פונקציות טריגונומטריות נקודות קיצון

בדף זה נפתור 3 תרגילים בנושא חקירה של פונקציות טריגונומטריות.

נושאים נוספים של חקירת פונקציות טריגונומטריות בקישור.

תרגילים

תרגיל 1
מצאו את נקודות הקיצון לפונקציה
sin(x) – 2x
בתחום

פתרון
f(x) = sin(x) – 2x
f  ' (x) = cos(x) – 2

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון נשווה את נגזרת הפונקציה ל – 0.
נקבל :
cos(x) – 2 = 0
cos(x) = 2

הערך המקסימלי של הפונקציה (cos(x הוא 1.
לכן המשוואה הנ"ל אינה נכונה עבור כל x בתחום
.
לכן לפונקציה אין נקודות קיצון בתחום הנ"ל.

תרגיל 2
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה
3cosx + sinx√
בתחום

פתרון:
f(x) = √3cosx + sinx
f ' (x) = -√3sinx + cosx

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון נשווה את נגזרת הפונקציה ל – 0.
נקבל :
cosx – √3sinx = 0
cosx = √3sinx
נחלק את 2 אגפי המשוואה ב-cosx (נניח ש – cosx שונה מ-0, בסוף התרגיל נבדוק מה קורה כאשר cosx = 0 ).
נזכור כי tgx = sinx/cosx.
נקבל:
tgx * √3 = 1
tgx  = 1/√3

נזכור כי: sin(π/6) = sin(30) = 0.5
cos(π/6) = cos(30) =  √3/2
לכן מתקיים:  tg(π/6) = 1/√3
לכן x = π/6 נקודה חשודה לקיצון.

מכיוון ש – tgx היא פונקציה מחזורית בעלת מחזור של π , גם x = 7π/6 חשודה לקיצון.
כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודות קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 3 תחומים :
א. 
ב. 
ג. 
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)

נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

*נשאר רק לבדוק מה קורה במצב בו cosx = 0 .
בתחום שלנו , מדובר על הנקודות x = 0.5π , x = 1.5π.
בנקודות אלו הנגזרת אינה מתאפסת ( ניתן להציב ולבדוק) , ולכן הן אינן נקודות קיצון.

תשובה: נק' מקסימום: (2 ,x,y) = (π/6)
            נק' מינימום: (2- ,x,y) = (7π/6)

 

תרגיל 3
מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה
tgx * sinx
בתחום

פתרון:
f(x) = tgx * sinx

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נשווה את הנגזרת ל – 0.

נחלק את המשוואה ב – sinx ( נניח כי sinx שונה מ – 0 , בסיום התרגיל נבדוק את המקרה בו sinx = 0.)
נקבל : 

ולאחר מכנה משותף,העברת אגפים, והכפלה ב cos²x :
cos²x = -1
למשוואה זו אין פתרון, מכיוון שביטוי בחזקה שנייה הוא בהכרח אינו שלילי. לכן נותר רק לבדוק את המקרה בו
sinx = 0.

נבדוק האם במקרה בו sinx = 0 הנגזרת מתאפסת.
בתחום שלנו , sinx = 0 רק עבור x = 0.
מתקיים :

לכן x = 0 נקודה חשודה לקיצון.
כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים :
א. 
ב. 
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה : 

תשובה:      נקודת מינימום : (0,x,y) = (0)

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.