טבלה דו מימדית

טבלה דו מימדית

הסרטון מומלץ, ההסבר שבו טוב יותר מההסבר הכתוב.

טבלה דו ממדית היא דרך שנועדה לעזור בהצגת נתונים בהסתברות – אם לא נוח לכם לעבוד איתה – אל תעשו זאת.

טבלה דו ממדית נראית כך:

מאורע A מאורע A¯
מאורע B (P(A∩B (P(A¯∩B (P(B
מאורע B¯ (¯P(A∩B (¯P(A¯∩B (¯P(B
(P(A (¯P(A 1

כמה דברים שחשוב להבין לגבי הסתברות וטבלה דו מימדית. חשוב שתתעקשו על הבנה של הדברים הללו:

1.ארבעת המלבנים הפנימיים של הטבלה הם הסתברות של "וגם". 
לכן אם אתם משתמשים בנוסחה של הסתברות מותנית על מנת למצוא אותם האיבר שנכנס לתוך הטבלה הוא האיבר הזה.

2. ההסתברות שמאורע יקרה או שיקרה המאורע המשלים היא 1. כלומר:
p(A) + p(A¯)=1
p(B) + p(B¯)=1

כיצד זה קשור לטבלה דו ממדית? מסיבה זו הסכום של השורה התחתונה (p(A) + p(A¯)=1) ושל הטור השמאלי  (p(B) + p(B¯)=1חייב להיות 1.

3.    (¯P(A)=P(A∩B) + P(A∩B .
למשל אם A זה המאורע של אדם הלובש חולצה לבנה. ו-B זה אדם עם מכונית. אז הסיכוי לדגום אדם עם חולצה לבנה שווה (P(A לסיכוי לדגום אדם עם חולצה לבנה שיש לו מכונית (P(A∩B + ההסתברות לדגום אדם עם חולצה לבנה שאין לו מכונית (¯P(A∩B.
כמובן שגם המשוואה הזו נכונה עבור הטבלה: (P(B)=P(A∩B) + P(A¯∩B

למה זה חשוב לטבלה דו ממדית? כי זה מאפשר לנו להשלים הסתברויות חסרות.

תיאור גרפי של הכתוב מעלה בסעיף 2

טיפ: כיצד מבדילים בניסוח המילולי בין (P(A ל- (P(A∩B ?

בעיות בהסתברות הן בעצם סוג של בעיות מילוליות. נותנים לנו טקסט ואנו צריכים לתרגם אותו למשוואה. לכן חשוב מאוד שנבין מה הטקסט אומר.
(P(A∩B יש צורה מילולית של: "ההסתברות לדגום  X שהוא גם  Y". למשל "20% הם לובשי חולצי לבנה ובעלי רכב".
(P(A יש צורה מילולית של: "ההסתברות לקבל X". למשל " 60% לובשים חולצה לבנה".

תרגילים בטבלה דו ממדית

מצורפים 5 תרגילים.
לדעתי אין כאן תרגילים קלים.
בתרגילים 1-3 עליכם להכניס את הנתונים ישירות לטבלה.
תרגיל 4 דורש שלב מקדים להכנסת הנתונים לטבלה.
בתרגיל 5 יש להגדיר משתנה על מנת לפתור את התרגיל.

בשאלות משולבים סעיפים בנושא הסתברות מותנית.

לתרגילים 1,4,5 יש גם פתרון וידאו, פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

ידוע כי 60% מהמגיעים לבריכה הם גברים והשאר נשים. כמו כן ידוע 40% מהמגיעים
לבריכה הם גברים שלא נכנסים למים. וכי  רק 30% מהמגיעים לבריכה נכנסים למים.
חשבו:

  1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים?
  2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים?
  3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

פתרון:

נגדיר:

A – גבר.
A¯ – אישה.
B – אדם הנכנס למים.
B¯ – אדם שלא נכנס למים.

נתון:
P (A)=0.6
P(A∩B¯)=0.4
P (B)=0.3

הנתונים שהכי קל להשלים (אפילו כשאין טבלה) הם:
P (A¯)=0.4
P(B¯)=0.7

נציב את הנתונים בטבלה

מאורע A – גבר מאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים (P(A∩B (P(A¯∩B 0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים 0.4=(¯P(A∩B (¯P(A¯∩B 0.7=(¯P(B
P(A)=0.6 0.4=(¯P(A 1

עכשיו כשאנו יודעים שהסכום של 2 התאים של השורות צריך להיות שווה לטור השורה מהסכם ואותו דבר עבור הטורים – קל לחשב את שאר הטבלה.

מאורע A – גבר מאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים 0.2=(P(A∩B 0.1=(P(A¯∩B 0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים 0.4=(¯P(A∩B 0.3=(¯P(A¯∩B 0.7=(¯P(B
P(A)=0.6 0.4=(¯P(A 1

1. מה ההסתברות לדגום גבר הנכנס למים? 

מה שמבקשים מאיתנו זה: (p(A∩B.
(P(A∩B) =(P(A)-P(B¯∩A
P(A∩B) =0.6-0.4=0.2
תשובה: אחוז הגברים שנכנס למים מכלל המגיעים לבריכה הוא 20%.

2. מה ההסתברות לדגום אישה שלא הכנסת למים?

מבקשים מאיתנו את (¯P(B¯∩A

ניתן לראות בטבלה כי:
(¯P(B) – P(B¯∩A) = P(B¯∩A
0.3 = 0.4 – 0.7
תשובה: ההסתברות לדגום אישה שלא נכנסת למים היא 0.3.

3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

הנשים הם 40% מכלל המגיעים לבריכה.
30% מכלל המגיעים לבריכה הם נשים שלא נכנסות למים.
לכן אם ידוע שבחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 40:30=0.75.
תשובה: במידה ובחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 0.75.

תרגיל 2

תלמיד נבחן בהסתברות ובגיאומטריה. ההסתברות שהוא יעבור את המבחן בהסתברות היא 0.8 וההסתברות שהוא יעבור את המבחן בגיאומטריה היא 0.7. ידוע כי ההסתברות שהוא יעבור את בגיאומטריה אך ייכשל בהסתברות היא 0.1.

  1. מה ההסתברות שהתלמיד נכשל בשני המבחנים?
  2. מה ההסתברות שהתלמיד עבר לפחות מבחן אחד?
  3. נניח שיש לנו מדגם של 200 תלמידים שההסתברות שלהם לעבור ולהיכשל היא כמו של התלמיד הזה. בוחרים תלמיד שעבר את המבחן בהסתברות. מה ההסתברות שהוא עבר גם את המבחן בגיאומטריה?

פתרון

A – יעבור בהסתברות.
A¯ – ייכשל בהסתברות.
B – יעבור בגיאומטריה.
B¯  – ייכשל בגיאומטריה.

P(A)=0.8
P(A¯)=0.2
P(B)=0.7
P(B¯)=0.3
P(A¯∩B)=0.1

נשים את הנתונים בטבלה

מאורע A – עבר הסתברות מאורע A¯ – נכשל הסתברות
מאורע B -עבר גיאומטריה (P(A∩B 0.1=(P(A¯∩B 0.7=(P(B
מאורע B¯  – נכשל גיאומטריה (¯P(A∩B (¯P(A¯∩B 0.3=(¯P(B
P(A)=0.8 P(A¯)=0.2

נשלים את השורות והטורים:

מאורע A – עבר הסתברות מאורע A¯ – נכשל הסתברות
מאורע B -עבר גיאומטריה 0.6=(P(A∩B 0.1=(P(A¯∩B 0.7=(P(B
מאורע B¯  – נכשל גיאומטריה 0.2=(¯P(A∩B 0.1=(¯P(A¯∩B 0.3=(¯P(B
P(A)=0.8 P(A¯)=0.2
  1. מה ההסתברות שהתלמיד נכשל בשני המבחנים?
    0.1.
  2. מה ההסתברות שהתלמיד עבר לפחות מבחן אחד?
    זו ההסתברות המשלימה להסתברות הקודמת ולכן שווה ל: 1-0.1=0.9.כמו כן ניתן לחשב את ההסתברות בעזרת חיבור התאים בטבלה:
    עבר שני מבחנים + עבר רק הסתברות + עבר רק גיאומטריה.
    0.6                    +     0.2                +   0.1    = 0.9
  3. נניח שיש לנו מדגם של 200 תלמידים שההסתברות שלהם לעבור ולהיכשל היא כמו של התלמיד הזה. בוחרים תלמיד שעבר את המבחן בהסתברות. מה ההסתברות שהוא עבר גם את המבחן בגיאומטריה?
    ההסתברות לעבור את המבחן בהסתברות היא 0.8 ההסתברות לעבור בהסתברות וגיאומטריה היא 0.6.
    לכן אם בחרנו תלמיד שעבר את הבחינה בהסתברות ההסתברות שהוא עבר גם בגיאומטריה הוא: 0.6:0.8=0.75.

תרגיל 3

בכיתה יש בנים ובנות אשר מגיעים מהעיר או לא מהעיר.
0.2 מהכיתה הם בנים המגיעים מהעיר. 0.3 מהכיתה הם בנות שלא מגיעות מהעיר. 0.25 הם בנים שלא מגיעים מהעיר.

  1. דוגמים תלמיד. מה ההסתברות שהוא בן?
  2. אם ידוע כי נבחרה בת. מה ההסתברות שהיא מהעיר?
  3. ידוע כי בכיתה יש 40 תלמידים. כמה מהם הם בנים המגיעים מהעיר?

פתרון

נבנה טבלה.

מאורע A – בן מאורע A¯ – בת
מאורע B – מהעיר 0.2=(P(A∩B (P(A¯∩B =(P(B
מאורע B¯  – לא מהעיר 0.25=(¯P(A∩B 0.3=(¯P(A¯∩B =(¯P(B
P(A)= =(¯P(A 1

נשלים את הטבלה. קודם את שכיחות הבנים (P(A, ולאחר מיכן את שכיחות הבנות ולאחר מיכן ניתן להשלים את התאים הפנימיים.

מאורע A – בן מאורע A¯ – בת
מאורע B – מהעיר 0.2=(P(A∩B 0.25=(P(A¯∩B 0.45=(P(B
מאורע B¯  – לא מהעיר 0.25=(¯P(A∩B 0.3=(¯P(A¯∩B 0.55=(¯P(B
P(A)=0.45 0.55=(¯P(A 1
  1. דוגמים תלמיד. מה ההסתברות שהוא בן?
    0.2+0.25=0.45.
  2. אם ידוע כי נבחרה בת. מה ההסתברות שהיא מהעיר?
    מבקשים מאיתנו למצוא את (¯P(B/A.
    0.55=(¯p(A
    0.25=(P(A¯∩B
    =0.25:0.55=(¯P(B/A
  3. ידוע כי בכיתה יש 40 תלמידים. כמה מהם הם בנים המגיעים מהעיר?
    0.2 הוא החלק היחסי של הבנים המגיעים מהעיר.
    0.2*40=8.

תרגיל 4

נשים וגברים נכנסים לחממה וקוטפים כל אחד פרח אחד, פרח צהוב או פרח אדום.
ידוע כי 70% מהנכנסים לחממה הם גברים. 12% הם נשים הקוטפת פרח צהוב.
אם נבחר גבר אז ההסתברות שהוא קטף פרח צהוב היא 0.5

  1. בנו טבלה דו ממדית והשלימו את כל החלקים שבה.
  2. אם ידוע כי נבחר אדם שקטף פרח אדום. מה ההסתברות שזו אישה?

פתרון

נגדיר:
A נשים.
A¯  גברים.
B  קוטפים פרח צהוב.
B¯  קוטפים פרח אדום.

P (A¯) = 0.7   ההסתברות לגבר.
לכן ההסתברות לאישה היא:
P (A) = 1 – 0.3 = 0.7
P (A ∩ B) = 0.12 ההסתברות לאישה הקוטפת פרח צהוב.
P (B / A¯) = 0.5 אם ידוע שנבחר גבר אז ההסתברות שנקטף פרח צהוב.

את הנתון האחרון:
P (B / A¯) = 0.5
לא ניתן להציב בטבלה כמו שהוא, כי אין מקום כזה.
עלינו למצוא את (P (A¯ ∩ B  שלו יש מקום בטבלה.
נעשה זאת בעזרת הנוסחה:
(P (B / A¯) * P (A) = P (A¯ ∩ B
0.35 = 0.7 * 0.5
נכניס את כל הנתונים לטבלה

מאורע A – אישה מאורע A¯ – גבר
מאורע B – קוטפים צהוב 0.12 0.35 =(P(B
מאורע B¯  – קוטפים אדום =(¯P(B
P(A) = 0.3 0.7 =(¯P(A 1

בעזרת הנתונים הללו ניתן להשלים את כל הערכים בטבלה:

מאורע A – אישה מאורע A¯ – גבר
מאורע B – קוטפים צהוב 0.12 0.35 0.47
מאורע B¯  – קוטפים אדום 0.18 0.35 0.53
P(A) = 0.3 0.7 =(¯P(A 1

סעיף ב
אם ידוע כי נבחר אדם שקטף פרח אדום. מה ההסתברות שזו אישה?
זו שאלת הסתברות מותנה.
ומבקשים שנמצא את   (¯P (A / B
ההסתברות לקטיפת פרח אדום היא P (B¯) = 0.63
ההסתברות לאישה הקוטפת פרח אדום היא P (B¯ ∩A) = 0.18
נוסחת ההסתברות המותנה היא:
נוסחת בייס
נציב ונקבל:
P (A / B¯) = 0.18 : 0.53 = 0.34

תרגיל 5 טבלה עם נעלמים

בבית ספר מסוים 0.6 מהתלמידים הם בנים. חלק מהתלמידים אוהבים ספורט וחלקם לא.  3/5 מאלו שאוהבים ספורט הם בנים.
4/5 מאלו שלא אוהבים ספורט הן בנות.
דוגמים תלמיד בבית ספר. מה ההסתברות שהוא אוהב ספורט?

פתרון

נגדיר:
A בנים.
A¯  בנות.
B אוהבים ספורט.
B¯  לא אוהבים ספורט.

P (A) = 0.6
P (A¯) = 0.4

הנתון שחסר לנו כאן ובגללו אנו צריכים להשתמש בנעלם הוא: כמה אוהבים / לא אוהבים ספורט? יש לנו נתונים על חלקים מהקבוצה הזו אך אנו לא יודעים מה גודל הקבוצה.

P(B)=X – הגדרת משתנה, ההסתברות לאהוב ספורט.
P(B¯)=1-X – המאורע המשלים, ההסתברות לא לאהוב ספורט.
P (B / A) = 0.6x
(P (B¯ / A¯) = 0.8(1 – X

נמצא את (P (A∩B) ,  P (B¯ ∩ ¯A  בעזרת נוסחה.
(P (A∩B) = P (B / A)  * P(A
P (A∩B) =  0.6X * 0.6 = 0.36X

(¯P (B¯ ∩ ¯A) = P (B¯ / A¯) * P (A
P (B¯ ∩ ¯A) = 0.8 (1 – x) * 0.4 = 0.32 – 0.32x

נכניס את הנתונים לטבלה:

מאורע A – בן מאורע A¯ – בת
מאורע B – אוהב ספורט (0.36x=P(A∩B (P(A¯∩B (X=P(B
מאורע B¯  – לא אוהב ספורט =(¯P(A∩B (0.32x + 0.32-
=(¯P(A¯∩B =
=(¯P(B
P(A)=0.6 0.4=(¯P(A 1

הערה: בטבלה צריך להיות רשום P(B¯) = 1-X אך לא ניתן לעשות זאת בגלל בעיה טכנית.

עכשיו נשלים את המאורע "בת שגם אוהבת ספורט"

(P(A¯∩B) = P(B) – P(A∩B
P(A¯∩B) = x – 0.36x = 0.64x

עכשיו אנו יכולים ליצור משוואה מהטור של "בת" (A¯)
P (A¯) = 0.64x – 0.32x + 0.32  = 0.4
0.32x  = 0.08
x = 0.25

תשובה: כאשר דוגמים תלמיד בבית ספר ההסתברות שהוא אוהב ספורט היא 0.25

אם היינו רוצים להשלים את הטבלה כולה היא הייתה נראית כך.

מאורע A – בן מאורע A¯ – בת
מאורע B – אוהב ספורט 0.09 0.16 0.25
מאורע B¯  – לא אוהב ספורט 0.51 0.24 0.75
P(A)=0.6 0.4=(¯P(A 1

עוד באתר:

  1. דיאגרמת עץ – הסבר כיצד לפתור.
  2. הסתברות מותנית – מה זה בדיוק אומר + תרגילים.
  3. הסתברות – הדף המרכזי שמרכז קישורים לדפים אחרים בנושא.
  4. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  5. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.