נוסחת ברנולי

בדף זה:

  1. התנאים שעל פיהם ניתן להשתמש בברנולי והכרת הנוסחה.
  2. זיהוי המשתנים שצריך להציב בנוסחה בשאלות.
  3. מתי אפשר להשתמש בנוסחת ברנולי אך לא כדאי.
  4. 3 מכשולים היכולים להכשיל אותכם.
  5. תרגילים עם פתרונות מלאים – החלק החשוב בדף.
  6. נוסחת ברנולי 5 יחידות הוא דף עם הסברים ותרגילים יותר קשים מדף זה. הסבר מדוע נוסחת ברנולי נכונה.

1.התנאים לשימוש בנוסחת ברנולי
הכרת הנוסחה והמשתנים שלה

תנאים לשימוש בנוסחת ברנולי

בנוסחת ברנולי נשתמש בשני התנאים הבאים:

  1. יש מספר ניסויים גדול יחסית (3 ומעלה).
  2. ההסתברות להצליח בניסיון בודד  שווה לאורך כל הניסיונות.

הסבר למשתנים בתוך נוסחת ברנולי

נוסחת ברנולי (מופיעה גם כקובץ PDF בתחילת התרגילים.
נוסחת ברנולי

n – הוא מספר הניסיונות.
K – מספר ההצלחות.
P – הסיכוי להצליח.

הביטוי שנראה בנוסחה בערך כך : nk  נקרא "המקדם הבינומי" ושווה ל:

המקדם הבינומי: n! לחלק ב- !(k! (n-k.
המקדם הבינומי

הסימן ! נקרא "עצרת: כאשר:
1*2*3*4*5 = !5
1*2*3*4*5*6*7 = !7

2. זיהוי נכון של n, k, p

בנוסחת ברנולי יש להציב 3 משתנים: n,k,p.
בואו ונראה שאתם מזהים אותם נכון בתרגילים.
בתרגילים הבאים זהו את n, p,k. ללא פתרון מלא של התרגיל.

תרגיל 1
ההסתברות ששחקן כדורגל יבקיע שער בבעיטת עונשין הוא 0.8.
שחקן בועט 4 בעיטות לשער.
מה ההסתברות שיבקיע בדיוק שני שערים.

פתרון
n = 4 מספר הניסיונות.
k = 2 מספר ההצלחות הנדרש.
p = 0.8 הסיכוי להצליח.

תרגיל 2
קלע יורה למטרה 6 פעמים. ההסתברות לקליעה בירייה בודדת היא 0.7.
מה ההסתברות שהקלע יפספס בדיוק 4 פעמים.

פתרון
n = 6 יש לקלע 6 ניסיונות.
k = 4 בשאלה זו פספוס הוא הדבר הנדרש, ולכן פספוס הוא "הצלחה" מבחינת השאלה.
p = 1-0.7=0.3 זו ההסתברות לפספס, וכאמור בשאלה הקלע נדרש לפספס.

תרגיל 3
בסל יש 10 כדורים מתוכם 6 צהובים. מוצאים 3 כדורים עם החזרה מה ההסתברות ש 2 מתוכם אינם צהובים?

פתרון
n = 3 "מוציאים 3 כדורים"
k = 2 זה מספר ההצלחות הנדרש.
p = 4/10 = 0.4  זו ההסתברות להוציא לא צהוב (זו ההסתברות להצליח).

3. מתי אפשר להשתמש בנוסחת ברנולי אך לא כדאי

יש שאלות המתאימות לנוסחת ברנולי אך לא כדאי להשתמש בברנולי על מנת לפתור אותן.
בשאלות הללו כל הניסיונות צריכים להסתיים ב "הצלחה" או כל הניסיונות צריכים להסתיים "בכישלון".

הניסוח הנפוץ ביותר שבה תפגשו את השאלות הללו הוא:
"מה ההסתברות שהקלע יקלע לפחות פעם אחת ?"

"לפחות פעם אחת" זה אומר שכל האפשרויות טובות מלבד האפשרות שהכל יפוספס.
במקרה זה נחשב את ההסתברות שהכל יפוספס כהסתברות משלימה.
נעשה זאת ללא שימוש בנוחת ברנולי.

תרגיל לדוגמה
צלף יורה 5 פעמים. ההסתברות לקלוע בירייה אחת היא 0.6.
מה ההסתברות ש:

  1. הצלף יקלע 5 פעמים?
  2. הצלף יפספס 5 פעמים?
  3. הצלף יקלע לפחות פעם אחת?

פתרון
את כל הסעיפים ניתן לפתור בעזרת נוסחת ברנולי.
אבל נעשה זאת בצורה קצרה יותר ללא ברנולי.

סעיף א: הצלף יקלע 5 פעמים
0.7 זו ההסתברות לקליעה בירייה בודדת.
ההסתברות לקליעה בשתי יריות היא
0.7 * 0.7
על פי אותו עיקרון ההסתברות לקליעה ב 5 יריות היא:
0.168 = 0.75

סעיף ב: הצלף יפספס 5 פעמים
0.3 זו ההסתברות לפספוס יחיד.
לכן ההסתברות ל 5 פספוסים:
0.00243 = 0.35

סעיף ג: הצלף יקלע לפחות פעם אחת
"לפחות פעם אחת" זה אומר שהצלף יכול לקלוע:
1 או 2 או 3 או 4 או 5 פעמים.
כל האפשרות טובות חוץ מלקלוע 0 פעמים.

ההסתברות לקלוע 0 פעמים (0.00243) היא ההסתברות המשלימה ללקלוע "לפחות פעם אחת".

לכן נחשב הסתברות את ההסתברות לקלוע פעם אחת בעזרת ההסתברות המשלימה.
0.99757 = 0.00243 – 1
תשובה: 0.99757 זו ההסתברות לקלוע לפחות פעם אחת.

3 מכשולים נוספים בהם אתם יכולים להיתקל

1.זיהוי נכון של בעיות הדורשות שימוש בנוסחת ברנולי.
על מנת להשתמש בנוסחת ברנולי ההסתברות להצליח ולהיכשל צריכה להיות שווה לאורך כל הדרך.
תרגילים בהם יש הוצאה ללא החזרה הם תרגילים בהם ההסתברות משתנה משלב לשלב ולא ניתן להשתמש בהם בנוסחת ברנולי.
למשל התרגיל:
בקופסה 7 כדורים צהובים ו 5 אדומים.
מוציאים 4 כדורים ללא החזרה.
מה ההסתברות להוציא 4 כדורים צהובים?

שאלה זו לא מתאימה לנוסחת ברנולי כי:
7/12 זו ההסתברות להוציא בכדור הראשון צהוב.
6/11 זו ההסתברות להוציא שני צהוב אם הראשון צהוב.
ההסתברות בפעם הראשונה והשנייה אינן שוות ולכן זה לא מתאים לברנולי.

2. הסתברות משלימה: לשים לב למילים "לפחות" ו "לכל היותר"
בנוסחת ברנולי הרבה פעמים עלינו לחשב את ההסתברות המשלימה על מנת להגיע אל ההסתברות אותה אנו מחפשים.
בהרבה מקרים עושים במילים "לפחות" או "לכל היותר" שימוש בסעיפים הללו.
למשל:
ההסתברות שצלף יפגע במטרה היא 0.2. הצלף יורה 6 פעמים. מה היא ההסתברות שהוא יפגע לפחות פעם אחת?
פתרון
לפחות פעם אחת זה : 1,2,3,4,5,6 לחשב כל אחת מההסתברויות זה הרבה עבודה.
האפשרות הקלה יותר היא לחשב את ההסתברות ל 0 פגיעות – שזו ההסתברות המשלימה ל 1.

ההסתברות להיכשל בירייה בודדת היא 0.8.
0.86 = 0.262144 (ההסתברות להיכשל 6 פעמים).
1-0.262144 = 0.737856 (ההסברות לפגוע לפחות פעם אחת).

תרגיל נוסף
ההסתברות ששחקן ינצח משחק שח מט היא 0.9. בטורניר עם 6 משחקים מה ההסתברות שהוא ינצח לכל היותר 5 משחקים?
פתרון
"לכל היותר" 5 משחקים זה אומר 0,1,2,3,4,5 משחקים.
נחשב את ההסתברות המשלימה שהיא לנצח 6 פעמים ונחסר אותה מ 1.
0.96 = 0.531441. (ההסתברות לנצח 6 פעמים).
1-0.531441 = 0.468559 (ההסתברות לנצח "לכל היותר" 5 פעמים).

3. דרכים למצוא את ההסתברות שמציבים בנוסחת ברנולי
לפעמים לא יגידו את ההסתברות באופן מפורש אלא יגידו:
– "אחוז ההצלחה הוא 60%" וזה אומר שההסתברות להצליח היא 0.6.
– או שיגידו " ההסתברות להיכשל גדולה פי 3 מההסתברות להצליח" ואז פותרים זאת כך:
x הוא ההסתברות להצליח.
3x היא ההסתברות להיכשל.

סכום ההסתברויות הוא 1, לכן המשוואה היא:
x+3x=1
x=0.25
כלומר ההסתברות להצליח היא 0.25 וההסתברות להיכשל 0.75.

4. תרגילים עם פתרונות מלאים

תרגיל 1: תרגיל בסיסי + הכל הצלחות או הכל כישלונות
שחקן כדורגל בועט 6 פעמים לשער. בכל בעיטה הסיכוי שלו להבקיע הוא 0.3.
1. מה היא ההסתברות שהוא יבקיע בדיוק שני גולים?
2. מה ההסתברות שלא יבקיע כלל?

פתרון
סעיף א: ההסתברות להבקיע שני גולים
נגדיר את n,p,k
p= 0.3 (הסתברות להבקיע).
n=6 (ניסיונות).
k=2

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 6! = 720
k! (n-k)! = 4!*2! = 48
15 = 720/48

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי:
0.324135 = 15*0.3²*0.74
תשובה: ההסתברות להבקיע 2 מתוך 6 היא 0.324135.

סעיף ב: ההסתברות שלא יבקיע כלל
0.7 זו ההסתברות לא להבקיע בניסיון בודד.
ההסתברות לא להבקיע בשישה ניסיונות רצופים היא:
0.76 = 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7
0.117649 = 0.76

הערה:
כפי שכבר אמרנו, כאשר אנו נדרשים לחשב הסתברות שבה כל הניסיונות מצליחים או כל הניסיונות נכשלים אין צורך להשתמש בנוסחת ברנולי אלא ניתן לחשב הסתברות בצורה רגילה, כפי שנעשה בסעיף זה.

תרגיל 2: תרגיל בסיסי פתור בוידאו

תרגיל 3: בסיסי + סכום הסתברויות ברנולי
צלף יורה אל המטרה 5 פעמים. ההסתברות שהצלף יפגע במטרה בירייה בודדת הוא 0.1.

  1. מה ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים?
  2. מה ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים.

פתרון
סעיף א: הצלף יפספס 4 פעמים
0.1 זו ההסתברות לקלוע.
לכן:
0.9 זו ההסתברות לפספס.

נגדיר את n,p,k
p=0.9.
n = 5
k = 4

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 5! = 120
k! (n-k)! =  4!*1! = 24
5 = 120/24 (המקדם הבינומי).

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי.
0.3205 = 5*0.94*0.1
תשובה: ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים היא 0.3205.

סעיף ב: הצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים
(שימו לב שאת ההסתברויות לפספס 5 פעמים או לקלוע 5 פעמים ניתן לחשב ללא שימוש בנוסחת ברנולי).
ההסתברות לקלוע בירייה בודדת היא 0.1.
ההסתברות לקלוע 5 פעמים היא:
0.00001 = 0.15

ההסתברות לקלוע 5 פעמים או לפספס 4 פעמים היא סכום ההסתברויות של כל אחת מהאפשרויות.
0.32051 = 0.00001 + 0.3205
תשובה: 0.32051 זו ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים.

תרגיל 4: תרגיל עם הרבה מספרים, ניתן להתבלבל מה הוא מה
בקופסה 6 כדורים מתוכם 4 צהובים.
מוצאים 3 כדורים עם החזרה.
מה ההסתברות ש 2 מתוכם הם צהובים?

פתרון
נגדיר את n,p,k
4/6 = 2/3 = p זו ההסתברות להוציא כדור צהוב.
n=3  זה מספר הניסיונות.
k=2 זה מספר ההצלחות

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 3! = 6.
k! (n-k)!  = 2! * 1! = 2.
3 = 6/2 (המקדם הבינומי).

נציב בנוסחת ברנולי:
0.44443 = 0.666² * 0.333 * 3
תשובה: ההסתברות להוציא 2 צהובים מתוך 3 ניסיונות היא 0.44443.

תרגיל 5: ברנולי והסתברות מותנית
ההסתברות של צלף לקלוע במטרה גדולה פי 4 מההסתברות שלו לפספס את המטרה.
הצלף יורה 4 יריות.
1.מה ההסתברות של הצלף לקלוע בדיוק 3 פעמים? (סעיף זה מתאים ל 4 יחידות).
2. *(סעיף המתאים לתלמידי 5 יחידות) אם ידוע כי הצלף קלע 3 או יותר פעמים. מה ההסתברות שהוא פגע בדיוק 3 פעמים?

פתרון
סעיף א: ההסתברות לקלוע בדיוק 3 פעמים
נחשב את ההסתברות של הצלף לפגוע במטרה.
x ההסתברות לפספס.
4x ההסתברות לפגוע.
x+4x=1
x=0.2
0.8 = 1-0.2 זו ההסתברות לפגוע במטרה.

לכן:
p=0.8
n=4
k=3

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 4! = 24
k! (n-k)! = 3! * 1! = 6
4 = 24/6 המקדם הבינומי.

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי:
0.4096 = 4*0.8³*0.2
תשובה: ההסתברות לפגוע 3 מתוך 4 היא 0.4096.

סעיף ב
ההסתברות לקלוע לפחות 3 פעמים היא ההסתברות לקלוע 3 או 4 פעמים.
0.4096 זו ההסתברות לקלוע 3 פעמים שחישבנו בסעיף הקודם.
נותר לנו לחשב את ההסתברות לקלוע 4 פעמים.

ההסתברות לקלוע 4 מתוך 4 פעמים היא:
0.4096 = 0.84

ההסתברות לפגוע 3 או 4 פעמים היא סכום ההסתברות של:
לפגוע בדיוק 3 פעמים.
לפגוע בדיוק 4 פעמים.
0.8192 = 0.4096 +0.4096

החלק היחסי של לפגוע בדיוק 3 פעמים מתוך ההסתברות לפגוע 3 או 4 פעמים היא:

תשובה: ההסתברות של הצלף לפגוע 3 פעמים אם ידוע כי פגע לפחות 3 פעמים היא 0.5.

תרגיל 6: שימוש במשתנה + הסתברות מותנית + הסתברות משלימה
*תרגיל ברמת בגרות 5 יחידות*
שחקן כדורסל זורק 4 פעמים לסל. ידוע כי ההסתברות שלו לקלוע היא קבועה.
ההסתברות שהשחקן יקלע לסל 4 פעמים קטנה פי 32.6666 מההסתברות שיקלע בדיוק פעמיים.

  1. חשבו את ההסתברות שהשחקן יקלע בזריקה בודדת.
  2. מה ההסתברות שהשחקן יקלע לפחות פעם אחת?
  3. אם השחקן קלע לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שיקלע 4 פעמים?

פתרון
p היא ההסתברות של השחקן לקלוע בזריקה בודדת.
p4 היא ההסתברות שהשחק יקלע 4 פעמים.

נחשב את ההסתברות שהשחקן יקלע בדיוק פעמיים.
נחשב את המקדם הבינומי.
n=4
k=2
n ! = 4! =24
k! (n-k)! = 2!*2! = 4
6 = 24/4 (המקדם הבינומי)

נציב בנוסחת ברנולי ונקבל את ההסתברות לפגוע פעמיים:
6p²(1-p)²

המשוואה מבוססת על המשפט:
"השחקן יקלע לסל 4 פעמים קטנה פי 32.6666 מההסתברות שיקלע בדיוק פעמיים"
6p²(1-p)² = 32.666p4
1-2p+p² = 5.444p²
4.444p² + 2p- 1=0
נחשב בעזרת נוסחת השורשים ונמצא:
p= 0.3, p= -0.75
p הוא ערך חיובי בין 0 ל 1 לכן p=0.3 היא התשובה הנכונה.

סעיף ב: השחקן יקלע לפחות פעם אחת
לפחות פעם אחת זה אומר: 1 או 2 או 3 או 4 פעמים.
לחשב כל אחת מההסתברויות הללו זו הרבה עבודה.
לכן נחשב את ההסתברות המשלימה שהיא לקלוע 0 פעמים ( לפספס 4 פעמים).
ההסתברות לפספס זריקה היא 0.7.
ההסתברות לפספס 4 פעמים היא:
0.2401 = 0.74

וההסתברות לקלוע לפחות פעם אחת תהיה:
0.7599 = 1-0.2401

סעיף ג
0.3 זו ההסתברות לקלוע פעם אחת.
ההסתברות לקלוע 4 פעמים היא:
0.0081 = 0.34

ההסתברות לקלוע לפחות פעם אחת היא 0.7599.
לכן אם ידוע שהוא קלע לפחות פעם אחת ההסתברות שהוא קלע 4 פעמים היא:

תשובה: 0.010659.

עוד באתר בנושא הסתברות:

  1. הסתברות – הדף המרכזי הכולל את כל הקישורים.
  2. דיאגרמת עץ – כיצד לפתור תרגילים בשיטה זו.
  3. הסתברות מותנית – מה זה אומר וכיצד פותרים שאלות.
  4. טבלה דו ממדית – כיצד לפתור תרגילים בשיטה זו.

6. נוסחת ברנולי ברמת 5 יחידות

בדף ברנולי 5 יחידות מידע מפורט.

7. הסבר למה נוסחת ברנולי נכונה

  • הביטוי n מבטא את מספר האופנים / צורות שבו הדבר יכול לקרות. כך אם שואלים אותנו על צלף היורה 4 פעמים וצריך לפגוע פעם אחת – זה יכול לקראת בכמה אופנים והביטוי המתמטי הזה סופר אותם.
  • הביטוי P הוא ההסתברות שלנו להצליח.
  • אבל אנחנו גם צריכים להיכשל. הצלף לא יכול לפגוע יותר פעמים ממה שביקשו ממנו בשאלה והביטוי השלישי
    להיכשל ברנולי

    מבטא את הכישלונות.

המכפלה של שלושת הגורמים הללו: מספר האפשרויות שדבר יקרה, ההסתברות להצליח במידה הדרושה, ההסתברות להיכשל במידה הדרושה.
המכפלה הזו היא שנותנת לנו את נוסחת ברנולי.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? כתבו לי ואתקן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.