הסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים

בדף זה נלמד כיצד מחשבים הסתברות של שניים או שלוש מאורעות בלתי תלויים.

מה זה מאורעות בלתי תלויים?
אלו מאורעות שאין בניהם קשר, מאורע אחד אינו משפיע על השני.
למשל:
זורקים קובייה וזורקים מטבע. אין קשר בין התוצאה של הקובייה והתוצאה של המטבע ולכן אלו מאורעות בלתי תלויים.

הנוסחה של חישוב ההסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים היא:
(P(A ∩ B) = P (A) * P (B
הנוסחה תהיה ברורה כאשר נפתור תרגילים.

תרגילים

תרגיל 1
זורקים מטבע וקובייה.

  1. מה ההסתברות שיצא המספר 4 בקובייה ו"פלי" במטבע?
  2. מה ההסתברות שיצא מספר זוגי בקובייה ופלי במטבע?

פתרון
סעיף א
הסתברות למספר 4 היא 1/6.
ההסתברות ל "פלי" היא 1/2.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/12.

סעיף ב
ההסתברות למספר זוגי בקובייה היא:
1/2 = 3/6
ההסתברות ל "פלי" היא 1/2.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/4

תרגיל 2
מסובבים רולטה שעליה המספרים 1,2,3 וההסתברות לקבלת כל אחד מהמספרים הללו שווה.
בנוסף זורקים קובייה.
מה ההסתברות שבקובייה יצא המספר 5 או 6 ואילו ברולטה לא יצא המספר 2?

פתרון
2/6 זו ההסתברות שבזריקת קובייה יצא 5 או 6.
בסיבוב הרולטה מבקשים בעצם שיצאו המספרים 1 או 3.
וההסתברות לכך היא:
2/3

ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/3.

תרגיל 3
בקופסה ראשונה יש 4 כדורים צהובים ו 2 אדומים.
בקופסה שנייה יש 1 כדור צהוב ו 3 ירוקים.
בקופסה שלישית יש רק 3 כדורים צהובים.
מוצאים כדור אחד מכל קופסה. מה ההסתברות שיצאו 3 כדורים צהובים?

פתרון
4/6 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה הראשונה.
1/4 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השנייה.
1 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השלישית.

ההסתברות ששלושת הדברים יקרו היא מכפלת ההסתברויות:

תשובה: ההסתברות להוציא 3 כדורים צהובים היא 1/6.

תרגילים קשים יותר

עד עכשיו כל התרגילים שלנו היו מורכבים ממכפלה של 2 או 3 הסתברויות.
כאשר כל הסתברות בנפרד היה קל יחסית לחשב.
בתרגילים היותר קשים החישוב של כל הסתברות נפרדת הוא לא כל כך קל.

תרגיל 1
זורקים 2 קוביות ומסובבים סביבון שעליו האותיות נ.ג.ה.פ.
מה ההסתברות שסכום המספרים על הקוביות יהיה גדול מ 5 ואילו הסביבון יפול על האותו פ.

פתרון
עבור סכום הגדול מ 5 בשתי הקוביות יש הרבה אפשרויות.
נוח יותר לחשב את ההסתברות לקבל סכום של 5 או פחות.
האפשרויות לקבל 5 או פחות הן:
1,1
1,2
1,3
1,4
2,1
2,2
2,3
3,2
קיבלנו 8 אפשרויות.
סך כל האפשרויות לצירופים בזריקת שתי קוביות ללא חשיבות לסדר המספרים הוא:
36 = 6²
לכן מספר הצירופים שדרכו ניתן לקבל יותר מ 5 הוא:
28 = 8 – 36
וההסתברות לכך היא 28/36.

ההסתברות לקבל "פ" בסביבון היא 1/4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו היא:

תרגיל 2
אדם זורק קובייה פעמיים.
אם המספר המתקבל בקובייה הוא 6 אז הוא מקבל 2 נקודות.
אם המספר גדול או שווה ל 4 אך לא 6 הוא מקבל נקודה 1.
אם המספר קטן מ 4 האדם לא מקבל ניקוד.

  1. מה ההסתברות שהאדם יזכה בדיוק בשתי נקודות?
  2. אם ידוע שהאדם זכה בשתי נקודות. מה ההסתברות שהוא קיבל פעם אחת 6?
  3. 5 משתתפים במשחק (כל אחד זרק פעמיים) מה ההסתברות שבדיוק שני אנשים קיבלו שתי נקודות.

פתרון
סעיף א
יש שתי אפשרויות לקבל 2 נקודות.
לקבל 6 ומספר קטן מ 4 או מספר קטן מ 4 ולאחר מיכן 6.
או
לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5.
נחשב כל אחת מההסתברויות הללו:

ההסתברות לקבל 6 ולאחר מיכן לקבל מספר קטן מ 4 היא:
1/6  זו ההסתברות לקבל 6.
3/6 זו ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:
1/12 = 3/36 = (3/6) * (1/6)
ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4 בזריקה הראשונה ולאחר מיכן 6 שווה להסתברות שחישבנו.

1/6 = 2/12  זו ההסתברות לקבל 2 כאשר באחת הזריקות נקבל 6.

ההסתברות לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5 היא:
2/6  זו ההסתברות לקבל 4 או 5 פעם אחת.
לכן ההסתברות לקבל פעמיים היא:
1/9 = 4/36 = 2/6 * 2/6

ההסתברות לקבל 2 היא סכום ההסתברויות שחישבנו:
5/18 = 1/9 + 1/6
תשובה: ההסתברות לקבל שתי נקודות היא 5/18.

סעיף ב
זו הסתברות מותנית.
0.277 = 5/18  זו ההסתברות לקבל 2 נקודות בכול הדרכים יחד.
0.1666 = 1/6  זו ההסתברות לקבל 6 בקובייה וגם לקבל שתי נקודות.

תשובה: אם ידוע שאדם קיבל 2 אז ההסתברות שהוא קיבל 6 באחת מזריקות הקובייה הוא 0.6

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.