ממוצע

בדף זה תמצאו סוגים שונים של תרגילי חישוב ממוצע:

  1. תרגילי ממוצע בסיסיים וממוצע של קבוצות.
  2. תרגילי ממוצע בהם צריך להשתמש במשתנה על מנת לפתור את השאלה.
  3. תרגילי ממוצע בהם מוסיפים מחסרים מספרים לאחר שהממוצע כבר חושב.
  4. תרגילי ממוצע משוקלל.
  5. ממוצע לעומת חציון.
  6. דפים קשורים נוספים באתר: סטיית תקן, התפלגות נורמלית.

1. איך מחשבים ממוצע

נוסחה לחישוב ממוצע

דוגמאות:

תרגיל 1
חשבו את הממוצע של של המספרים
10,  20,   20,   30

פתרון
סכום המספרים הוא:
80 = 30 + 20 + 20 + 10
מספר המספרים הוא 4.
לכן הממוצע הוא:
20 = 4 : 80
תשובה: הממוצע של המספרים הוא 20.

תרגיל 2
בחנות יש 2000 מוצרים המסודרים ב 50 מגירות.
כמה מוצרים יש בממוצע במגירה אחת?

פתרון
"הסכום" הוא 2000.
מספר האיברים שצריך לחלק בו הוא 50.
40 = 50 : 2000

2. ממוצע של קבוצות

לפנינו טבלה של המציגה ציונים במבחן ומספר התלמידים שקיבל כל ציון.

ציון 80 70
מספר תלמידים 6 4

כאשר נרצה לחשב את סכום הציונים של הכיתה, איזה תרגיל יהיה לנו קל יותר לפתור?
= 80 + 80 + 80 + 80 + 80 + 80 + 70 + 70 + 70 + 70
או
760 = 6 * 80 + 4 * 70

התרגיל השני נוח יותר לפתרון וכאשר "מספר התלמידים" גדול יותר. נניח שהיינו רוצים לחשב ממוצע ציונים בבית ספר שלם, במקרה כזה אין ברירה אלא להשתמש בשיטה השנייה.

בשיטה השנייה התייחסנו אל קבוצת התלמידים שקיבלה 70 ואל קבוצת התלמידים שקיבלה 80. לכן קוראים לזה "ממוצע של קבוצות".

הממוצע של תרגיל זה הוא:
76 = 10 : 760

תרגיל 1
בטבלה מתוארת התפלגות ציונים של תלמידים בכיתה.
חשבו את ממוצע הציונים.

ציון 90 80 70 60
מספר התלמידים 4 10 12 3

פתרון
מספר התלמידים הוא:
29 = 4 + 10 + 12+ 3
סכום הציונים הוא:
2180 = 4 * 90 + 80 * 10 + 70 * 12 + 3 * 60
הממוצע הוא:
75.17 = 29 : 2180

תרגיל 2
בכיתה 30 תלמידים.
בדיאגרמת העיגול המצורפת תמצאו את החלק בכיתה שקיבל כל ציון.
כמה תלמידים קיבלו כל ציון?
חשבו את ממוצע הציונים בכיתה.

דיאגרמת עיגול

פתרון

את הציון 8 קיבלו:
10 = 30 * (1/3)
את הציון 7 קיבלו:
12 = 30 * (2/5)
את הציון 9 קיבלו:
8 = 10 – 12 – 30

אם אתם רוצים ניתן לבנות טבלה המייצגת את הציונים בכיתה (אבל זו לא חובה לבנות את הטבלה):

ציון 9 8 7
מספר התלמידים 8 12 10

סכום הציונים של התלמידים הוא:
238 = 9 * 8 + 8* 12 + 7 * 10
ממוצע הציונים הוא:
7.933 = 30 : 238
תשובה: ממוצע הציונים של הכיתה הוא 7.933

3. שימוש במשתנה למציאת הממוצע

תרגיל 1

נתונה קבוצת הציונים:

ציון 90 80 70
מספר תלמידים x 6 18

ממוצע הציונים הוא 75.
כמה תלמידים קיבלו 90?

פתרון
מספר התלמידים הוא:
x + 6 + 18 = x + 24
סכום הציונים הוא:
90x + 80 * 6 + 70 * 18 = 90x + 1740
הממוצע הוא 75, לכן המשוואה היא:
90x + 1740) / (x + 24) = 75    /*x + 24)
90x + 1740 = 75x + 1800  / -1740 – 75x
15x = 60  / :15
x = 4
תשובה: מספר התלמידים שקיבל 90 הוא 4.

תרגיל 2

הציון באנגלית בכיתה ח1 היה נמוך ב 7 נקודות מהציון באנגלית ב ח2. בח1 יש 30 תלמידים וב ח2 40 תלמידים. הממוצע של שתי הכיתות היה 82. חשבו את הציון הממוצע במבחן באנגלית בכול אחת מהכיתות.

פתרון

x הציון הממוצע באנגלית בכיתה ח1
x + 7 הציון הממוצע באנגלית בכיתה ח2

כך נראית הטבלה המייצגת את הבעיה:

ח1 ח2
ציון x x + 7
מספר התלמידים 30 40

מספר התלמידים בשתי הכיתות הוא:
70 = 30 + 40
סכום הציונים בשתי הכיתות הוא:
30x +40(x+7) = 70x + 280
הממוצע בשתי הכיתות הוא 82, לכן המשוואה היא:
70x + 280) / 70 = 82   /*70)
70x + 280 = 5740   / -280
70x  = 5460   / :70
x = 78
תשובה: הציון הממוצע באנגלית בכיתה ח1 הוא 78, בכיתה ח2 הציון הממוצע הוא 85.

4. ממוצע שחושב ולאחר מיכן מוסיפים לו מספר

תרגיל 1
בכיתה 32 תלמידים. הציון הממוצע בכיתה במבחן במתמטיקה היה 72.
המורה נתנה 6 נקודות תוספת לכל אחד מהתלמידים.
מה הוא הציון הממוצע החדש?

פתרון

כאשר מוספים לכל התלמידים מספר קבוע הממוצע עולה באותו מספר, כלומר הממוצע יהיה 78.

נוכיח את זה:
מספר התלמידים 32.
סכום הציונים של התלמידים לפני התוספת הוא:
2304 = 72 * 32
מספר הנקודות שהמורה הוסיפה לכל התלמידים הוא:
192 = 6 * 32
סכום הציונים של תלמידי הכיתה לאחר התוספת הוא:
2496 = 192 + 2304
הממוצע החדש הוא:
78 = 32 : 2496

תרגיל 2
בכיתה 30 תלמידים שהציון הממוצע שלהם הוא 81.
לכיתה נוסף תלמיד עם ציון ממוצע 70 ותלמיד עם ציון ממוצע 75.
מה הממוצע החדש של תלמידי הכיתה?

פתרון

סכום הציונים של תלמידי הכיתה לפני התוספת:
2430 = 30 * 81
סכום ציוני תלמידי הכיתה לאחר התוספת:
2575 = 70 + 75 + 2430
מספר תלמידי הכיתה לאחר התוספת הוא 33.
הממוצע החדש הוא:
78.03 = 33 : 2575

תרגיל 3 (עם משתנה)
הממוצע של תלמיד ב 6 מבחנים הוא 70 . מה צריך להיות הציון של התלמיד במבחן השביעי על מנת שהממצע ב 7 מבחנים יהיה 74?

פתרון
x   הוא הציון של התלמיד במבחן השביעי על מנת שהממוצע לאחר 7 מבחנים יהיה 74.
סכום הציונים של התלמיד לאחר 6 מבחנים הוא:
420 = 6 * 70
סכום הציונים של התלמיד לאחר 7 מבחנים הוא:
x + 420
הממוצע לאחר 7 מבחנים הוא 74, לכן המשוואה היא:
x + 420) : 7  = 74)
x + 420 = 518  / – 420
x = 98
תשובה: הציון במקצוע השביעי צריך להיות 98.

5. ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל הוא ממוצע שבו לציונים / מספרים שונים יש חשיבות שונה.
למשל אם עושים 2 מבחנים והחשיבות של המבחן השני בקביעת הציון הסופי גדולה פי 2.

את סכום הציונים של הממוצע המשוקלל מחלקים במספר "החשיבויות".

תרגיל 1
בהיסטוריה נערכו שני מבחנים.
דנה קיבלה במבחן הראשון ציון 80 ובמבחן השני ציון 92.
הציון בתעודה נקבע על פי שני המבחנים והחשיבות של המבחן השני היא פי 3 מהחשיבות של המבחן הראשון.
מה הציון של דנה בתעודה?

פתרון
החשיבות של המבחן הראשון היא 1, לכן הסכום שהמבחן הראשון תורם לממוצע הוא:
80 = 1 * 80
החשיבות של המבחן השני היא 3, לכן הסכום שהמבחן השני תורם לממוצע הוא:
276 = 3 * 92
הסכום הכללי הוא:
356 = 80 + 276
סכום "החשיבויות" הוא:
4 = 1 + 3
הממוצע המשוקלל / הציון בתעודה הוא:
89 = 4 : 356
תשובה: הציון של דנה בהיסטוריה בתעודה הוא 89.

הערה: היינו יכולים לייצג את הבעיה בטבלה כך (מאוד דומה לממוצע של קבוצות):

ציון 92 80
משקל 3 1

תרגיל 2
פירוט המקצועות והציונים של תלמיד נראה כך:
מתמטיקה 5 יחידות ציון 84.
תנ"ך 2 יחידות ציון 90.
לשון 1 יחידה ציון 78.
אנגלית 5 יחידות ציון 96.
המשקל של כל מקצוע בחישוב הממוצע הוא כמספר היחידות שלו.
חשבו את ממוצע הציונים של התלמיד ב 4 המקצועות.

פתרון
סכום היחידות של ארבעת המקצועות הוא:
13 = 5 + 1 + 2 + 5
סכום הציונים "המשוקלל" במקצועות הללו הוא:
1158 = 5 * 96 + 1 * 78 + 2 * 90 + 5 * 84
הממוצע המשוקלל הוא:
89.077 = 13 : 1158

6. ממוצע לעומת חציון

ממוצע וחציון הם שני מדדים שנועדו לייצג קבוצה של מספרים.
אף אחד מיהם הוא לא טוב יותר מאחרים בכל המקרים.

מה ההבדל העיקרי בין ממוצע וחציון?

חציון הוא מדד שאינו משתנה כאשר עושים שינויים מסוימים בנתונים.
למשל, החציון של שתי קבוצות המספרים הללו נשאר זהה:
1 ,3,  4
1, 3,  100
בשני המקרים החציון הוא 3.
לכן קוראים לחציון "מדד שאינו רגיש למה שקורה בקצוות". כי ניתן לשנות את מספרי הקצה של קבוצת המספרים מבלי שהקצה ישתנה.

הממוצע לעומת זאת הוא מדד שכן רגיש למה שקורה בקצוות, הממוצע כן משתנה כאשר משנים מספרים הנמצאים בקצוות.

האם "רגישות לקצוות" זה דבר טוב או רע?
אין תשובה אחת.
זה תלוי מה מחפשים.

למה אם אלו ההכנסות החודשיות של קבוצת אנשים מסוימת:
4000,    6000,    80000,   80000,    100,000

יש שיגידו שאם נכלול את 100,000 בחישוב הממוצע נקבל מספר שרחוק מאוד מלייצג את ההכנסות של 4 האנשים האחרים. ולכן החציון עדיף במקרה זה.
לעומת אחרים שיגידו שנדרש מדד המייצג את ההכנסות של כל 5 האנשים, מדד כמו הממוצע.

בשורה התחתונה: כאשר אין מספרים קיצוניים מאוד הרחוקים משאר המספרים לרוב סטטיסטיקאים ישתמשו בממוצע.
לעומת זאת כאשר יש מספרים קיצוניים שגורמים לממוצע להיות לא מייצג יש כאלו שישתמשו בחציון ואחרים יחשבו את הממוצע והחציון על מנת לייצג את הקבוצה.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.