טבלה דו מימדית

טיפ קטן: שאלות בהסתברות כוללות פיצולים ואפשרויות שונות.  לזכור את כל הדברים הקטנים הללו בלי להבין זה דבר מעצבן – על כן אני ממש ממליץ לנסות להישען על הבנה. לגשת לשאלה ולהתקדם כל פעם צעד. אם אתם מתקשים אתם יכולים להשאיר שאלה במערכת התגובות כאן.
הבונוס החיובי של השאלות בהסתברות הוא שהן דורשות מעט טכניקה והן קצרות יותר משאלות בגיאומטריה אנליטית / גיאומטריה / חקירת פונקציות.

טבלה דו מימדית

טבלה דו ממדית היא דרך שנועדה לעזור בהצגת נתונים בהסתברות – אם לא נוח לכם לעבוד איתה – אל תעשו זאת.

טבלה דו ממדית נראית כך:

מאורע A מאורע A¯
מאורע B (P(A∩B (P(A¯∩B (P(B
מאורע B¯ (¯P(A∩B (¯P(A¯∩B (¯P(B
(P(A (¯P(A 1

כמה דברים שחשוב להבין לגבי הסתברות וטבלה דו ממדית. חשוב שתתעקשו על הבנה של הדברים הללו:

ההסתברות שמאורע יקרה או שיקרה המאורע המשלים היא 1. כלומר:
p(A) + p(A¯)=1
p(B) + p(B¯)=1

למה זה נכון? בגלל שזו ההגדרה של המאורע המשלים. מה ההסתברות שהיום יום שני או שהיום לא יום שני? 1, הסתברות ודאית. אין אפשרות שיקרה משהוא אחר.

כיצד זה קשור לטבלה דו ממדית? מסיבה זו הסכום של השורה התחתונה (p(A) + p(A¯)=1) ושל הטור השמאלי  (p(B) + p(B¯)=1חייב להיות 1.

2  –     (¯P(A)=P(A∩B) + P(A∩B . למשל אם A זה המאורע של אדם הלובש חולצה לבנה. ו-B זה אדם עם מכונית. אז הסיכוי לדגום אדם עם חולצה לבנה שווה (P(A לסיכוי לדגום אדם עם חולצה לבנה שיש לו מכונית (P(A∩B + ההסתברות לדגום אדם עם חולצה לבנה שאין לו מכונית (¯P(A∩B.
כמובן שגם המשוואה הזו נכונה עבור הטבלה: (P(B)=P(A∩B) + P(A¯∩B

למה זה חשוב לטבלה דו ממדית? כי זה מאפשר לנו להשלים הסתברויות חסרות.

תיאור גרפי של הכתוב מעלה בסעיף 2

טיפ: כיצד מבדילים בניסוח המילולי בין (P(A ל- (P(A∩B ?

בעיות בהסתברות הן בעצם סוג של בעיות מילוליות. נותנים לנו טקסט ואנו צריכים לתרגם אותו למשוואה. לכן חשוב מאוד שנבין מה הטקסט אומר.
(P(A∩B יש צורה מילולית של: "ההסתברות לדגום  X שהוא גם  Y". למשל "20% הם לובשי חולצי לבנה ובעלי רכב".
(P(A יש צורה מילולית של: "ההסתברות לקבל X". למשל " 60% לובשים חולצה לבנה".

תרגילים בטבלה דו מימדית

טבלה דו ממדית עוזרת לחשב הסתברויות של הסתברות מותנית והסתברות שאינה מותנית.
בשאלות הבאות אציג מספר סעיפים של הסתברות שאינה מותנית וסעיף אחד של הסתברות מותנית.

תרגיל 1

ידוע כי 60% מהמגיעים לבריכה הם גברים והשאר נשים. כמו כן ידוע 40% מהמגיעים לבריכה הם גברים שלא נכנסים למים. וכי רק 30% מהמגיעים לבריכה נכנסים למים.
חשבו:

  1. מה אחוז הגברים מכלל המגיעים לבריכה שנכנס למים.
  2. מה אחוז הנשים מכלל המגיעים לבריכה שלא נכנס למים.
  3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

פתרון:

נגדיר:

A – גבר.
A¯ – אישה.
B – אדם הנכנס למים.
B¯ – אדם שלא נכנס למים.

נתון:
P (A)=0.6
P(A∩B¯)=0.4
P (B)=0.6

הנתונים שהכי קל להשלים (אפילו כשאין טבלה) הם:
P (A¯)=0.4
P(B¯)=0.7

נציב את הנתונים בטבלה

מאורע A – גבר מאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים (P(A∩B (P(A¯∩B 0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים 0.4=(¯P(A∩B (¯P(A¯∩B 0.7=(¯P(B
P(A)=0.6 0.4=(¯P(A 1

עכשיו כשאנו יודעים שהסכום של 2 התאים של השורות צריך להיות שווה לטור השורה מהסכם ואותו דבר עבור הטורים – קל לחשב את שאר הטבלה.

מאורע A – גבר מאורע A¯ – אישה
מאורע B – נכנסים למים 0.2=(P(A∩B 0.1=(P(A¯∩B 0.3=(P(B
מאורע B¯  – לא נכנסים 0.4=(¯P(A∩B 0.3=(¯P(A¯∩B 0.7=(¯P(B
P(A)=0.6 0.4=(¯P(A 1

1. מה אחוז הגברים מכלל המגיעים לבריכה שנכנס למים?

מה שמבקשים מאיתנו זה: (p(A∩B.
(P(A∩B) =(P(A)-P(B¯∩A
P(A∩B) =0.6-0.4=0.2
תשובה: אחוז הגברים שנכנס למים מכלל המגיעים לבריכה הוא 20%.

2. מה אחוז הנשים מכלל המגיעים לבריכה שלא נכנס למים – מבקשים מאיתנו את (¯P(B¯∩A

ניתן לראות בטבלה כי:
(¯P(B)-P(B¯∩A)=P(B¯∩A
0.7-0.4=0.3
תשובה: אחוז הנשים שלא נכנס למים מכלל המבקרים בבריכה הוא 30%.

3. בוחרים אישה. מה ההסתברות שהיא לא נכנסה למים?

הנשים הם 40% מכלל המגיעים לבריכה.
30% מכלל המגיעים לבריכה הם נשים שלא נכנסות למים.
לכן אם ידוע שבחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 40:30=0.75.
תשובה: במידה ובחרנו אישה ההסתברות שהיא לא נכנסת למים היא 0.75.

תרגיל 2

תלמיד נבחן בהסתברות ובגיאומטריה. ההסתברות שהוא יקבל יעבור את המבחן בהסתברות היא 0.8 וההסתברות שהוא יעבור את המבחן בגיאומטריה היא 0.7. ידוע כי ההסתברות שהוא יעבור את בגיאומטריה אך ייכשל בהסתברות היא 0.1.

  1. מה ההסתברות שהתלמיד נכשל בשני המבחנים?
  2. מה ההסתברות שהתלמיד עבר לפחות מבחן אחד?
  3. נניח שיש לנו מדגם של 200 תלמידים שההסתברות שלהם לעבור ולהיכשל היא כמו של התלמיד הזה. בוחרים תלמיד שעבר את המבחן בהסתברות. מה ההסתברות שהוא עבר גם את המבחן בגיאומטריה?

פתרון

A – יעבור בהסתברות.
A¯ – ייכשל בהסתברות.
B – יעבור בגיאומטריה.
B¯  – ייכשל בגיאומטריה.

P(A)=0.8
P(A¯)=0.2
P(B)=0.7
P(B¯)=0.3
P(A¯∩B)=0.1

נשים את הנתונים בטבלה

מאורע A – עבר הסתברות מאורע A¯ – נכשל הסתברות
מאורע B -עבר גיאומטריה (P(A∩B 0.1=(P(A¯∩B 0.7=(P(B
מאורע B¯  – נכשל גיאומטריה (¯P(A∩B (¯P(A¯∩B 0.3=(¯P(B
P(A)=0.8 P(A¯)=0.2

נשלים את השורות והטורים:

מאורע A – עבר הסתברות מאורע A¯ – נכשל הסתברות
מאורע B -עבר גיאומטריה 0.6=(P(A∩B 0.1=(P(A¯∩B 0.7=(P(B
מאורע B¯  – נכשל גיאומטריה 0.2=(¯P(A∩B 0.1=(¯P(A¯∩B 0.3=(¯P(B
P(A)=0.8 P(A¯)=0.2
  1. מה ההסתברות שהתלמיד נכשל בשני המבחנים?
    0.1.
  2. מה ההסתברות שהתלמיד עבר לפחות מבחן אחד?
    זו ההסתברות המשלימה להסתברות הקודמת ולכן שווה ל: 1-0.1=0.9.כמו כן ניתן לחשב את ההסתברות בעזרת חיבור התאים בטבלה:
    עבר שני מבחנים + עבר רק הסתברות + עבר רק גיאומטריה.
    0.6                    +     0.2                +   0.1    = 0.9
  3. נניח שיש לנו מדגם של 200 תלמידים שההסתברות שלהם לעבור ולהיכשל היא כמו של התלמיד הזה. בוחרים תלמיד שעבר את המבחן בהסתברות. מה ההסתברות שהוא עבר גם את המבחן בגיאומטריה?
    ההסתברות לעבור את המבחן בהסתברות היא 0.8 ההסתברות לעבור בהסתברות וגיאומטריה היא 0.6.
    לכן אם בחרנו תלמיד שעבר את הבחינה בהסתברות ההסתברות שהוא עבר גם בגיאומטריה הוא: 0.6:0.8=0.75.

תרגיל 3

בכיתה יש בנים ובנות אשר מגיעים מהעיר או לא מהעיר.
0.2 מהכיתה הם בנים המגיעים מהעיר. 0.3 מהכיתה הם בנות שלא מגיעות מהעיר. 0.25 הם בנים שלא מגיעים מהעיר.

  1. דוגמים תלמיד. מה ההסתברות שהוא בן?
  2. אם ידוע כי נבחרה בת. מה ההסתברות שהיא מהעיר?
  3. ידוע כי בכיתה יש 40 תלמידים. כמה מהם הם בנים המגיעים מהעיר?

פתרון

נבנה טבלה.

מאורע A – בן מאורע A¯ – בת
מאורע B – מהעיר 0.2=(P(A∩B (P(A¯∩B =(P(B
מאורע B¯  – לא מהעיר 0.25=(¯P(A∩B 0.3=(¯P(A¯∩B =(¯P(B
P(A)= =(¯P(A 1

נשלים את הטבלה. קודם את שכיחות הבנים (P(A, ולאחר מיכן את שכיחות הבנות ולאחר מיכן ניתן להשלים את התאים הפנימיים.

מאורע A – בן מאורע A¯ – בת
מאורע B – מהעיר 0.2=(P(A∩B 0.25=(P(A¯∩B 0.45=(P(B
מאורע B¯  – לא מהעיר 0.25=(¯P(A∩B 0.3=(¯P(A¯∩B 0.55=(¯P(B
P(A)=0.45 0.55=(¯P(A 1
  1. דוגמים תלמיד. מה ההסתברות שהוא בן?
    0.2+0.25=0.45.
  2. אם ידוע כי נבחרה בת. מה ההסתברות שהיא מהעיר?
    מבקשים מאיתנו למצוא את (¯P(B/A.
    0.55=(¯p(A
    0.25=(P(A¯∩B
    =0.25:0.55=(¯P(B/A
  3. ידוע כי בכיתה יש 40 תלמידים. כמה מהם הם בנים המגיעים מהעיר?
    0.2 הוא החלק היחסי של הבנים המגיעים מהעיר.
    0.2*40=8.

תרגיל 4 -טבלה עם נעלמים

בבית ספר מסוים 0.6 מהתלמידים הם בנים. חלק מהתלמידים אוהבים ספורט וחלקם לא.  3/5 מאלו שאוהבים ספורט הם בנים.
4/5 מאלו שלא אוהבים ספורט הן בנות.

דוגמים תלמיד בבית ספר. מה ההסתברות שהוא אוהב ספורט?

פתרון

הנתון שחסר לנו כאן ובגללו אנו צריכים להשתמש בנעלם הוא: כמה אוהבים / לא אוהבים ספורט? יש לנו נתונים על חלקים מהקבוצה הזו אך אנו לא יודעים מה גודל הקבוצה.

נגדיר:
A בנים.
A¯  בנות.
B אוהבים ספורט.
B¯  לא אוהבים ספורט.

p(B)=X – הגדרת משתנה.
P(B¯)=1-X – המאורע המשלים.

נכניס את הנתונים לטבלה:

מאורע A – בן מאורע A¯ – בת
מאורע B – אוהב ספורט (0.6x=P(A∩B (P(A¯∩B (X=P(B
מאורע B¯  – לא אוהב ספורט =(¯P(A∩B (¯0.5x=P(A¯∩B =(¯P(B
P(A)=0.6 0.4=(¯P(A 1

הערה: בטבלה צריך להיות רשום P(B¯)=1-X אך לא ניתן לעשות זאת בגלל בעיה טכנית.

עכשיו נשלים את המאורע "בת שגם אוהבת ספורט"

(P(A¯∩B)=P(B)-P(A∩B
P(A¯∩B)=x-0.6x=0.4x

עכשיו אנו יכולים ליצור משוואה מהטור של "בת" (A¯)
0.5x+0.4x=0.4
0.9x=0.4  / 0.9
x=0.444
תשובה: כאשר דוגמים תלמיד בבית ספר ההסתברות שהוא אוהב ספורט היא 0.444.

עוד באתר בנושא הסתברות:

  1. דיאגרמת עץ – הסבר כיצד לפתור.
  2. הסתברות מותנית – מה זה בדיוק אומר + תרגילים.
  3. הסתברות – הדף המרכזי שמרכז קישורים לדפים אחרים בנושא.

 

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.