משוואות טריגונומטריות עם פונקציות טריגונומטריות שונות

בדף זה נדבר על משוואות טריגונומטריות הכוללות פונקציות טריגונומטריות שונות.
ניתן לחלק את המשוואות הללו ל 4 סוגים:

1.משוואות שבהם יש רק פונקציות, ללא מספרים.
למשל:
sin x = cosx
או
sin²x = cos²x

2.משוואות הכוללות מקדם לאחד הפונקציות
cosx = 2sinx

3.משוואות בהם יש פונקציות עם חזקות שונות.
למשל:
cosx = sin²x

4. משוואות הכוללות מספר חופשי.
למשל:
sin 2x + cos 2x = 0.7

סוג 1: ללא מקדמים ועם אותה חזקה

משוואות כמו
sin x = cosx
וגם:
7sin x = 7cosx
מכוון שהמקדם שווה ניתן לצמצם ולהגיע למשוואה ללא מקדם.

יש שתי דרכים לפתור משוואות מסוג זה:

  1. שימוש בזהות הטריגונומטרית (cos x = sin (90- x וכך ליצור משוואה עם פונקציה טריגונומטרית אחת.
  2. חלוקת המשוואה ב cos x כך מתקבלת משוואה tg x = a

דוגמה 1
sin x = cosx

פתרון
נשתמש בזהות (cos x = sin (90- x
נקבל:
(sin x = sin (90 – x

אפשרות ראשונה
x = 90 – x ± 360k
2x = 90 ± 360k
x = 45 ± 180k

אפשרות שנייה
על פי הזהות (sin x = sin (180 – x
הפתרון השני הוא:
x = 180 – (90 – x) ± 360k
x = 90 + x ± 360k
למשוואה זו אין פתרון.

תשובה: x = 45 ± 180k.

דוגמה 2
sin 2x – cos2x = 0

פתרון
sin 2x = cos 2x
נחלק את המשוואה ב cos 2x
(כאשר cos 2x ≠ 0
2x ≠ 90 ± 180k
x ≠ 45 ± 90k)

נקבל
tg 2x = 1
2x = 45 ± 180k
x = 22.5 ± 90k

הפתרון הזה נמצא בתחום ההגדרה לכן
x = 22.5 ± 90k  זו התשובה.

דוגמה 3 (עם חזקה ריבועית)
sin²x = cos²x

פתרון
ניתן לפתור את התרגיל בשתי דרכים.
לחלק את הפונקציה ב cos²x
כאשר cos²x ≠ 0
x ≠ 90 ± 180k

לאחר החילוק נקבל
tg² x = 1

אפשרות ראשונה
tg = 1
x = 45 ± 180k

אפשרות שנייה
tg = -1
x = 135 ± 180k

תשובה:
x = 135 ± 180k,    x = 45 ± 180k

דרך שנייה לפתור את התרגיל
sin²x = cos²x
sin²x – cos²x = 0

נשתמש בזהות:
cos²x – sin²x = cos 2x
נקבל:
cos 2x = 0-
cos 2x = 0
2x = 90 ± 180k
x = 45 ± 90k

דוגמה 4 (עם טנגס)
cos x + tgx =1

פתרון
נשתמש בזהות:
tg x = sin x/ cos x

cos x + sin x / cos x = 1  /*cos x
cos²x + sin x =1
נשתמש בזהות:
cos²x = 1 – sin²x

נקבל:
sin x + 1 – sin²x = 1
sinx -sin²x = 0
sin x (1 – sinx) = 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
sin x = 1
x = 90 ± 360k

סוג 2: משוואות הכוללות מקדמים

למשל המשוואה:
sin x = 2cos x

משוואות מסוג זה פותרים על ידי חלקה של שני צדדי המשוואה ב cos x, כפי שעשינו קודם לכן.

  • לא ניתן לפתור אותם בעזרת הפיכת cos x ל (sin (90 – x כפי שעשינו קודם.

דוגמה 1
sin x = 2cos x

פתרון
נחלק את המשוואה ב cos x כאשר התנאי הוא:
cos x ≠ 0
x ≠ 90 ± 180k

לאחר החלוקה נקבל:
tg x = 2
x = 63.43 ± 180k

תרגילים

תרגילים אלו כוללים תרגילים של משוואות מהסוג הראשון והשני.

  1.   4sinx – 4cosx = 0
  2.   4sinx + 4cosx = 0
  3.   2sin 3x = 3cos 3x

פתרונות

תרגיל 1
4sinx – 4cosx = 0

פתרון
4sinx – 4cosx = 0
4sinx = 4cosx
sinx  = cosx

נשתמש בזהות (cos x = sin (90- x
נקבל:
(sin x = sin (90 – x

אפשרות ראשונה
x = 90 – x ± 360k
2x = 90 ± 360k
x = 45 ± 180k

אפשרות שנייה
על פי הזהות (sin x = sin (180 – x
הפתרון השני הוא:
x = 180 – (90 – x) ± 360k
x = 90 + x ± 360k
למשוואה זו אין פתרון.

תשובה: x = 45 ± 180k.

תרגיל 2
4sinx + 4cosx = 0

פתרון
4sinx + 4cosx = 0
4sin x = -4cos x  / :4
sin x = – cos x

נחלק את המשוואה ב cosx
cos x ≠ 0
x ≠ 90 ± 180k
ונקבל:
tg x = -1
x = 135 ± 180k
הפתרון כולו נמצא בתחום ההצבה ולכן זו התשובה הסופית.

תרגיל 3
2sin 3x = 3cos 3x

פתרון
2sin 3x = 3cos 3x  / :2
sin 3x = 1.5 cos 3x

נחלק את המשוואה ב cos 3x
cos 3x ≠ 0
3x ≠ 90 ± 180k
x ≠ 30 ± 60k

נקבל:
tg 3x = 1.5
3x = 53.1 ± 180k
x = 17.7 ± 60k
הפתרון כולו נמצא בתחום ההצבה ולכן זו התשובה הסופית.

סוג 3: פונקציות עם חזקות שונות

כיצד נפתור משוואה שבה יש פונקציה אחת עם חזקה והשנייה ללא חזקה?
למשל:
cox + sin²x  = 0

במקרה זה נשתמש בנוסחה:
sin²x + cos²x = 1
שניתן להפוך אותה גם ל:
sin²x = 1 – cos²x

נציב את הזהות הזו במשוואה ונקבל:
cos x + 1 – cos²x = 0
cos²x + cos x + 1 = 0-

אם נציב cos x = t
נקבל משוואה ריבועית.
t² + t + 1 = 0-
שאותה ניתן לפתור כמו שאנו פותרים משוואה ריבועית.

כאשר המשוואה שלנו תישאר ללא מספר חופשי ניתן יהיה לפתור את המשוואה בצורה קלה יותר על ידי פירוק לגורמים.
למשל:
cox + sin²x  = 1
נציב:
sin²x = 1 – cos²x
נקבל:
cox +  1 – cos²x = 1
cos x – cos²x = 0
cosx (1 – cos x) = 0
ואז יש שתי אפשרויות פתרון

סוג 4: משוואות עם מספר חופשי

sin 2x + cos 2x = 0.7
במקרה זה נהפוך את המשוואה למשוואה עם אותה הפונקציה ואז נשתמש באחת הזהויות של סכום או הפרש פונקציות.

sin 2x + cos 2x = 0.7
sin 2x + sin (90-2x) = 0.7
2sin 45 cos(2x -45) = 0.7
cos (2x -45) = 0.7 / 2sin 45 = 0.5

למשוואה זו שתי אפשרויות פתרון:
אפשרות ראשונה
cos (2x – 45) = cos 60
2x – 45 = 60 + 360k  / +45
2x = 105 + 360k  / : 2
x = 52.5 + 180k

אפשרות שנייה:
cos (2x – 45) = cos -60
2x – 45 = -60 +360k / +45
2x = -15 +360k / : 2
x = -7.5 + 180k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.