פונקציה טריגונומטרית הזזה אנכית

לדף זה 4 חלקים:

  1. מה היא הזזה אנכית ומהן התכונות המרכזיות שלה.
  2. הזזות של פונקציית הסינוס.
  3. הזזות של פונקציית הקוסינוס.
  4. פתרון משוואות ואי שוויונות.

1.מה היא הזזה אנכית ומהן התכונות המרכזיות שלה

הזזה אנכית לפונקציה טריגונומטרית היא כאשר אנו מוסיפים מוסיפים מספר לפונקציה הטריגונומטרית.
למשל:
f(x) = sin x +4
f(x) = cos x – 2

התכונה הבולטת
התכונה הבולטת של הפונקציות הללו היא שהצורה של הגרף החדש הוא בדיוק כמו הגרף של הצורה המקורית.
רק שהגרף עולה או יורד בהתאם למספר שהוספנו / הורדנו.

הערה
שימו לב להבדל בין:
sin (x) + 1
ל:
(sin (x +1

עבור הפונקציה
sin (x) + 1
אנחנו קודם מחשבים את ה sin x ולאחר מיכן מוסיפים 1.
למשל עבור x = 30.
sin (30) + 1 = 0.5 +1 = 1.5

לעומת זאת עבור הפונקציה:
sin (x) + 1
נקבל:
sin (30 +1) = sin (31) = 0.515

2.גרפים של הזזות אנכיות של סינוס

בשרטוט הגרפים של הפונקציות:
f (x) = sin x
f (x) = sin (x) + 2

הגרף השני גבוה ב 2 מהגרף הראשון.

בשרטוט שלמטה הגרפים של הפונקציות:
f (x) = sin x
f (x) = sin (x) -1

הגרף השני נמוך ב 1 מהגרף הראשון.

זוגיות ואי זוגיות
פונקציית הסינוס כאשר לא מוסיפים לה דבר היא אי זוגית.
נזכיר, פונקציה אי זוגית היא פונקציה המקיימת:
(f (x) = – f (-x
וההוכחה שפונקציית הסינוס היא אי זוגית נראית כך:
(sin (-x) = – sin x = – f(x

אבל כאשר מוסיפים או מחסרים מפונקציית הסינוס מספר הפונקציה מאבדת את תכונת האי זוגיות.
נבדוק זאת עבור הפונקציה:
f (x) = sin (x) + 1
הבדיקה:
f (x) = -sin (x) – 1-
נבדוק אם נקבל תוצאה זהה כאשר נציב x = -x.
(f (-x) = sin (-x) + 1 = – sin x + 1 ≠ – f(x
לכן הפונקציה:
f (x) = -sin (x) – 1-
היא לא אי זוגית.

בהוכחה זו השתמשנו בזהות הטריגונומטרית
sin (-x) = – sin x

נזכור גם כי כל הפונקציות האי זוגיות עוברות בנקודה 0,0 וניתן לראות כי פונקציית הסינוס לאחר ההזזה

3.גרפים של הזזות אנכיות של קוסינוס

דוגמה לגרף של
f (x) = cos x + 0.5

אנו רואים כאן שהגרף של
f (x) = cos (x) + 0.5  (בשחור)
גדול ב 0.5 מהגרף של:
f (x) = cos x

זוגיות ואי זוגיות
פונקציית ה cos x היא פונקציה זוגית כאשר היא מופיעה לבדה כך:
f (x) = cos x
נזכיר כי פונקציה זוגית היא פונקציה המקיימת:
(f (x) = f (-x
הפונקציה שומרת על תכונת הזוגיות שלה גם כאשר מתבצע עליה הזזה אנכית.

לדוגמה, נוכיח כי הפונקציה
f (x) = cos x – 0.5
היא פונקציה זוגית.
(f (-x) = cos (-x) – 0.5 = cos x – 0.5 = f (x

בהוכחה זו השתמשנו בזהות הטריגונומטרית:
(cos x = cos (-x

4.פתרון משוואות בעזרת גרפים

כל משוואה שניתן לפתור כאן ניתן לפתור בעזרת גרף ובדרך אלגברית.
את הדרך האלגברית צריך לדעת.
את הדרך הגרפית כדאי להבין והיא שימושית בעיקר לתלמידי 5 יחידות.

תרגיל 1
מצורף גרף של הפונקציה
f (x) = cos (x) – 1.5
פתרו בעזרת הגרף את המשוואות והאי שוויונות הבאות:

  1. cos (x) – 1.5 = 0
  2. cos (x) – 1.5 < 0

פתרון
סעיף א
פונקציה שווה ל 0 כאשר היא חותכת את ציר ה x.
(זוכרים שכדי למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה x מציבים y =0?).
אנו רואים שהפונקציה הזו לא חותכת את ציר ה x.
לכן למשוואה
cos (x) – 1.5 = 0
אין פתרון

פתרון אלגברי
cos (x) – 1.5 = 0
cos (x) – 1.5 = 0  / +1.5
cos x = 1.5
אנו יודעים שהערך הגדול ביותר של פונקציית הקוסינוס הוא 1.
לכן למשוואה זו אין פתרון.

סעיף ב
cos (x) – 1.5 < 0
אנו יודעים שפונקציה קטנה מ 0 כאשר הגרף שלה נמצא מתחת לציר ה x.
הגרף הזה נמצא תמיד מתחת לציר ה x.
לכן התשובה היא כל x.

פתרון אלגברי
cos (x) – 1.5 < 0
cos (x) – 1.5 < 0  / +1.5
cos x < 1.5
אנו יודעים שהערך הגדול ביותר של פונקציית הקוסינוס הוא 1.
לכן האי שוויון הזה מתקיים תמיד.

תרגיל 2
מצורף גרף של הפונקציה:
f (x) = sin x + 0.5
פתרו בעזרת הגרף את המשוואות והאי שוויונות הבאות:

  1.  sin x + 0.5 = 1
  2.  sin x + 0.5 > 1

(הפתרון שצריך לכתוב הוא בתחום שבו משורטט הגרף).

פתרון
סעיף א
sin x + 0.5 = 1
הפונקציה הזו שווה ל 1 כאשר ערך ה y של הגרף שווה ל 1.
ניתן לראות בגרף שזה קורה בנקודות A,B שבשרטוט.

בנקודה A
x = 30
בנקודה B
x = 150.
ואלו שתי הפתרונות של המשוואה.

דרך פתרון נוספת
sin x + 0.5 = 1
הגרף של
f (x) = sin x + 0.5
משורטט.
נשרטט גם את הגרף של
y =1
ונקודת המפגש של שני הגרפים היא הפתרון של המשוואה.

ניתן לראות שהגרפים נחתכים כאשר:
x = 30
x = 150.
ואלו פתרונות המשוואה.

פתרון אלגברי
נפתור את המשוואה:
sin x + 0.5 = 1
sin x + 0.5 = 1  / -0.5
sin x = 0.5
x = 30   או   x = 150.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.