביטוי מורכב ובצד השני ביטוי פשוט, בדרך כלל קל יותר להפוך את הביטוי המורכב לפשוט.

במקרה זה ניקח את הפונקציות שמצד שמאל וננסה להפוך אותם ל- 2 ולא ניקח את ה- 2 ולהפוך אותו לביטוי מורכב.
פתרון של תרגיל זה בסעיף 6.

9. מסתכלים על המטרה

כאשר אתם מפתחים את הצד המורכב הסתכלו על הצד "הפשוט" והסתכלו מה הוא כולל. אם יש בו פונקציה sin 2x עליכם לשאוף להגיע אל זווית שהיא 2x ולהיפתר מכל מה שהוא לא פונקציית סינוס.

9.כאשר יש מספר מכנים בדקו אם יצרת מכנה משותף אחד מקדמת אותכם

כאשר הצד המורכב שלכם כולל מספר מכנים בדקו אם יצירת מכנה משותף מבטלת חלק מהגורמים במונה או במכנה.

ניצור מכנה משותף לשני השברים שבצד שמאל:

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר להפרש ריבועים במכנה:
(a² – b²= (a-b)*(a+b
נפתח סוגריים במונה ונקבל:

במכנה נשתמש בזהות
sin²x = 1 – cos²x
במונה נכנס איברים.

2sin²x = 2
sin²x = 1
למשוואה זו שתי אפשרויות
אפשרות ראשונה
sin x = 1
x = 90 + 360k

אפשרות שנייה
sin x = -1
x = 270 + 360K

הפתרון
x = 90 + 360k
x = 270 + 360K

10. כאשר יש לכם מכנה ושני גורמים במונה בדקו אם פירוק השבר לשניים עוזר

כותבי זהויות ומשוואות לוקחים לפעמים משהו פשוט והופכים אותו למסובך יותר. אחת הדרכים להפוך משהו למסובך היא ליצור מכנה משותף.
פרקו שברים שאפשר לשניים ובדקו אם זה מקדם אותכם.
למשל:

פתרון

נפצל את המונה לשני חלקים

נפצל את המונה לשני חלקים

נצמצם מונה ומכנה

נצמצם מונה ומכנה

נכפיל במכנה המשותף cosx + sinx ונקבל:

sin²x + cos²x = 2sinx cos x + 2sin²x
cos ² x – sin²x = 2sinx cos x

נשתמש בשתי הזוויות:
(sin (2a) = 2sin(a)cos(a.
. cos (2a) = cos²a-sin²a

נקבל:
cos 2x = sin 2x
נחלק ב cos 2x
כאשר
2x ≠ 90 + 180k
x ≠ 45 + 90k

נקבל:
tg 2x = 1
2x = 45 + 180k
x = 22.5 + 90k
פתרון זה נמצא בתוך תחום ההגדרה ולכן הוא גם התשובה הסופית.

הערה
אם שמתם לב טיפ מספר 10 ומספר 9 הם טיפים הפוכים.
וזה בגלל שיש דרכים שונות לסבך שאלות ודרכים שונות להתמודד עם הסיבוכים הללו.

2.זהויות טריגונומטריות

 2.1 זהויות טריגונומטריות יסודיות

1.   sin ² a + cos ²a=1
2.   (sin a = cos (90-a.
3.   (sin a = sin (180-a.
4.    sin (-a) = -sin a.
5.   (sin (a) = sin (360 +a.
6.   (cos a = cos (-a.
7.  (cos a = -cos (180-a.
8.  (cos a = sin (90-a.
9.  (cos a= cos (360+a.
10. (tan a = -tan (-a
11.  tg²a + 1 = 1/cos²a
12.  cot²a + 1  = 1/ sin²a

2.2 זהויות טריגונומטריות של סכום והפרש זוויות

זהויות טריגונומטריות לסכום זוויות

1.(sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b.
2. (cos (a+b) = cos (a) cos (b) – sin (a) sin (b.

זהויות טריגונומטריות להפרש זוויות

5. (sin (a-b) = sin (a) cos (b) – cos (a) sin (b.
6. (cos (a-b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b.

 

2.3 זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה

1. (sin (2a) = 2sin(a)cos(a.
2. cos (2a) = cos²a-sin²a =1 – 2sin²a = 2cos²a-1.

 

2.4 זהויות טריגונומטריות של חצי זווית

 

2.5 זהויות טריגונומטריות לסכום והפרש שתי פונקציות

2.6 זהויות טריגונומטריות למכפלה של פונקציות

1.(sin (a) cos (b) = 0.5 (sin (a+b) +sin (a-b.
2. (cos (a) sin (b) = 0.5 (sin (a+b) –sin (a-b
3. (cos (a) cos (b) = 0.5 (cos(a+b) +cos (a-b.
4. (sin (a) sin (b) = 0.5 (cos(a+b) – cos (a-b.

עוד באתר בנושא טריגונומטריה:

  1. משוואות טריגונומטריות – הסברים לפתרונות + פתרונות מלאים לתרגילים הכוללים שילוב של זהויות ומשוואות.
  2. טריגונומטריה – הדף הראשי, כולל קישורים לנושאים נוספים בתחום.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.