משוואות טריגונומטריות עם פונקציה זהה

תקציר

בדף זה נפתור תרגילים בהם משני צדדי המשוואה יש את אותה פונקציה טריגונומטרית.
למשל:
(cos (2x – 30) = cos (4x  + 10

כפי שתראו הפתרון של המשוואות הללו מאוד מאוד דומות לפתרון של משוואות טריגונומטריות הנראות כך:
cos (2x – 30) = 40

הזהויות הטריגונומטריות בהם נשתמש על מנת לפתור תרגילים מסוג זה:

  • (sin x = sin (x + 360k
  • (sin x = sin (180-x
  • (cos x = cos (x + 360k
  • (cos x = cos (-x
  • (tg x = tg (x + 180k

פתרון משוואת קוסינוס נראה כך:
(cos (2x – 30) = cos (4x  + 10

אפשרות ראשונה על פי הזהות הטריגונומטרית (cos x = cos (x + 360k
2x – 30 = 4x + 10 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות הטריגונומטרית  (cos a = cos (-a
2x – 30 = – (4x + 10) ± 360k

פתרון פונקציית הסינוס נראה כך:
(sin (3x – 10) = sin (x – 20

אפשרות ראשונה על פי הזהות (sin x = sin (x + 360k
3x – 10 = x – 20 ± 360k
2x = – 10 ± 360k
x = -5 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הזהות הטריגונומטרית (sin x = sin (180-x
3x – 10 = 180 – (x -20) ± 360k
4x =210 ± 360k
x = 52.5 ± 90k

פתרון פונקציית הטנגס נראה כך:
(tg (5x) = tg (2x – 60

הפתרון הוא על פי הזהות (tg x = tg (x + 180k
5x = 2x – 60 ± 180k
3x = -60 ± 180k
x = -20 ± 60k

הערה
נזכור שבפונקציית הטנגנס מוסיפים 180k לפתרון הראשון וזה נותן לנו את שתי הפתרונות בתחום של 360 מעלות.
אין צורך למצוא שני פתרונות למשוואה.

תרגילים

  1.   (sin 5x = sin (2x + 60
  2.   (cos (2x -20) = cos (-3x +15
  3.   (tg 3x = tg (x +30

פתרונות
(sin 5x = sin (2x + 60

אפשרות ראשונה
5x = 2x + 60 ± 360k
3x = 60 ± 360k  / :3
x = 20 ± 120k

אפשרות פתרון שנייה על פי הנוסחה  (sin x = sin (180-x
5x = 180 – 2x – 60 ± 360k
7x = 120 ± 360k  / : 7
x = 17.14 ± 51.43k

תשובה: x1 = 20 ± 120k,   x2 = 17.14 ± 51.43k

(cos (2x -20) = cos (-3x +15

אפשרות פתרון ראשונה
2x -20 = -3x + 15 ± 360k
5x = 35 ± 360k  / : 5
x = 7 ± 72k

אפשרות פתרון שנייה על פי הנוסחה (cos x = cos (-x
2x -20 = 3x – 15 ± 360k
x = 5 ± 360k-
x = -5 ± 360k
( ה 360k מסמן את כיוון הפתרונות של התרגיל והוא לא משנה את כיוונו כאשר מחלקים או מכפילים במינוס).

תשובה: x1 = 7 + 72k,    x2 = -5 + 360k

(tg 3x = tg (x +30

3x = x + 30 ± 180k
2x = 30 + 180k  / : 2
x = 15 + 90k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות – הדף הראשון בנושא.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.