משפט הסינוסים

משפט הסינוסים – צלע במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה שווה לצלע אחרת במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה. וזה גם שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

משפט הסינוסים

 

מתי משתמשים במשפט הסינוסים ?

משתמשים במשפט הסינוסים כאשר נתונים לנו במשולש :

  1. שתי זוויות וצלע
  2. שתי צלעות וזווית
  3. זווית ורדיוס המעגל החוסם או צלע ורדיוס המעגל החוסם.

דגש למשפט הסינוסים

כאשר אנחנו במצב שבו נותנים לנו שתי צלעות וזווית שימוש במשפט הסינוסים יכול להוביל אותנו לשתי תשובות אפשריות ושתיהן נכונות. הדבר נובע מתכונת פונקציית הסינוס שבה סינוס של זווית שווה לסינוס של הזווית שמשלימה ל 180 מעלות.
במקרה שהזווית שאנחנו מחפשים נמצאת מול הצלע הקטנה אז יש רק פתרון אפשרי אחד ובמקרה שזווית זו נמצאת מול הצלע הגדולה אז ישנם שני פתרונות אפשריים.

למה מול הצלע הגדולה יש שני פתרונות ואילו מול הצלע הקטנה יש פתרון אחד?
כאשר אנו מול הצלע הקטנה אנו יודעים שהזווית קטנה מ- 90 מעלות ולכן יש רק אפשרות אחת.
כאשר אנו מול הצלע הגדולה אנו לא יכולים לדעת "עד כמה הצלע גדולה"  ואם הזווית שמולה היא חדה או כהה.

דרך אחרת להבין זאת היא על ידי משפט האומר "במשולש הזווית הגדולה יותר נמצאת מול הצלע הגדולה יותר". אז אם הזווית שנתונה לנו היא מול הצלע הגדולה אז לזווית השנייה יש "מחסום" והיא לא יכולה להיות גדולה יותר מהזווית הנתונה.
אבל אם הזווית שנתונה לנו היא הזווית הקטנה אז הזווית שאנו מחפשים גדולה ממנה ואנו לא יכולים לדעת בכמה היא גדולה ממנה. ולכן יש שתי אפשרויות.

טיפ לפתרון תרגילים

הרעיון הכללי מאחורי הרבה מאוד שאלות במשפט הסינוסים והקוסינוסים הוא כזה:
שואלים אותכם שאלה על חלק במשולש שבו אין לכם מספיק נתונים על מנת לפתור את השאלה. אבל משולש זה קשור למשולש אחר שבו כן יש לכם מספיק נתונים כדי להשתמש במשפט הסינוסים.
התפקיד שלכם הוא לזהות את המשולש שבו יש לכם מספיק נתונים ולראות את הקשר שלו למשולש שבו ניתן למצוא את הנתון שחסר.

עוד באתר:

  1. משפט הקוסינוסים – תיאוריה ותרגילים.
  2. טריגונומטריה – הדף המרכזי בנושא הכולל קישורים לדפים נוספים.
  3. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  4. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

תרגילים פתורים משפט הסינוסים

תרגילים 1-4 הם על משפט הסינוסים.
תרגילים 5-6 משלבים בין משפט הסינוסים למשפט הקוסינוסים.
תרגילים 7-8 לקוחים מבחינות הבגרות של 4-5 יחידות ומשלבות את משפט הסינוסים והקוסינוסים עם נושאים שונים.

תרגיל 1: בסיסי, לצורך הכרת המשפט

נתון משולש שאחת הזוויות בו היא 40 מעלות ומולה צלע באורך 9 ס"מ.
צלע אחרת במשולש היא 5 ס"מ.
חשבו את זוויות המשולש.

הנחייה: הגדירו את הזווית שמול הצלע שאורכה 5 ס"מ כ x והשתמשו במשפט הסינוסים.

שרטוט התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון

פתרון התרגיל, משפט הסינוסים

תרגיל 2

נתון משולש שווה שוקיים שבו אורך השוק הוא 20 ס"מ ואורך הבסיס הוא 15 ס"מ.
חשבו את זוויות המשולש.

שרטוט התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון

פתרון התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון התרגיל, משפט הסינוסים

 

תרגיל 3: משפט הסינוסים ושטח משולש

שטח משולש ABC הוא 80 סמ"ר.
B= 30, ∠C=40∠
חשבו את אורכי הצלעות AC, AB.

שרטוט התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון

על פי הנוסחה לחישוב שטח משולש על פי 2 צלעות והזווית בניהן:
0.5ab sin 40 = 80.

יש לנו משוואה עם שני נעלמים. נעבור למשוואה עם נעלם אחד על ידי מציאת הקשר בין צלע a לצלע b.

a / sin 40 = b / sin 110
b = a sin 110 / sin 40 = 1.46a.

נציב זאת במשוואה הראשונה:
0.5a*1.46a sin 40 = 80.
0.47a² = 80 / :0.47
a²=170.2
a= 13.04

תרגיל 4: משפט הסינוסים בטרפז

נתון טרפז שווה שוקיים AB=DC ו- AD║BC.

אלכסון הטרפז BD חוצה את הזווית B לזוויות של 40 ו- 30 מעלות.
אורך האלכסון BD הוא 15 ס"מ.

  1. חשבו את אורך שוק הטרפז.
  2. חשבו את אורכי בסיסי הטרפז.

שרטוט התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון

פתרון התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון התרגיל, משפט הסינוסים

 

תרגיל 5: משפט הסינוסים והקוסינוסים בטרפז שווה שוקיים

נתון טרפז שווה שוקיים AB=CD AD║BC.
האלכסון BD יוצר זוויות של 30 ו- 20 מעלות עם בסיס הטרפז והשוק – כמפורט בשרטוט.
נתון כי אורך השוק הוא 12 ס"מ ואורך הבסיס הקטן (AD) הוא 6 ס"מ.
חשבו את אורך הבסיס הגדול (BC) של הטרפז.

שרטוט התרגיל, משפט הסינוסים והקוסינוסים

פתרון

הרעיון שמאחורי הפתרון; שואלים אותנו על צלע במשולש BCD ובו אין לנו מספיק נתונים על מנת לפתור את השאלה.
לעומת זאת במשולש BAD יש לנו מספיק נתונים והצלע BD משותפת לשני המשולשים, כך שאם נמצא את BD נוכל לענות על השאלה.

  1. ∠A=180-50=130 – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות.
  2. במשולש ABD על פי משפט הקוסינוסים
    BD²=12²+6²-2*6*12* cos 50
    BD²=144+36-92.561=87.438
    BD=9.35
  3. C=50∠  בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.
  4. BDC=180-30-50=100∠ – משלימה ל – 180 מעלות במשולש BDC.
  5. במשולש BDC על פי משפט הסינוסים (במשולש זה יש מספיק נתונים על מנת להשתמש גם במשפט הקוסינוסים).

BC / sin 100 = 12 / sin 30
BC = 12 sin 100 / sin 30 = 23.635

תשובה: אורך הבסיס הגדול הוא 23.635 ס"מ.

הערה על התרגיל: בתרגיל זה לא היו חייבים להגיד שהאלכסון חוצה את הזוויות ל- 30 ו- 20 מעלות, מספיק שהיו אומרים שזווית הבסיס הייתה 50 מעלות. במקרה זה היhנו צריכים להשתמש פעם נוספת במשפט הסינוסים במשולש BDC בשלב 4.
בדקו אם אתם יודעים כיצד לעשות זאת.

תרגיל 6: משפט הסינוסים והקוסינוסים במקבילית

נתונה מקבילית ABCD. מהקודקודים B ו- C העבירו שני ישרים לצלע AD הנפגשים בנקודה E.
נתון EBC=40∠ ו- ECB=60∠.  צלע המקבילית BC=10 ס"מ.
CD=2ED.

חשבו את ED.

שרטוט התרגיל

פתרון

הרעיון שמאחורי הפתרון: להשתמש במשולש BEC ובתכונות המקבילית על מנת להוסיף נתונים למשולש CDE כך שנוכל לגלות את אורכי הצלעות והזוויות שלו.
אם אתם תקועים שאלו את עצמכם: האם השתמשתם בתכונות המקבילית? האם מצאתם משולש שבו יש מספיק נתונים כדי להשתמש במשפט הקוסינוסים / סינוסים?

  1. ∠BEC= 180-60-40=80 – משלימה ל 180 מעלות במשולש BEC.
  2. ב משולש BEC על פי משפט הסינוסים:
    BC / sin 80 = CE / sin 40
    BC = CE sin 80 / sin 40
    BC = 10*0.642 / 0.98 = 6.52
    BC = 6.52
  3. CED= ∠BCE=60 ∠– זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  4. נגדיר את DE=X ו- CD=2X.
    על פי משפט הקוסינוסים במשולש CED
    CD²=DE²+CE²-2 DE CE COS 60
    2X)²=X²+6.52²-2*6.52*X*0.5)
    4X²=X²+42.51+6.52X
    3X²-6.52X-42.51=0
    פתרונות המשוואה הריבועית הן 2.83 ו 5-.
    רק 2.83 יכול להיות אורך של צלע ולכן
    2.83 =ED ס"מ.

תרגיל 7: 4 יחידות קיץ 2017 שאלה 5

התרגיל לקוח מבחינת הבגרות של משרד החינוך. שאלון 481.

נתונים:

  1. ABC משולש.
  2. P נקודה על צלע AB. הנקודה M על הצלע AC.
  3. AP=X, PM = 0.6X, AM = 4, MC=12
  4. B =120, ∠PMA =100∠

שאלות

א) חשבו PAM∠.
א2) חשבו BC.
ב) חשבו BM.
ג) חישוב יחס שטחי המשולשים SAMB / SBMC.

שרטוט התרגיל טריגונומטריה קיץ 2017

א. חישוב זווית PAM.
על פי משפט הסינוסים במשולש PAM.
sin MAP / 0.6x = sin MPA / X
sin MAP = 0.6 sin 100 = 0.59
MAP = 36.15∠
האפשרות MAP=180-36.15=143.85∠ אינה אפשרית משום שזווית AMP =100∠ וביחד סכומן במשולש PAM עולה על 180 מעלות.

חישוב BC.
על פי משפט הסינוסים במשולש ABC.
sin BAC / BC = sin ABC / AC
BC = sin BAC *AC / sin ABC
BC = sin 36.15 * 16 / sin 120 = 10.9
תשובה: BC = 10.9 ס"מ.

ב. חישוב BM.

  1. נמצא את זווית BCM
    במשולש ABC:
    BCM = 180 -120- 36.15 = 23.85
  2. על פי משפט הקוסינוסים במשולש BMC.
    BM² = BC² + CM² – 2BC*MC cos BCM
    BM² = 10.9² + 12² – 2*12*10.9 cos 23.85
    BM² = 118.81 + 144 -239.261 = 23.549
    BM = 4.85
    תשובה: BM=4.85 ס"מ.

ג. מציאת היחס בין שטחי משולשים.
הגובה לצלע AM ולצלע MC  הוא אותו גובה.
לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא היחס בין הבסיסים AM / MC
AM / MC = 4/12 = 1/3
תשובה: היחס הוא 1:3.

תרגיל 8: 5 יחידות קיץ 2016 שאלה 5 מועד א

התרגיל לקוח מבחינת הבגרות של משרד החינוך. שאלון 581.

נתונים:

  1. ABC משולש שווה שוקיים.
  2. TAC = a, ∠ACB = β∠
  3. BT תיכון ל AC.
  4. BC = 2K

שאלות:

א) הביעו את TC באמצעות K ו β.
א2) הוכיחו sin (a+β) = 4sin a cos β

ב) נתון TE=5, K=4.
מצאו את β ומצאו את a.

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

  1. EC= 0.5BC=K – נתון.
  2. cos β = EC / AC
    AC = EC / cos β
  3. TC = 0.5AC = K / 2cos βחלק שני של סעיף א.
  4. נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ΔBTC
    sin (180-a-β) / 2k = sin a / TC
    sin (180-a-β) * K / 2cos β = 2K sin a
    sin (180-a-β) = 4 sin a cos β
    נשתמש בזהות (sin (180-a-β) =sin (a+β ונקבל:
    sin (a+β) = 4 sin a cos β

סעיף ב.

נסתכל על משולש ΔETC ונשתמש במשפט הקוסינוסים:

TE² = TC² + EC² – 2TC*ECcos β
לצערי בגלל מגבלות של כתיבה באתר איני יכול לכתוב את הפתרון המלא.
פתרון המשוואה נותן:
β = 66.42
את a ניתן למצוא על ידי הצבה ב sin (a+β) = 4 sin a cos β.

תרגיל: קיץ 2016 מועד ב שאלה 5

טרפז חסום במעגל. גדלי הזוויות כמפורט בשרטוט.

שרטוט התרגיל קיץ 2016 טריגונומטריה 5 יחידות

 

סעיף א. DAB∠=?
בסעיף זה יש הרבה עבודה של השלמת זוויות.

  1. BO=AO=R
  2. משולש ΔBOA הוא משולש שווה שוקיים – נובע מ 1.
  3.  OBA=∠OAB=(180-3a) /2= 90-1.5a∠עכשיו נוכיח כי ΔODA≅ ΔOCB
  4. אם נעביר בטרפז אלכסון AC אז:
    ACD=∠CAB∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
    AD=CB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    (זו ההוכחה כי כל טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים).
  5. BO=AO=OC=OD=R
  6.  ΔODA≅ ΔOCB חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.
  7. DOA=∠COB∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  8. DOA=∠COB= (360-4a) / 2=180-2a∠  – סכום זווית מרכזיות במעגל הוא 360 מעלות.
  9. OAD= ∠ODA=a∠ – סכום זוויות במשולש OAD שווה ל 180 מעלות.
  10. DAB = ∠OAD + ∠OAB= a + 90-1.5a =90-0.5a∠

סעיף ב. הבע את אורך שוק הטרפז באמצעות R ו a.

  1. במשולש ΔAOD על פי משפט הסינוסים:
    AD / sin 180-2a = R / sin a
    AD = R sin 180-2a / sina=rsin 2a / sina
    AD= R 2sin a cos a / sina
    AD = 2R cos a

סעיף ג. לבטא את AD באמצעות h.
נשרטט את הגובה:

שרטוט הגובה בטרפז

במשולש ΔAED:
sin 90-0.5a = h / AD
AD = h / sin 90-0.5a= h / cos 0.5a

סעיף ד.

שטח משולש ΔCOD שווה ל S=R² sin a / 2  – על פי נוסחת שטח משולש על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן.
בעזרת סעיפים ב ו ג נבטא את R באמצעות h.
AD =  h / cos 0.5a = 2R cos a
R = h / 2cos a cos 0,5 a
נציב זאת בנוסחת שטח המשולש שמצאנו:
2* S=sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²
על פי הנתון מתקיים השוויון:
sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²*2 = h² / 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a cos² 0.5a = 1/ 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a  = 1/ 12
12sin a    = 8cos ² a
3sin a    = 2cos ² a
(3sin a = 2(1-sin ²a
2sin ²a +3sin a-2=0
sin a =-2 או sin a = 0.5
sin a =-2 – אינו אפשרי.
sin a =0.5
a=30, 150
האפשרות של a=150 נפסלת בגלל BOA=3a∠ וזווית במשולש לא יכולה להיות שווה 450 מעלות.
תשובה: a=30 מעלות.

 

עבור אלו שהדפדפן שלהם אינו קורא תמונות מצורפים פתרונות של 3 תרגילים כקיבצי PDF.

פתרון תרגיל 1

 

פתרון תרגיל 2

 

פתרון תרגיל 4

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.