משוואות טריגונומטריות הנפתרות בעזרת משוואה ריבועית

את חלק מהמשוואות הטריגונומטריות ניתן להפוך למשוואה ריבועית.
יש משוואות שנוכל להפוך אותן באופן מיידי למשוואה ריבועית.
למשל:
cos²x + 3cosx + 2 = 0
נגדיר:
cos x = t
ואז ניתן לכתוב את המשוואה כך:
t² + 3t + 2 = 0

עכשיו נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל
t = -1,  t = -2
מציבים בחזרה cos x = t ומקבלים את המשוואות:
cos x = -2
זו משוואה ללא פתרון.
cos x = -1
x = 180 ± 360k

לסיכום שלבי הפתרון הם:

  1. כתיבת המשוואה כמשוואה ריבועית.
  2. פתרון המשוואה הריבועית.
  3. הצבה בחזרה, הפיכת הפתרונות למשוואה טריגונומטרית פשוטה שניתן לפתור.

זהויות שימושיות

שתי זהויות טריגונומטריות שימושיות המאפשרות ליצור משוואה ריבועית הן:
sin²x + cos²x = 1
cos 2x = cos ²x – sin²x

למשל:
sin x – cos²x – 0.5 = 0
נשתמש בזהות:
cos²x = 1 – sin²x
ונקבל:
sin x – (1 – sin²x) – 0.5 = 0
sin x -1 + sin²x – 0.5 = 0
sin²x + sin x – 1.5 = 0
נציב sin x = t
t² + t -1.5 = 0

וממשיכים את הפתרון כפי שראינו למעלה.

תרגילים

נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   sin²x + 4sinx + 3  = 0
  2.   8.5cos x – sin²x + 5 = 0
  3.   cos³x – 1.5cos²x – cosx = 0

תרגיל 1
sin²x + 4sinx + 3  = 0

פתרון
נציב sinx = t
ונקבל:
t² +4t + 3 = 0
זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
אראה כאן את הדרך של טרינום.
t² +4t + 3 = 0
t² + t + 3t + 3 = 0
t (t +1) + 3(t +1) = 0
t +1) (t +3) = 0)

אפשרות אחת
t + 3 = 0
t = -3
sin x = -3
מכוון שהערך הנמוך ביותר של sinx יכול להיות 1- פתרון זה אינו אפשרי.

אפשרות שנייה
t + 1 = 0
t = -1
sinx = -1
x = 270 ± 360k
זה הפתרון.

תרגיל 2
8.5cos x – sin²x + 5 = 0

פתרון
במשוואה זו יש לנו שילוב של cos x עם sin²x.
נשתמש בזהות:
sin²x = 1 – cos²x
ונקבל:

8.5cos x -1 + cos²x  + 5 = 0
cos²x + 8.5cos x + 4 = 0

נציב cos x = t ונקבל:
t² + 8.5t + 4 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
אראה כאן את הדרך של טרינום.
t² + 8.5t + 4 = 0
t² + 0.5t + 8t + 4 = 0
t (t + 0.5) + 8(t + 0.5) = 0
t + 8) (t + 0.5) = 0)

אפשרות ראשונה
t + 8 = 0
t = -8
cos x = -8
זה פתרון שאינו אפשרי.

אפשרות שנייה
t + 0.5 = 0
t = -0.5
cosx = -0.5
x = 120 ± 360k

על פי הכלל   (cos x = cos (-x
x = 240 ± 360k

תרגיל 3
cos³x – 1.5cos²x – cosx = 0

פתרון
נוציא cos x גורם משותף
cos x (cos²x – 1.5 cos x – 1) = 0

אפשרות ראשונה
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה
cos²x – 1.5 cos x – 1 = 0
נציב cos x = t
t² -1.5t – 1 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
אראה כאן את הדרך של טרינום
t² -1.5t – 1 = 0
t² -2t + 0.5t – 1 = 0
2t (0.5t – 1) + 1(0.5t – 1) = 0
2t + 1) (0.5t -1) = 0)

אפשרות ראשונה
2t + 1 = 0
2t = -1
t = -0.5
cos x = -0.5
x = 120 ± 360k
או
x = 240 ± 360k

אפשרות שנייה
0.5t – 1 = 0
0.5t = 1
t = 2
cos x = 2
זה פתרון שאינו אפשרי.

תשובה: הפתרונות שקיבלנו הם:
x = 90 ± 180k
או
x = 120 ± 360k
או
x = 240 ± 360k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות – הדף הראשון בנושא.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית (בדף זה).
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.