זהויות טריגונומטריות

בדף זה תמצאו טיפים לפתרון זהויות טריגונומטריות + הזהויות עצמן:

  1. טיפים לפתרון זהויות טריגונומטריות.
    1.1 סיכום הטיפים.
  2. זהויות טריגונומטריות.
    2.1  זהויות טריגונומטריות יסודיות.
    2.2 זהויות טריגונומטריות של סכום והפרש זוויות.
    2.3 זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה.
    2.4 זהויות טריגונומטריות של חצי זווית.
    2.5 זהויות טריגונומטריות לסכום והפרש שתי פונקציות.
    2.6 זהויות טריגונומטריות למכפלה של פונקציות.

1. טיפים לפתרון משוואות וזהויות טריגונומטריות

הפתרון של זהויות טריגונומטריות הוא פתרון עם דרך פחות ברורה ויחידה ביחס למרבית השאלות במתמטיקה. בכל זאת יש כמה רמזים לדרך בה אתם צריכים ללכת.

.1 הופכים את הביטוי המורכב לפשוט ולא להפך

כאשר יש בצד אחד של המשוואה ביטוי מורכב ובצד השני ביטוי פשוט, בדרך כלל קל יותר להפוך את הביטוי המורכב לפשוט.

ביטוי מורכב בצד שמאל לעומת ביטוי פשוט בימין

ביטוי מורכב בצד שמאל לעומת ביטוי פשוט בימין

במקרה זה ניקח את הפונקציות שמצד שמאל וננסה להפוך אותם ל- 1 ולא ניקח את ה- 1 ולהפוך אותו לביטוי מורכב.

2. מסתכלים על המטרה

כאשר אתם מפתחים את הצד המורכב הסתכלו על הצד "הפשוט" והסתכלו מה הוא כולל. אם יש בו פונקציה sin 2x עליכם לשאוף להגיע אל זווית שהיא 2x ולהיפתר מכל מה שהוא לא פונקציית סינוס.

3 .כאשר יש רק סינוס וקוסינוס במשוואה

בעיקר כאשר יש לכם רק סינוס וקוסינוס במשוואה בדקו את האפשרות לחלק בפונקציה טריגונומטרית (סינוס או קוסינוס) על מנת ליצור משוואה עם פונקציה טריגונומטרית אחת (טנגס או קוטנגס).

לפעמים תתקלו במשוואה כמו:
2cos x + √2 sinx = 0
אשר הדרך הנוחה לפתור אותה היא על ידי חילוק ב  (2√ * cosx).
וכך ליצור פונקציה טריגונומטרית יחידה tan x
tan x +√2=0

4. הוצאת גורם משותף היא טכניקה בסיסית

חפשו דרכים להוציא גורם משותף. עשו זאת על מנת להשוות את הביטוי ל-0 או על מנת לצמצם מונה ומכנה.
sin x + 2sinx cosx=0
sin x (1+2cos x)=0
sin x =0 או 2cosx +1 =0
ומכאן הפתרון פשוט.

5.המרת הזהות הטריגונומטרית למשוואה ריבועית

שימו לב אם אתם יכולים להגדיר את אחד הפונקציות הטריגונומטריות למשתנה שיהפוך את הזהות למשוואה ריבועית.
למשל: cos²x +cos x +4=0
נגדיר: cos x=t
t²+t+4=0
ואת זה יותר קל לפתור.

6.כאשר יש מספר מכנים בדקו אם יצרת מכנה משותף אחד מקדמת אותכם

כאשר הצד המורכב שלכם כולל מספר מכנים בדקו אם יצירת מכנה משותף מבטלת חלק מהגורמים במונה או במכנה.

tg² x + cot²x = 0

התרגיל הזה יפתר על ידי יצירת מכנה משותף לשני הגורמים.

7. כאשר יש לכם מכנה ושני גורמים במונה בדקו אם פירוק השבר לשניים עוזר

כותבי זהויות ומשוואות לוקחים לפעמים משהו פשוט והופכים אותו למסובך יותר. אחת הדרכים להפוך משהו למסובך היא ליצור מכנה משותף.
פרקו שברים שאפשר לשניים ובדקו אם זה מקדם אותכם.
למשל:

פתרון

נפצל את המונה לשניים ונצמצם

נפצל את המונה לשניים ונצמצם

סיכום הטיפים

  1. הופכים את הביטוי המורכב לפשוט ולא להפך
  2. מסתכלים על המטרה ומסירים את הפונקציות שאינן קשורות.
  3. בעיקר כאשר יש לכם רק סינוס וקוסינוס במשוואה בדקו את האפשרות לחלק בפונקציה טריגונומטרית על מנת ליצור משוואה עם פונקציה טריגונומטרית אחת
  4. הוצאת גורם משותף היא טכניקה בסיסית
  5. המרת הזהות הטריגונומטרית למשוואה ריבועית
  6. כאשר יש מספר מכנים בדקו אם יצרת מכנה משותף אחד מקדמת אותכם
  7. כאשר יש לכם מכנה ושני גורמים במונה בדקו אם פירוק השבר לשניים עוזר.

2.זהויות טריגונומטריות

 2.1 זהויות טריגונומטריות יסודיות

1.   Sin ² a + cos ²a=1
2.   (sin a = cos (90-a.
3.   (sin a = sin (180-a.
4.    sin (-a) = -sin a.
5.   (sin (a) = sin (360 +a.
6.   (cos a = cos (-a.
7.  (cos a = -cos (180-a.
8.  (cos a = sin (90-a.
9.  (cos a= cos (360+a.
10. (tan a = -tan (-a
11.  tg²a + 1 = 1/cos²a
12.  cot²a + 1  = 1/ sin²a

2.2 זהויות טריגונומטריות של סכום והפרש זוויות

זהויות טריגונומטריות לסכום זוויות

1.(sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b.
2. (cos (a+b) = cos (a) cos (b) – sin (a) sin (b.

זהויות טריגונומטריות להפרש זוויות

5. (sin (a-b) = sin (a) cos (b) – cos (a) sin (b.
6. (cos (a-b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b.

 

2.3 זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה

1. (sin (2a) = 2sin(a)cos(a.
2. cos (2a) = cos²a-sin²a =1 – 2sin²a = 2cos²a-1.

 

2.4 זהויות טריגונומטריות של חצי זווית

 

2.5 זהויות טריגונומטריות לסכום והפרש שתי פונקציות

2.6 זהויות טריגונומטריות למכפלה של פונקציות

1.(sin (a) cos (b) = 0.5 (sin (a+b) +sin (a-b).
2. (cos (a) sin (b) = 0.5 (sin (a+b) –sin (a-b)
3. (cos (a) cos (b) = 0.5 (cos(a+b) +cos (a-b).
4. (sin (a) sin (b) = 0.5 (cos(a+b) -cos (a-b).

עוד באתר בנושא טריגונומטריה:

  1. משוואות טריגונומטריות – הסברים לפתרונות + פתרונות מלאים לתרגילים הכוללים שילוב של זהויות ומשוואות.
  2. טריגונומטריה – הדף הראשי, כולל קישורים לנושאים נוספים בתחום.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.