משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים מתאר את הקשר בין גודל שלושת הצלעות במשולש וקוסינוס הזווית שבין שתיים מהן. משפט הקוסינוסים הוא למעשה הרחבה של משפט פיתגורס למשולשים שאינם משולשים ישרי זווית.

המשפט עצמו מתואר בשרטוט למטה ולאחר מיכן מופיעים תרגילים פתורים בנושא.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים אומר שצלע בריבוע שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות פחות פעמיים מכפלת הצלעות כפול בסינוס הזוויות הראשונה.
c² = a² + b² -2abcosγ

מתי משתמשים במשפט הקוסינוסים

  1. אם נתון לנו גודל של 3 צלעות ואנו מחפשים גודל של זווית.
  2. אם נתון לנו גודל של 2 צלעות והזווית בניהן.

טיפ לפתרון תרגילים

הרעיון הכללי מאחורי הרבה מאוד שאלות במשפט הקוסינוסים והסינוסים הוא כזה:
שואלים אותכם שאלה על חלק במשולש שבו אין לכם מספיק נתונים על מנת לפתור את השאלה. אבל משולש זה קשור למשולש אחר שבו כן יש לכם מספיק נתונים כדי להשתמש במשפט הקוסינוסים.
התפקיד שלכם הוא לזהות את המשולש שבו יש לכם מספיק נתונים ולראות את הקשר שלו למשולש שבו ניתן למצוא את הנתון שחסר.

עוד באתר בנושא טריגונומטריה:

  1. משפט הסינוסים – תיאוריה ותרגילים.
  2. טריגונומטריה – הדף המרכזי בנושא הכולל קישורים לדפים נוספים.

תרגילים במשפט הקוסינוסים

תרגיל 1: תרגיל בסיסי להכרת המשפט

אורכם של 3 צלעות במשולש הוא 6,8,12 ס"מ.
חשבו את גודל הזווית הקטנה במשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון

הזווית הקטנה נמצאת מול הצלע הקטנה – 6 ס"מ.

6²=8²+12²-2*8*12*cosγ
36=64+144-192cos γ
192- :/ 172- = 192cos γ  –
0.89= cos γ
γ=26.38  מעלות.

תרגיל 2: משפט הקוסינוסים ומשפט חוצה הזווית

במשולש ABC מעבירים חוצה זווית BD.
AB= 10, BC= 14, CD=7.
חשבו את זווית C∠

משפט הקוסינוסים ומשפט חוצה הזווית

פתרון

  1. על פי משפט חוצה הזווית  AD / DC = AB / BC
    AD / 7 = 10 /14
    AD = 70 / 14 = 5
  2. נחשב את זווית C∠ בעזרת משפט הקוסינוסים.
  3. AB² = BC² + AC² – 2BC*AC*cos a
    cos a = (AB² – BC² – AC²) / -2BC*AC
    COS a = 10²-14² – 12² / (-2*14*12) = -240 / -336 = 0.71
  4. C = 44.765

תרגיל 2: עם שני נעלמים

נתון מרובע ABCD שבו אורכי הצלעות הם:
AB=6, BC=4,  CD=5, DA=8.
כמו כן A+∠C=180∠ מעלות.

חשבו את גודל הזווית A.

שרטוט התרגיל

פתרון

הרעיון מאחרי פתרון השאלה: בשאלה זו יש לנו הרבה נתונים על צלעות אבל אין לנו משולש שיאפשר לנו להשתמש בנתונים הללו. לכן ניצור משולשים בעזרת אלכסון.
יש לנו משתנה X שהוא גודל זווית A. על מנת למצוא אותו צריך משוואה. המשוואה שלנו תהיה הגדרת צלע פעמיים בשני משולשים שונים.

  1. נעביר את האלכסון BD כבניית עזר.
  2. במשולש BCD על פי משפט הקוסינוסים מתקיים:
    (BD²=BC²+CD²-2 BC CD COS (180-X
    (BD²=16+25-2*4*5*COS(180-X
    (BD²=41-40COS (180-X
  3. נגדיר את BD גם במשולש ABD על פי משפט הקוסינוסים:
    BD²=AD²+AB²-2 AD AB COS X
    BD²=64 +36-2*8*6*COS X
    BD²= 100-96COS  X
  4. נשווה בין המשוואות שמצאנו בסעיפים 3 ו- 4:
    (100-96COS  X=41-40COS (180-X
    נשתמש בזהות הטריגונומטרית cos (180-x)=-cos x
    100-96COS  X=41+40cos x
    59=136cos x
    cos x=0.433
    x=64.289 מעלות.
    תשובה: זווית A שווה ל- 64.289 מעלות.

תרגיל 3: משפט הסינוסים והקוסינוסים בטרפז שווה שוקיים

נתון טרפז שווה שוקיים AB=CD AD║BC.
האלכסון BD יוצר זוויות של 30 ו- 20 מעלות עם בסיס הטרפז והשוק – כמפורט בשרטוט.
נתון כי אורך השוק הוא 12 ס"מ ואורך הבסיס הקטן (AD) הוא 6 ס"מ.
חשבו את אורך הבסיס הגדול (BC) של הטרפז.

שרטוט התרגיל, משפט הסינוסים והקוסינוסים

פתרון

הרעיון שמאחורי הפתרון; שואלים אותנו על צלע במשולש BCD ובו אין לנו מספיק נתונים על מנת לפתור את השאלה.
לעומת זאת במשולש BAD יש לנו מספיק נתונים והצלע BD משותפת לשני המשולשים, כך שאם נמצא את BD נוכל לענות על השאלה.

  1. ∠A=180-50=130 – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות.
  2. במשולש ABD על פי משפט הקוסינוסים
    BD²=12²+6²-2*6*12* cos 50
    BD²=144+36-92.561=87.438
    BD=9.35
  3. C=50∠  בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.
  4. BDC=180-30-50=100∠ – משלימה ל – 180 מעלות במשולש BDC.
  5. במשולש BDC על פי משפט הסינוסים (במשולש זה יש מספיק נתונים על מנת להשתמש גם במשפט הקוסינוסים).

BC / sin 100 = 12 / sin 30
BC = 12 sin 100 / sin 30 = 23.635

תשובה: אורך הבסיס הגדול הוא 23.635 ס"מ.

הערה על התרגיל: בתרגיל זה לא היו חייבים להגיד שהאלכסון חוצה את הזוויות ל- 30 ו- 20 מעלות, מספיק שהיו אומרים שזווית הבסיס הייתה 50 מעלות. במקרה זה היhנו צריכים להשתמש פעם נוספת במשפט הסינוסים במשולש BDC בשלב 4.
בדקו אם אתם יודעים כיצד לעשות זאת.

תרגיל 4: משפט הסינוסים והקוסינוסים במקבילית

נתונה מקבילית ABCD. מהקודקודים B ו- C העבירו שני ישרים לצלע AD הנפגשים בנקודה E.
נתון EBC=40∠ ו- ECB=60∠.  צלע המקבילית BC=10 ס"מ.
CD=2ED.

חשבו את ED.

שרטוט התרגיל

פתרון

הרעיון שמאחורי הפתרון: להשתמש במשולש BEC ובתכונות המקבילית על מנת להוסיף נתונים למשולש CDE כך שנוכל לגלות את אורכי הצלעות והזוויות שלו.
אם אתם תקועים שאלו את עצמכם: האם השתמשתם בתכונות המקבילית? האם מצאתם משולש שבו יש מספיק נתונים כדי להשתמש במשפט הקוסינוסים / סינוסים?

  1. ∠BEC= 180-60-40=80 – משלימה ל 180 מעלות במשולש BEC.
  2. ב משולש BEC על פי משפט הסינוסים:
    BC / sin 80 = CE / sin 40
    BC = CE sin 80 / sin 40
    BC = 10*0.642 / 0.98 = 6.52
    BC = 6.52
  3. CED= ∠BCE=60 ∠– זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  4. נגדיר את DE=X ו- CD=2X.
    על פי משפט הקוסינוסים במשולש CED
    CD²=DE²+CE²-2 DE CE COS 60
    2X)²=X²+6.52²-2*6.52*X*0.5)
    4X²=X²+42.51+6.52X
    3X²-6.52X-42.51=0
    פתרונות המשוואה הריבועית הן 2.83 ו 5-.
    רק 2.83 יכול להיות אורך של צלע ולכן
    2.83 =ED ס"מ.

תרגיל 5: 4 יחידות קיץ 2017 שאלה 5

התרגיל לקוח מבחינת הבגרות של משרד החינוך. שאלון 481.

נתונים:

  1. ABC משולש.
  2. P נקודה על צלע AB. הנקודה M על הצלע AC.
  3. AP=X, PM = 0.6X, AM = 4, MC=12
  4. B =120, ∠PMA =100∠

שאלות

א) חשבו PAM∠.
א2) חשבו BC.
ב) חשבו BM.
ג) חישוב יחס שטחי המשולשים SAMB / SBMC.

שרטוט התרגיל טריגונומטריה קיץ 2017

א. חישוב זווית PAM.
על פי משפט הסינוסים במשולש PAM.
sin MAP / 0.6x = sin MPA / X
sin MAP = 0.6 sin 100 = 0.59
MAP = 36.15∠
האפשרות MAP=180-36.15=143.85∠ אינה אפשרית משום שזווית AMP =100∠ וביחד סכומן במשולש PAM עולה על 180 מעלות.

חישוב BC.
על פי משפט הסינוסים במשולש ABC.
sin BAC / BC = sin ABC / AC
BC = sin BAC *AC / sin ABC
BC = sin 36.15 * 16 / sin 120 = 10.9
תשובה: BC = 10.9 ס"מ.

ב. חישוב BM.

  1. נמצא את זווית BCM
    במשולש ABC:
    BCM = 180 -120- 36.15 = 23.85
  2. על פי משפט הקוסינוסים במשולש BMC.
    BM² = BC² + CM² – 2BC*MC cos BCM
    BM² = 10.9² + 12² – 2*12*10.9 cos 23.85
    BM² = 118.81 + 144 -239.261 = 23.549
    BM = 4.85
    תשובה: BM=4.85 ס"מ.

ג. מציאת היחס בין שטחי משולשים.
הגובה לצלע AM ולצלע MC  הוא אותו גובה.
לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא היחס בין הבסיסים AM / MC
AM / MC = 4/12 = 1/3
תשובה: היחס הוא 1:3.

תרגיל 6: 5 יחידות קיץ 2016 שאלה 5 מועד א

התרגיל לקוח מבחינת הבגרות של משרד החינוך. שאלון 581.

נתונים:

  1. ABC משולש שווה שוקיים.
  2. TAC = a, ∠ACB = β∠
  3. BT תיכון ל AC.
  4. BC = 2K

שאלות:

א) הביעו את TC באמצעות K ו β.
א2) הוכיחו sin (a+β) = 4sin a cos β

ב) נתון TE=5, K=4.
מצאו את β ומצאו את a.

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

  1. EC= 0.5BC=K – נתון.
  2. cos β = EC / AC
    AC = EC / cos β
  3. TC = 0.5AC = K / 2cos βחלק שני של סעיף א.
  4. נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ΔBTC
    sin (180-a-β) / 2k = sin a / TC
    sin (180-a-β) * K / 2cos β = 2K sin a
    sin (180-a-β) = 4 sin a cos β
    נשתמש בזהות (sin (180-a-β) =sin (a+β ונקבל:
    sin (a+β) = 4 sin a cos β

סעיף ב.

נסתכל על משולש ΔETC ונשתמש במשפט הקוסינוסים:

TE² = TC² + EC² – 2TC*ECcos β
לצערי בגלל מגבלות של כתיבה באתר איני יכול לכתוב את הפתרון המלא.
פתרון המשוואה נותן:
β = 66.42
את a ניתן למצוא על ידי הצבה ב sin (a+β) = 4 sin a cos β.

תרגיל 7: קיץ 2016 מועד ב שאלה 5

טרפז חסום במעגל. גדלי הזוויות כמפורט בשרטוט.

שרטוט התרגיל קיץ 2016 טריגונומטריה 5 יחידות

 

סעיף א. DAB∠=?
בסעיף זה יש הרבה עבודה של השלמת זוויות.

  1. BO=AO=R
  2. משולש ΔBOA הוא משולש שווה שוקיים – נובע מ 1.
  3.  OBA=∠OAB=(180-3a) /2= 90-1.5a∠עכשיו נוכיח כי ΔODA≅ ΔOCB
  4. אם נעביר בטרפז אלכסון AC אז:
    ACD=∠CAB∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
    AD=CB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    (זו ההוכחה כי כל טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים).
  5. BO=AO=OC=OD=R
  6.  ΔODA≅ ΔOCB חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.
  7. DOA=∠COB∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  8. DOA=∠COB= (360-4a) / 2=180-2a∠  – סכום זווית מרכזיות במעגל הוא 360 מעלות.
  9. OAD= ∠ODA=a∠ – סכום זוויות במשולש OAD שווה ל 180 מעלות.
  10. DAB = ∠OAD + ∠OAB= a + 90-1.5a =90-0.5a∠

סעיף ב. הבע את אורך שוק הטרפז באמצעות R ו a.

  1. במשולש ΔAOD על פי משפט הסינוסים:
    AD / sin 180-2a = R / sin a
    AD = R sin 180-2a / sina=rsin 2a / sina
    AD= R 2sin a cos a / sina
    AD = 2R cos a

סעיף ג. לבטא את AD באמצעות h.
נשרטט את הגובה:

שרטוט הגובה בטרפז

במשולש ΔAED:
sin 90-0.5a = h / AD
AD = h / sin 90-0.5a= h / cos 0.5a

סעיף ד.

שטח משולש ΔCOD שווה ל S=R² sin a / 2  – על פי נוסחת שטח משולש על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן.
בעזרת סעיפים ב ו ג נבטא את R באמצעות h.
AD =  h / cos 0.5a = 2R cos a
R = h / 2cos a cos 0,5 a
נציב זאת בנוסחת שטח המשולש שמצאנו:
2* S=sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²
על פי הנתון מתקיים השוויון:
sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²*2 = h² / 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a cos² 0.5a = 1/ 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a  = 1/ 12
12sin a    = 8cos ² a
3sin a    = 2cos ² a
(3sin a = 2(1-sin ²a
2sin ²a +3sin a-2=0
sin a =-2 או sin a = 0.5
sin a =-2 – אינו אפשרי.
sin a =0.5
a=30, 150
האפשרות של a=150 נפסלת בגלל BOA=3a∠ וזווית במשולש לא יכולה להיות שווה 450 מעלות.
תשובה: a=30 מעלות.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.