טריגונומטריה

בדף זה קישורים למידע מקיף על נושאים שונים בתחום הטריגונומטריה +  מידע בסיסי על השימוש בפונקציות הטריגונומטריות

נושאים בטריגונומטריה

עבור תלמידי 4 יחידות

  1. סינוס, קוסינוס, טנגס.
  2. משפט הסינוסים.
  3. משפט הקוסינוסים.
  4. חישוב שטח משולש על פי צלעות והזווית בינהן.
  5. זהויות טריגונומטריות.
  6. משוואות טריגונומטריות.
  7. טריגונומטריה במרובעים.
  8. טריגונומטריה במרחב.
  9. שימוש במחשבון בטריגונומטריה.

 

טריגונומטריה על פי יחידות לימוד

  1. טריגונומטריה שאלון 182 (לשעבר 801 – 3 יחידות).
  2. טריגונומטריה שאלון 381 (לשעבר 802 – 3 יחידות).
  3. מציאת זווית – כיצד למצוא זווית במשולש ישר זווית, מיועד בעיקר לתלמידי 3 יחידות.
  4. מציאת צלע – כיצד למצוא זווית במשולש ישר זווית, מיועד בעיקר לתלמידי 3 יחידות.
  5. טריגונומטריה במרחב 3 יחידות.
  6. טריגונומטריה 4 יחידות.
  7. טריגונומטריה 5 יחידות.

בהמשך הדף סיכום הנושאים המרכזיים בטריגונומטריה ופתרונות מלאים לשאלות מהבגרות.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות

הפונקציות הטריגונומטריות מקשרות בין גדלים של זוויות במשולש לגדלים של צלעות במשולש. כלומר מאפשרות לנו למצוא גודל של זווית על פי גודל הצלעות וגודל של צלעות על פי גודל הזווית ומידע נוסף.

בשלב ראשון ההתייחסות היא למשולש ישר זווית בלבד.

פונקציית הסינוס – sin a

סינוס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית לייתר.

פונקציית הסינוס - סינוס של זווית שווה לצלע שמול לחלק בייתר

פונקציית הסינוס

  • תרגילים המשתמשים בפונקציית סינוס.

פונקציית קוסינוס – cos a

קוסינוס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שליד הזווית לייתר.

פונקציית הקוסינוס – במשולש ישר זווית ה- cos של זווית שווה לצלע שליד הזוויות לחלק בייתר.

פונקציית הקוסינוס

פונקציית הטנגס – tg a

טנגס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית לניצב שליד הזווית.

פונקציית הטנגס – במשולש ישר זווית ה- tag של זווית שווה לצלע שמול לחלק לצלע שליד.

פונקציית הטנגס

מכאן והלאה חומר המתאים לתלמידי 4-5 יחידות.

חישוב שטח משולש על פי שתי צלעות והזווית שבניהן

שטח משולש שווה למכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.

שטח משולש שווה למכפלת הצלעות כפול סינוס הזווית בניהן.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים: צלע במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה שווה לצלע אחרת במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה. וזה גם שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

משפט הסינוסים

מתי משתמשים במשפט הסינוסים ?

משתמשים במשפט הסינוסים כאשר נתונים לנו במשולש :
1) שתי זוויות וצלע
2) שתי צלעות וזווית
3) זווית ורדיוס המעגל החוסם או צלע ורדיוס המעגל החוסם.

שימו לב: בסופו של תרגיל המשתמש במשפט הסינוסים תגיעו לביטוי מהסוג:
sin X = Y
אם הפתרון של ביטוי זה הוא X=20 אז גם המשלים ל 180 מעלות הוא נכון x=60.
עליכם לבדוק אם שני האפשרויות יכולות להתקיים על פי תנאי השאלה.
דוגמה מספרית:
sin X= 0.5
X=30 ויש גם את האפשרות X=150.
עליכם לבדוק אם שתי האפשרויות מתאימות לתנאי השאלה.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים מאפשר למצוא בעזרת 2 צלעות במשולש וקוסינוס הזווית שביניהן את גודל הצלע השלישית. כמו משפט פיתגורס רק במשולש שאינו ישר זווית.
על פי המשפט צלע בריבוע שווה לצלע בריבוע ועד צלע בריבוע פחות פעמיים מכפלת הצלעות (שאינם הצלע) כפול קוסינוס הזווית שביניהן.

משפט הקוסינוסים

עוד באתר:

  1. גיאומטריה – מדרך מקיף לצורות שונות. תאוריה ותרגילים.
  2. בגרות במתמטיקה 4 יחידות – תיאוריה ותרגילים לנושאי השאלונים.

דוגמאות לשאלות בטריגונומטריה מתוך בגרויות

שאלון 804 קיץ 2016 מועד ב שאלה 5

נתונים
AD ו CE תיכונים הנפגשים בנקודה M.
AG=12, CE=9 ס"מ.
CMD=400∠

שרטוט התרגיל טריגונומטריה קיץ 2016 מועד ב

  1.  סעיף א. ? =MC, MD.
    נקודת המפגש של התיכונים מחלקת את התיכונים ביחס של 1:2.
    לכן אם AM=X אז MD=2X.
    AM+MD=3X=12
    X=4
    לכן  MD=4.
    EM=Y, MC=2Y
    EM+MC=3Y=9
    Y=3
    לכן MC=6.
  2. סעיף ב. BC=?
    במשולש ΔCMD על פי משפט הקוסינוסים:
    (DC² = MD² + CM² -2MD*CM* COS(∠CMD
    (DC² = 4² + 6² – 4*6*2*COS (40
    DC²=16+36-48*0.766
    DC²=52-36.768
    DC²=15.232
    DC=3.9
    BC=2DC=2*3.9=7.8
    תשובה: BC=7.88 ס"מ.
  3. סעיף ג. CMD∠ = ?
    על פי משפט הסינוסים במשולש ΔMCD.
    MD / sin MCD = DC / sin DMC
    sin MCD =(MD * sin DMC) / DC
    sin MCD = (4* sin 40) / 3.9
    sin MCD = 0.66
    MCD = 41.3∠ או 138.7
    138.7 אינה אפשרית משום שבמשולש מול הצלע הגדולה נמצאת הזווית הגדולה והצלע MC=6 ס"ממ וגדולה יותר מהצלע MD=4 ס"מ לכן MCD∠ לא יכולה להיות זווית קהה.
  4. סעיף ד. SADB = ?
    MDB= 180- ∠CMD – ∠MCD∠
    98.7=180-40-41.3 – סכום זוויות ב ΔMDB שווה ל 1800 מעלות.
  5. BDA=180-∠MDB=180-98.7=81.3∠ – סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  6. SADB = (BD*AD*SIN BDA) :2
    SADB = (3.9*12*SIN 81.3) :2
    SADB = (3.9*12*SIN 81.3) :2 =46.26
    תשובה: שטח המשולש הוא 46.266 סמ"ר.

חורף 2016 שאלון 804 שאלה 5

שרטוט התרגיל טריגונומטריה חורף 2016

נתונים:
משולש ישר זווית ΔABC. זווית B=90∠.
CE גובה ליתר.
AD חוצה זווית.
AC=10 ס"מ.
CAB=500∠ מעלות.

א. חישוב שטח משולש CFD.
על מנת לפתור זאת עלינו למצוא צלע במשולש ΔCFD.
ולאחר מיכן נמצא גם זוויות.

  1. במשולש ΔACD.
    tan 25 = CD/AC
    CD= tan 25 * AC
    CD=O.466*10=4.66
  2. CAD=50/2=25∠ – מכוון ש AD הוא חוצה זווית.
  3. במשולש ΔACD.
    CDA=180-90-25=65∠ – סכום זוויות במשולש הוא 1800.
  4. במשולש ΔAFE
    EFA = 180-90-65=25∠ – סכום זוויות במשולש הוא 1800.
  5. CFD=∠EFA=65∠ – זוויות קודקודיות שוות.
  6. FC=CD=4.66 – במשולש ΔFCD מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות.
  7. FCD=180-65-65=50∠ – סכום הזוויות במשולש ΔFCD הוא 180 מעלות.
  8. SFCD= (4.66²*sin 50) :2
    SFCD= 16.657:2=8.32

ב. מציאת אורך הקטע FB.

  1. במשולש ΔABC.
    tan 50 = BC / AC
    BC = AC * tan 50
    BC = 10 * 1.19=11.9
  2. במשולש ΔCFB על פי משפט הקוסינוסים:
    FB²=CB² + FC²-2FC*CB*cos 50
    FB²=11.9²+4.66²-2*11.9*4.66*0.64
    FB²=141.61+ 21.715-70.98
    FB²=92.345
    FB=9.61

ג. חישוב הרדיוס החוסם של משולש ΔFEB.

  1. משולש ΔFEB הוא משולש ישר זווית FEB=90∠.
  2. FB הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש – זווית היקפית השווה ל 90 מעלות נשענת על קוטר.
  3. r=FB/2=9.61:2=4.805.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.