פונקציות טריגונומטריות

בדף זה נלמד לחקור פונקציות טריגונומטריות על פי הנושאים הבאים.

  1. גזירת פונקציות טריגונומטריות.
  2. נקודות קיצון.
  3. מציאת משיק.
  4. אסימפטוטת.
  5. חקירה מלאה של פונקציות טריגונומטריות.

הדף מתאים לתלמידים ברמות של 4 ו- 5 יחידות.

1. גזירת פונקציות טריגונומטריות

הנגזרות הטריגונומטריות שאתם צריכים לזכור בעל פה:

sinx ' = cosx
cos x ' = – sinx
tg x ' = 1/cos²

בדף זה ניתן דוגמאות לגזירת 5 פונקציות טריגונומטריות. תרגילים נוספים בדף פונקציות טריגונומטריות נגזרת.

גזרו את הפונקציות הטריגונומטריות הבאות:

תרגיל 1 (מכפלה של פונקציה בקבוע)
5sinx

פתרון

נשים לב כי זוהי כפולה של קבוע ( המספר '5') בפונקציה sinx.
הנגזרת של sinx היא cosx.

נוסחה לנגזרת מסוג זה : 

5sinx)'  =  5cosx)

תרגיל 2 (חיבור פונקציות)
3sin x + cosx

פתרון

נגזרת של cosx היא sinx ,  הנגזרת של sinx היא cosx.

3sinx + cosx)'  =  3cosx – sinx)

תרגיל 3 (מכפלת פונקציות)
2x * cos x

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = 2x
u'(x) = 2

השנייה : v(x) = cosx
v'(x) = -sinx

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : )

2x*cosx)' = 2cosx – 2x*sinx)

תרגיל 4 (מנה של פונקציות)

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה : u(x) = 6cosx + 4
u'(x) = -6sinx

השנייה :           v(x) = -sinx
v'(x) = -cosx

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: )

ונקבל :

כינוס איברים ופתיחת סוגריים :

תרגיל 5 (פונקציה מורכבת)
cos√x

פתרון
יש לנו כאן הרכבה של 2 פונקציות:
הראשונה : f(x) = cosx
השנייה : g(x) = √x


לפי כלל הנגזרת של שורש.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל:

2. נקודות קיצון

בדף זה נפתור תרגיל אחד בנושא נקודות קיצון.
שני תרגילים נוספים בדף פונקציות טריגונומטריות נקודות קיצון.

תרגיל 1
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה
3cosx + sinx√
בתחום

פתרון:
f(x) = √3cosx + sinx
f ' (x) = -√3sinx + cosx

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון נשווה את נגזרת הפונקציה ל – 0.
נקבל :
cosx – √3sinx = 0
cosx = √3sinx
נחלק את 2 אגפי המשוואה ב-cosx (נניח ש – cosx שונה מ-0, בסוף התרגיל נבדוק מה קורה כאשר cosx = 0 ).
נזכור כי tgx = sinx/cosx.
נקבל:
tgx * √3 = 1
tgx  = 1/√3

נזכור כי: sin(π/6) = sin(30) = 0.5
cos(π/6) = cos(30) =  √3/2
לכן מתקיים:  tg(π/6) = 1/√3
לכן x = π/6 נקודה חשודה לקיצון.

מכיוון ש – tgx היא פונקציה מחזורית בעלת מחזור של π , גם x = 7π/6 חשודה לקיצון.
כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודות קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 3 תחומים :
א. 
ב. 
ג. 
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)

נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

*נשאר רק לבדוק מה קורה במצב בו cosx = 0 .
בתחום שלנו , מדובר על הנקודות x = 0.5π , x = 1.5π.
בנקודות אלו הנגזרת אינה מתאפסת ( ניתן להציב ולבדוק) , ולכן הן אינן נקודות קיצון.

תשובה: נק' מקסימום: (2 ,x,y) = (π/6)
            נק' מינימום: (2- ,x,y) = (7π/6)

3. מציאת משיק לפונקציה טריגונומטרית

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = 2x + 4sin x בנקודה x=0.5π.

פתרון

על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x=0.5π בפונקציה.

f(0.5π) = 2*0.5π + 4sin(0.5π) = π + 4
(sin(0.5π) = sin(90) = 1).

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (0.5π, π+4)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
כלומר:  (m = f ' (0.5π.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 2 + 4cosx
נציב את x=0.5π בנגזרת הפונקציה:
f ' (0.5π) = 2 + 4cos(0.5π)  =  2
(cos(0.5π) = cos (90) = 0 )
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – (π +4) = 2*(x – 0.5π
y – π – 4 = 2x – π
y = 2x + 4

תרגיל 2
מצאו את משוואת המשיק ששיפועו m = √2 לפונקציה f(x) = sinx – cosx בתחום [0,π]

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 2√, לכן נפתור את המשוואה : f ' (x) = √2.
f ' (x) = cosx + sinx
לכן המשוואה היא :
cosx + sin x =  √2
נעלה את 2 אגפי המשווה בריבוע:
(כאשר מעלים את המשוואה בריבוע נוסף עוד פתרון, לכן לאחר פתרון המשוואה נוודא כי מצאנו פתרון נכון שנמצא בתחום).
cosx + sinx)² = 2)
(נוסחת כפל מקוצר : a+b)² = a² + 2ab + b²) )
cos²x + 2sinx*cosx + sin²x = 2

(זהויות טריגונומטריות:
1. 2sinx*cosx = sin2x
2. cos²x + sin²x = 1)

לכן נקבל :
sin2x + 1 = 2
sin2x = 1
ידוע כי : sin(0.5π) = sin(90) = 1)
לכן : 2x =0.5π 
x = 0.25π
ערך ה-x שמצאנו אכן נמצא בתחום [0,π].
*נציב x = 0.25π במשוואה :
cosx + sin x =  √2
נבדוק שהפתרון שמצאנו אכן פותר את המשוואה הנ"ל.
ואכן, מתקיים :
cos(0.25π) + sin(0.25π) = √2

מצאנו את ערך ה-x המקיים את המשוואה שלנו.
על מנת למצוא את ערך ה-y נציב x = 0.25π בפונקציה.
f(0.25π) = sin(0.25π) – cos(0.25π) = 0
לכן נקודת ההשקה היא :  (x,y) =  (0.25π, 0)

השיפוע נתון לנו בשאלה : m = √2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 0 = √2*(x-0.25π
y = √2*x – √2*0.25π

4. אסימפטוטות

לפונקציה טריגונומטרית אסימפטוטת אנכיות

תרגיל 1

פתרון:

אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו – האסימפטוטה תתקבל בנקודה בה הפונקציה אינה מוגדרת.
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס,
כלומר:   x – 1 = 0
כאשר x שואף ל -1 , המכנה שואף ל – 0, והמונה שואף למספר שאינו 0 .
לכן כאשר x שואף ל -1 הפונקציה שואפת לאינסוף.
כלומר : הישר x = 1 הינו אסימפטוטה אנכית.

 

תרגיל 2
(tan(x
בתחום   

פתרון:

אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו – האסימפטוטה תתקבל בנקודה בה הפונקציה אינה מוגדרת.
tan(x) = sinx/cosx
לכן הפונקציה אינה מוגדרת כאשר cosx = 0.
בתחום שלנו , משוואה זו מתקיימת עבור x = π/2 , x = 3π/2.
בנקודות הללו, sinx שונה מ – 0.

לכן הישרים x = π/2 , x = 3π/2 הם אסימפטוטות אנכיות בתחום .

5. חקירה מלאה של פונקציות טריגונומטריות

תרגיל 1

f(x) = tg x – √3
בתחום : 

פתרון

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה אינה מוגדרת כאשר  cosx = 0, כלומר כאשר  x = π/2 , x = -π/2.
    אלו הן נקודות אי – ההגדרה של הפונקציה.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
נבדוק עבור אילו ערכי x מתקיים tg(x) = √3.
זה מתקיים עבור x = π/3.
   לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא (0 , π/3).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
   f(0) = 0 – √3 = -√3
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (3√-,0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
f ' (x) = 1/cos²x > 0
לכל x בתחום מתקיים שהנגזרת חיובית.
      לכן , הפונקציה עולה בכל התחום, ואין נקודות קיצון.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
ראינו כי כאשר x שואף ל – π/2 או ל – π/2- , המכנה של (tg(x שואף ל – 0.
המונה של (tg(x ישאף למספר שאינו 0.
לכן כאשר x שואף ל – π/2 או ל – π/2-  ,  הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן הישרים x = -π/2 , x = π/2 הם אסימפטוטות אנכיות.
ב
. אופקיות :אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסויים כאשר x שואף לאינסוף
(או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו  , כאשר x שואף לאינסוף, גבול הפונקציה אינו קיים.
לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 2

פתרון
**נחקור רק את התחום 

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס.
    כלומר, כאשר :  sinx = cosx.
    sin(π/4) = cos(π/4) = √2 / 2
    sin(5π/4) = cos(5π/4) = -√2 / 2
    לכן משוואה זו מתקיימת (בתחום הנ"ל) עבור x = π/4 , x = 5π/4.
    לכן נקודות אי – ההגדרה של הפונקציה הן : x = π/4 , x = 5π/4.
  2. נק' חיתוך עם הצירים:
    ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
    במקרה שלנו, לא קיים x בתחום עבורו מתקיים f(x) = 0.
    לכן, אין נקודות חיתוך עם ציר x.
    ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
    f(0) = 2/-1 = -2
    לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (2-,0).
  3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
    נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
    הנגזרת מתאפסת כאשר cosx = – sinx.
    בתחום שלנו, משוואה זו מתקיימת עבור x = 3π/4 , x = 7π/4.
    לכן הנקודות x = 3π/4 , x = 7π/4 חשודות לקיצון.
    כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודות קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
    נפצל ל – 3 תחומים :
    א. 
    ב.
    ג.
    נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
    (ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
    נסכם בטבלה :
    לכן, נקודת מינימום : (2√, 3π/4).
    נקודת מקסימום : (2√- , 7π/4).
    *נציין כי לא התייחסנו לנקודות בהן הנגזרת אינה מוגדרת.
    יש צורך להתייחס לנקודות אלו.
    במקרה שלנו , נקודות אלו הן נקודות אי ההגדרה של הפונקציה, לכן הן אינן מעניינות.
    ייתכנו תרגילים בהם נקודות אלו יהיו קריטיות ויהיה צורך להתייחס אליהן.4. אסימפטוטות :
    א. אנכיות : 
    אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
    ראינו כי כאשר x שואף ל – π/4 או ל – 5π/4 , המכנה שואף ל – 0.
    המונה הוא מספר קבוע ללא תלות ב -x.
    לכן כאשר x שואף ל – π/4 או ל – 5π/4  ,  הפונקציה שואפת לאינסוף.
    לכן הישרים x = π/4 , x = 5π/4 הם אסימפטוטות אנכיות.
    ב.
    אופקיות : אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסויים כאשר x שואף לאינסוף
    (או מינוס אינסוף).
    במקרה שלנו  , כאשר x שואף לאינסוף, גבול הפונקציה אינו קיים.
    לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

 

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.