נוסחת ברנולי

בעזרת נוסחת ברנולי פותרים תרגילים מהסוג הבא:

  1. יש מספר ניסויים גדול יחסית (3 ומעלה).
  2. ההסתברות להצליח בניסיון בודד  שווה לאורך כל הניסיונות.

דף זה מחולק ל 5 תתי נושאים:

  1. הכרת הנוסחה והמשתנים שלה.
  2. זיהוי המשתנים שצריך להציב בנוסחה בשאלות.
  3. תרגילים עם פתרונות מלאים – החלק החשוב בדף.
  4. תשומת לב ל 3 מכשולים היכולים להכשיל אותכם.
  5. הסבר מדוע נוסחת ברנולי נכונה, חלק שהכתיבה שלו תסתיים בשבוע הקרוב.
  6. נוסחת ברנולי 5 יחידות הוא דף עם הסברים ותרגילים יותר קשים מדף זה.

מצורפים שלושה סרטוני וידאו
השניים הראשונים עוברים על החומר הנדרש עבור תלמידי 4 יחידות.
הסרטון השלישי מסביר את התוספות הנדרשות ל 5 יחידות.
המידע בטקסט של הדף ובוידאו דומה מאוד אך לדעתי קל יותר להבין מהוידאו.

הסרטון הראשון מסביר את הנוסחה, פותר תרגיל פשוט ולאחר מיכן נותן הסבר תאורטי מדוע הנוסחה נכונה. ההסבר התאורטי אינו חובה אך בהחלט יכול לסייע בפתרון תרגילים.

הסרטון השני פותר 2 תרגילים שחבויים בהם 4 מכשולים שתלמידי 4 יחידות מתמטיקה יכולים להיתקל בהם.

הסרטון השלישי מסביר מה הם הדברים הנוספים הנדרשים ב 5 יחידות ופותר שאלת בגרות הכוללות את הדברים הללו.

מכאן ומטה מופיע חומר הלימוד בטקסט.

1.הכרת הנוסחה והמשתנים שלה

נוסחת ברנולי (מופיעה גם כקובץ PDF בתחילת התרגילים.

נוסחת ברנולי

n – הוא מספר הניסיונות.
K – מספר ההצלחות.
P – הסיכוי להצליח.

הביטוי שנראה בנוסחה בערך כך : nk  נקרא "המקדם הבינומי" ושווה ל:

המקדם הבינומי: n! לחלק ב- !(k! (n-k.

המקדם הבינומי

2. זיהוי נכון של n, k, p

בנוסחת ברנולי יש להציב 3 משתנים: n,k,p.
בואו ונראה שאתם מזהים אותם נכון בתרגילים.
בתרגילים הבאים זהו את n, p,k. ללא פתרון מלא של התרגיל.

תרגיל 1
ההסתברות ששחקן כדורגל יבקיע שער בבעיטת עונשין הוא 0.8.
שחקן בועט 4 בעיטות לשער.
מה ההסתברות שיבקיע בדיוק שני שערים.

פתרון
n = 4 מספר הניסיונות.
k = 2 מספר ההצלחות הנדרש.
p = 0.8 הסיכוי להצליח.

תרגיל 2
קלע יורה למטרה 6 פעמים. ההסתברות לקליעה בירייה בודדת היא 0.7.
מה ההסתברות שהקלע יפספס בדיוק 4 פעמים.

פתרון
n = 6 יש לקלע 6 ניסיונות.
k = 4 בשאלה זו פספוס הוא הדבר הנדרש, ולכן פספוס הוא "הצלחה" מבחינת השאלה.
p = 1-0.7=0.3 זו ההסתברות לפספס, וכאמור בשאלה הקלע נדרש לפספס.

תרגיל 3
בסל יש 10 כדורים מתוכם 6 צהובים. מוצאים 3 כדורים עם החזרה מה ההסתברות ש 2 מתוכם אינם צהובים?

פתרון
n = 3 "מוציאים 3 כדורים"
k = 2 זה מספר ההצלחות הנדרש.
p = 4/10 = 0.4  זו ההסתברות להוציא לא צהוב (זו ההסתברות להצליח).

 

3. תרגילים עם פתרונות מלאים

תרגיל 1: תרגיל בסיסי + הכל הצלחות או הכל כישלונות

שחקן כדורגל בועט 6 פעמים לשער. בכל בעיטה הסיכוי שלו להבקיע הוא 0.3.
1. מה היא ההסתברות שהוא יבקיע בדיוק שני גולים?
2. מה ההסתברות שלא יבקיע כלל?

פתרון
1.
p= 0.3 (הסתברות להבקיע).
n=6 (נסיונות).
k=2
נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 6! = 720
k! (n-k)! = 4!*2! = 48
15 = 720/48

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי:
0.324135 = 15*0.3²*0.74
תשובה: ההסתברות להבקיע 2 מתוך 6 היא 0.324135.

חלק שני
ההסתברות לא להבקיע בניסיון בודד היא 0.7.
ההסתברות לא להבקיע בשישה ניסיונות רצופים היא:
0.76 = 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7
0.117649 = 0.76

הערה: כאשר אנו נדרשים לחשב הסתברות שבה כל הניסיונות מצליחים או כל הניסיונות נכשלים אין צורך להשתמש בנוסחת ברנולי אלא ניתן לחשב הסתברות בצורה רגילה, כפי שנעשה בסעיף זה.

תרגיל 2: בסיסי + סכום הסתברויות ברנולי

צלף יורה אל המטרה 5 פעמים. ההסתברות שהצלף יפגע במטרה בירייה בודדת הוא 0.1.

  1. מה ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים?
  2. מה ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים.

פתרון

אמרו לנו שההסתברות לקלוע היא 0.1 ולכן ההסתברות לפספס היא 0.9.
p=0.9.
n = 5
k = 4
נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 5! = 120
k! (n-k)! =  4!*1! = 24
5 = 120/24 (המקדם הבינומי).

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי.
0.3205 = 5*0.94*0.1
תשובה: ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים היא 0.3205.

סעיף ב.
(שימו לב שאת ההסתברויות לפספס 5 פעמים או לקלוע 5 פעמים ניתן לחשב ללא שימוש בנוסחת ברנולי).
ההסתברות לקלוע בירייה בודדת היא 0.1.
ההסתברות לקלוע 5 פעמים היא:
0.00001 = 0.15

ההסתברות לקלוע 5 פעמים או לפספס 4 פעמים היא סכום ההסתברויות של כל אחת מהאפשרויות.
0.32051 = 0.00001 + 0.3205
תשובה: 0.32051.

תרגיל 3: תרגיל עם הרבה מספרים, ניתן להתבלבל מה הוא מה

בקופסה 6 כדורים מתוכם 4 צהובים. מוצאים  3 כדורים עם החזרה. מה ההסתברות ש 2 מתוכם הם צהובים?

פתרון
4/6 = 2/3 = p זו ההסתברות להוציא כדור צהוב.

נחשב את המקדם הבינומי.
n=3  זה מספר הניסיונות.
k=2 זה מספר ההצלחות
n! = 3! = 6.
k! (n-k)!  = 2! * 1! = 2.
3 = 6/2 (המקדם הבינומי).

נציב בנוסחת ברנולי:
0.44443 = 0.666² * 0.333 * 3
תשובה: ההסתברות להוציא 2 צהובים מתוך 3 ניסיונות היא 0.44443.

תרגיל 3: ברנולי והסתברות מותנית

ההסתברות של צלף לקלוע במטרה גדולה פי 4 מההסתברות שלו לפספס את המטרה.
הצלף יורה 4 יריות.
1.מה ההסתברות של הצלף לקלוע בדיוק 3 פעמים? (סעיף זה מתאים ל 4 יחידות).
2. *(סעיף המתאים לתלמידי 5 יחידות) אם ידוע כי הצלף קלע 3 או יותר פעמים. מה ההסתברות שהוא פגע בדיוק 3 פעמים?

פתרון
1.נחשב את ההסתברות של הצלף לפגוע במטרה.
x ההסתברות לפספס.
4x ההסתברות לפגוע.
x+4x=1
x=0.2
1-0.2=0.8 זו ההסתברות לפגוע במטרה.

נעבור לנוסחת ברנולי.
נחשב את המקדם הבינומי.
p=0.8
n=4
k=3
n! = 4! = 24
k! (n-k)! = 3! * 1! = 6
4 = 24/6 המקדם הבינומי.

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי:
0.4096 = 4*0.8³*0.2
תשובה: ההסתברות לפגוע 3 מתוך 4 היא 0.4096.

חלק שני
ההסתברות לפגוע לפחות 3 פעמים היא ההסתברות לפגוע 3 או 4 פעמים.
על מנת לחשב את הסתברות זו עלינו לחשב את ההסתברות לפגוע 4 פעמים.
0.4096 = 0.84
ההסתברות לפגוע 3 או 4 פעמים היא סכום ההסתברות של:
לפגוע בדיוק 3 פעמים.
לפגוע בדיוק 4 פעמים.
0.8192 = 0.4096 +0.4096

החלק היחסי של לפגוע בדיוק 3 פעמים מתוך ההסתברות לפגוע 3 או 4 פעמים היא:
0.5 = 0.4096/0.8192
תשובה: ההסתברות של הצלף לפגוע 3 פעמים אם ידוע כי פגע לפחות 3 פעמים היא 0.5.

תרגיל 4: שימוש במשתנה + הסתברות מותנית + הסתברות משלימה

*תרגיל ברמת בגרות 5 יחידות*
שחקן כדורסל זורק 4 פעמים לסל. ידוע כי ההסתברות שלו לקלוע היא קבועה.
ההסתברות שהשחק יקלע לסל 4 פעמים קטנה פי 32.6666 מההסתברות שיקלע בדיוק פעמיים.

  1. חשבו את ההסתברות שהשחקן יקלע בזריקה בודדת.
  2. מה ההסתברות שהשחקן יקלע לפחות פעם אחת?
  3. אם השחקן קלע לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שיקלע 4 פעמים?

פתרון

p היא ההסתברות של השחקן לקלוע בזריקה בודדת.
p4 היא ההסתברות שהשחק יקלע 4 פעמים.

נחשב את ההסתברות שהשחקן יקלע בדיוק פעמיים.
נחשב את המקדם הבינומי.
n=4
k=2
n ! = 4! =24
k! (n-k)! = 2!*2! = 4
6 = 24/4 (המקדם הבינומי)
6p²(1-p)² (זו ההסתברות לפגוע בדיוק פעמיים)

המשוואה היא:
6p²(1-p)² = 32.666p4
1-2p+p² = 5.444p²
4.444p² + 2p- 1=0
נחשב בעזרת נוסחת השורשים ונמצא:
p=0.3, p=-0.75
p הוא ערך בין 0 ל 1 לכן p=0.3 היא התשובה הנכונה.

חלק שני
לפחות פעם אחת זה אומר: 1 או 2 או 3 או 4 פעמים.
לחשב כל אחת מההסתברויות הללו זו הרבה עבודה.
לכן נחשב את ההסתברות המשלימה שהיא לקלוע 0 פעמים ( לפספס 4 פעמים).
ההסתברות לפספס זריקה היא 0.7.
ההסתברות לפספס 4 פעמים היא:
0.2401 = 0.74
0.7599 = 1-0.2401   (זו ההסתברות לקלוע לפחות פעם אחת).

חלק שלישי.
ההסתברות לקלוע 4 פעמים היא:
0.0081 = 0.34

ההסתברות לקלוע לפחות פעם אחת היא 0.7599.
לכן אם ידוע שהוא קלע לפחות פעם אחת ההסתברות שהוא קלע 4 פעמים היא:
0.010659 = 0.0081/0.7599

עוד באתר בנושא הסתברות:

  1. הסתברות – הדף המרכזי הכולל את כל הקישורים.
  2. דיאגרמת עץ – כיצד לפתור תרגילים בשיטה זו.
  3. טבלה דו ממדית – כיצד לפתור תרגילים בשיטה זו.
  4. הסתברות מותנית – מה זה אומר וכיצד פותרים שאלות.

4. שלושה דברים שכדאי לשים לב אליהם כאשר פותרים תרגילים

1.זיהוי נכון של בעיות הדורשות שימוש בנוסחת ברנולי.
על מנת להשתמש בנוסחת ברנולי ההסתברות להצליח ולהיכשל צריכה להיות שווה לאורך כל הדרך.
תרגילים בהם יש הוצאה ללא החזרה הם תרגילים בהם ההסתברות משתנה משלב לשלב ולא ניתן להשתמש בהם בנוסחת ברנולי.

2. הסתברות משלימה: לשים לב למילים "לפחות" ו "לכל היותר"

בנוסחת ברנולי הרבה פעמים עלינו לחשב את ההסתברות המשלימה על מנת להגיע אל ההסתברות אותה אנו מחפשים.
בהרבה מקרים עושים במילים "לפחות" או "לכל היותר" שימוש בסעיפים הללו.
למשל:
ההסתברות שצלף יפגע במטרה היא 0.2. הצלף יורה 5 פעמים. מה היא ההסתברות שהוא יפגע לפחות פעם אחת?
פתרון
לפחות פעם אחת זה : 1,2,3,4,5 לחשב כל אחת מההסתברויות זה הרבה עבודה.
האפשרות הקלה יותר היא לחשב את ההסתברות ל 0 פגיעות – שזו ההסתברות המשלימה ל 1.

ההסתברות להיכשל בירייה בודדת היא 0.8.
0.86 = 0.262144 (ההסתברות להיכשל 6 פעמים).
1-0.262144 = 0.737856 (ההסברות לפגוע לפחות פעם אחת).

תרגיל נוסף
ההסתברות ששחקן ינצח משחק שח מט היא 0.9. בטורניר עם 6 משחקים מה ההסתברות שהוא ינצח לכל היותר 5 משחקים?
פתרון
"לכל היותר" 5 משחקים זה אומר 0,1,2,3,4,5 משחקים.
נחשב את ההסתברות המשלימה שהיא לנצח 6 פעמים ונחסר אותה מ 1.
0.96 = 0.531441. (ההסתברות לנצח 6 פעמים).
1-0.531441 = 0.468559 (ההסתברות לנצח "לכל היותר" 5 פעמים).

3. דרכים למצוא את ההסתברות שמציבים בנוסחת ברנולי

לפעמים לא יגידו את ההסתברות באופן מפורש אלא יגידו:
– "אחוז ההצלחה הוא 60%" וזה אומר שההסתברות להצליח היא 0.6.
– או שיגידו " ההסתברות להיכשל גדולה פי 3 מההסתברות להצליח" ואז פותרים זאת כך:
x הוא ההסתברות להצליח.
3x היא ההסתברות להיכשל.
x+3x=1
x=0.25
כלומר ההסתברות להצליח היא 0.25 וההסתברות להיכשל 0.75.

5. הסבר למה נוסחת ברנולי נכונה

  • הביטוי n מבטא את מספר האופנים / צורות שבו הדבר יכול לקרות. כך אם שואלים אותנו על צלף היורה 4 פעמים וצריך לפגוע פעם אחת – זה יכול לקראת בכמה אופנים והביטוי המתמטי הזה סופר אותם.
  • הביטוי P הוא ההסתברות שלנו להצליח.
  • אבל אנחנו גם צריכים להיכשל. הצלף לא יכול לפגוע יותר פעמים ממה שביקשו ממנו בשאלה והביטוי השלישי מבטא את הכישלונות.

נוסחת ברנולי בקובץ וורד.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.