משוואת משיק לפונקציה המדריך המלא

בדף זה נעבור על סוגי השאלות השונות שיכולים לשאול אותכם בנושא משיק לפונקציה.

בחלק הראשון נסביר את שתי התכונות הבסיסיות של משיק לפונקציה שבעזרתם בונים משוואות.
בחלק השני נעבור על 5 סוגי שאלות בנושא משיק לפונקציה.
הנושא מציאת משוואת משיק לפונקציה עם פרמטרים נמצא בדף נפרד.

שתי התכונות הבסיסיות של משיק לפונקציה שבעזרתם בונים משוואות ופותרים תרגילים

כדאי שתכירו ותבינו את התכונות הללו, בעזרתם בונים את המשוואות של כל סוגי התרגילים שתמצאו כאן.

תכונה 1: למשיק ולפונקציה יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה

ולכן אם נגזור את הפונקציה ונציב את ערך ה x של נקודת ההשקה הדבר יהיה שווה לשיפוע המשיק.

למשל עבור f(x) = x²

הנגזרת היא f ' (x) = 2x

אם נציב x = 1 בנגזרת נקבל f ' (1) = 2*1 = 2
כלומר שיפוע הפונקציה ב x=1 הוא 2, ולכן משוואת המשיק בנקודה זו חייבת להיות מהצורה y= 2x + n
(n הוא מספר כלשהו).

ואם נבחר נקודה אחרת, למשל x = -2 אז ערך הנגזרת הוא f ' (-2) = 2 * -2 = -4
ולכן משוואת המשיק בנקודה x = -2 חייבת להיות מהצורה y = -4x + n.

לפונקציה ולמשיק יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה

לפונקציה ולמשיק יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה

תכונה 2: הפונקציה והמשיק עוברים דרך נקודת ההשקה (ושם יש להם אותו x ואותו y)

כלומר אם נקודת ההשקה היא (x1, y1) אז נוכל להציב את ערכי הנקודה במשוואת המשיק ובמשוואת הפונקציה ולקבל ביטוי נכון.

למשל הפונקציה f (x) = x²   עוברת בנקודה 1,1.
משוואת המשיק בנקודה הזו היא y = 2x  -1.

לכן אם נציב 1,1 במשוואת הפונקציה או המשיק 1,1 נקבל ביטוי נכון.
הצבה בפונקציה:
1² = 1
1 =1

הצבה במשוואת הישר:
1 – 2 = 1
1 =1

אלו שתי התכונות שבעזרתם בונים משוואות בתרגילי משיק.

זכרו את המטרה: למצוא נקודה שדרכה עובר המשיק (נקודת ההשקה) ושיפוע (שיפוע הפונקציה הנקודה) ואז למצוא את משוואת המשיק בעזרת הנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה (y-y1=m(x-x1.

לפונקציה ולמשיק שלה יש שתי תכונות משותפות: הם עוברים באותה נקודה ויש להם את אותו שיפוע באותה נקודה

לפונקציה ולמשיק שלה יש שתי תכונות משותפות: הם עוברים באותה נקודה ויש להם את אותו שיפוע באותה נקודה

סוגי תרגילי משיק

סוג 1: מציאת משוואת משיק בנקודת השקה ידועה

(סרטון הוידאו הוא פתרון התרגיל שלמטה).

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x ) = x³ – 1 כאשר x = 2.

פתרון

נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 3x²

נציב x = 2 בנגזרת ונמצא את שיפוע הפונקציה בנקודה
f ' (2) = 3 * 2² = 3 * 4 = 12

נמצא את נקודת ההשקה על ידי
הצבת x = 2 במשוואת הפונקציה.
f (2) = 2³ – 1 = 8 – 1 = 7
נקודת ההשקה היא (2,7).

עכשיו יש לנו שיפוע (12) ונקודת השקה (2,7) ואנחנו יכולים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע:
(y-y1=m(x-x1
(y – 7 = 12 (x – 2
y – 7 = 12x – 24  /+7
y = 12x – 17   זו משוואת המשיק

לסיכום אלו שלבי הפתרון בתרגילים מסוג הזה:

  1. גוזרים את הפונקציה.
  2. מציבים את ערך ה x של נקודת ההשקה בנגזרת הפונקציה ומוצאים את שיפוע הפונקציה בנקודה זו. שיפוע השווה לשיפוע המשיק.
  3. מציבים את ערך ה x במשוואת הפונקציה ומוצאים את ערך ה y. עכשיו יש לנו את נקודת ההשקה.
  4. מוצאים את משוואת המשיק על ידי הצבה של השיפוע והנקודה בנוסחה (y-y1=m(x-x1.
הפונקציה f (x ) = x³ - 1 ומשוואת המשיק y = 12x - 17 ונקודת ההשקה כאשר x= 2

הפונקציה f (x ) = x³ – 1 ומשוואת המשיק y = 12x – 17 ונקודת ההשקה כאשר x= 2

דוגמה נוספת רק שהפעם נותנים את ערך ה y בנקודת ההשקה.

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = -2x²  כאשר y= -8 ברביע השלישי.

שלב 1: נמצא את ערך ה x בנקודת ההשקה על ידי הצבה y = -8 במשוואת הפונקציה f (x) = -2x²

8- = 2x² –
x² = 4
x = 2,  x = -2

מכוון שביקשו משיק ברביע השלישי התשובה המתאימה היא x = -2.
נקודת ההשקה היא (8-, 2-)

שלב 2: נגזור את הפונקציה ונמצאת את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה

f (x) = -2x²
f ' (x) = -4x
f ' (-2) = -4 * -2 = 8

שלב 3: נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה

שיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודה ההשקה (8).
נקודת ההשקה היא (8-, 2-).
נציב במשוואה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה:
(y-y1=m(x-x1
((y – (-8)  = 8 (x – (-2
y + 8 = 8x +16   / -8
y = 8x + 8  זו משוואת המשיק.

הפונקציה f (x) = -2x² והמשיק אליה ברביע השלישי כאשר y = -8

הפונקציה f (x) = -2x² והמשיק אליה ברביע השלישי כאשר y = -8

סוג 2: מציאת משוואת משיק שיש לו שיפוע נתון

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = x² + 5x ששיפועו 3.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f (x) = x² + 5x
f ' (x) = 2x + 5

נמצא מתי הנגזרת שווה 3
2x + 5 = 3  / -5
2x = -2   / :2
x = -1

נמצא את נקודת ההשקה על ידי הצבת ערך ה x בפונקציה
f (x) = x² + 5x
f (-1) = (-1)² + 5 * -1 = 1 – 5 =  – 4
נקודת ההשקה היא (4-, 1-)

נמצא את משוואת המשיק על ידי הצבה של השיפוע (3) והנקודה (4-, 1-) במשוואת הישר.
(y-y1=m(x-x1
((y – (-4) = 3 (x – (-1
y + 4 = 3x +3   / – 4
y = 3x -1   זו משוואת המשיק.

לסיכום אלו שלבי הפתרון בתרגילים מסוג זה:

  1. גוזרים את הפונקציה.
  2. בונים משוואה הכוללת בצד אחד את נגזרת הפונקציה ובצד שני את השיפוע שנתון לנו. בעזרת משוואה זו תמצאו את ערך ה x בנקודת ההשקה.
  3. מוצאים את נקודת ההשקה על ידי הצבת ערך  ה x בנקודת ההשקה במשוואת הפונקציה.
  4. מוצאים את משוואת המשיק בעזרת שיפוע ונקודה.
משוואת הפונקציה f (x) = x² + 5x והישר ששיפועו 3 ומשיק לה

משוואת הפונקציה f (x) = x² + 5x והישר ששיפועו 3 ומשיק לה

סוג 3: הוכיחו כי ישר משיק לפונקציה

כדי שישר ישיק לפונקציה צריכים להתקיים שני תנאים:

  1. הישר והפונקציה עוברים באותה נקודה.
  2. לישר והפונקציה יש שיפוע שווה באותה נקודה ששניהם עוברים דרכה.

בשאלות הללו נוכיח את שניהם. נוכיח שיש נקודה משותפת ושהשיפוע שווה בנקודה הזו.
* הערה: נקודה משותפת זה אומר שערך ה x וגם ערך ה y שווים.

תרגיל
הוכיחו כי הישר y = 4x -4 משיק לפונקציה  f (x) = 3x² – 8x  + 8

פתרון

נמצא את הנקודה שבה הפונקציה והישר נפגשים:
f (x) = 3x² – 8x  + 8
y = 4x -4
המשוואה היא:
3x² – 8x  + 8 = 4x – 4    / -4x  + 4
3x² -12x +12 = 0   / :3
x² – 4x + 4 = 0
x – 2)² = 0)
x – 2 = 0  / +2
x = 2

כאן התרגיל נפתר בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר. אבל אם לא ראיתם את הפתרון בדרך הזו הייתם יכולים לפתור בעזרת נוסחת השורשים.

מצאנו כי לפונקציות יש נקודה משותפת כאשר x=2. עכשיו עלינו לדעת האם יש להם גם שיפוע שווה בנקודה זו.
נגזור את הפונקציה:
f (x) = 3x² – 8x  + 8
f ' (x) = 6x – 8

נציב x = 2 בנגזרת ונמצא את שיפוע הפונקציה בנקודה:
f ' (2) = 6 * 2 – 8 = 12 – 8 = 4

מצאנו כי כאשר x = 2 לפונקציה ולישר יש את אותו ערך y וגם אותו שיפוע. לכן הישר משיק לפונקציה בנקודה x = 2.

הערה: יתכן ולחלק ממכם לא ברור מדוע ואיפה מצאנו שלישר ולפונקציה אותו ערך y כאשר x = 2.
התשובה היא שכך מצאנו את x, השווינו את ערכי ה y ואמרנו "איזה x ייתן לנו ערכי y שווים".

אם הסבר זה לא ברור אני מציע שתציבו את x = 2 במשוואת הישר ומשוואת הפונקציה וכך תוכיחו שיש להם ערך y שווה.
y = 4x – 4
y = 4 * 2 – 4 = 4

f (x) = 3x² – 8x  + 8
f (2) = 3 * 2² – 8 * 2 + 8 = 12 – 16 + 8 = 4

מצאנו שלפונקציה ולישר אותו ערך y כאשר x=2.

לסיכום, אלו השלבים בפתרון שאלות מסווג זה:

  1. מציאת הנקודה / נקודות משותפות לישר ולפונקציה.
  2. גזירת הפונקציה ומציאת שיפוע הפונקציה על יד הצבת ערך ה x של הנקודה המשותפת בנגזרת.
  3. האם שיפוע הפונקציה בנקודת המפגש שווה לשיפוע הישר? אם כן הישר משיק לפונקציה בנקודה. אם לא אז הישר לא משיק.
הפונקציה f (x) = 3x² - 8x  + 8 והישר y = 4x - 4 משיקים בנקודה 2,4

הפונקציה f (x) = 3x² – 8x  + 8 והישר y = 4x – 4 משיקים בנקודה 2,4

סוג 4: הוכחה כי לשתי פונקציות יש משיק משותף

בסוג הקודם הוכחנו משיק משותף לישר ולפונקציה.
בדיוק באותה צורה מוכיחים משיק משותף לשתי פונקציות:

  1. מוצאים את נקודות / נקודת החיתוך.
  2. בודקים האם יש לפונקציות הללו את אותו שיפוע בנקודות הללו. אם כן יש להם משיק משותף. אם השיפוע לא שווה אין להם משיק משותף.

הערה: ניתן לפתור את התרגילים גם בסדר ההפוך: למצוא היכן לנקודות יש שיפוע שווה ואז לבדוק האם בנקודות הללו גם ערכי ה y שווים.

תרגיל
האם לפונקציה f (x) = 2x² +4 ולפונקציה g (x) = x²  + 4x יש משיק משותף? אם לא הוכיחו שאין.
אם כן מצאו את נקודת ההשקה ומשוואת המשיק.

פתרון
נמצא את נקודות / נקודת המפגש של הפונקציות
2x² + 4 = x² + 4x   / -x² – 4x
x² -4x +4 = 0
x -2 )² = 0)
x – 2 = 0
x = 2
הפונקציות נפגשות כאשר x = 2.

נגזור את הפונקציות ונמצא את ערך השיפוע של הפונקציות כאשר x =2.
f (x) = 2x² +4
f ' (x ) = 4x
f ' (2) = 4 *2 = 8

g (x) = x²  + 4x
g ' (x) = 2x + 4
g ' (2) = 2 * 2 +4 = 8

מצאנו שב x= 2 לפונקציות יש נקודה משותפת (כלומר ערך Y שווה) וגם שיפוע שווה ולכן לפונקציות יש משיק משותף ב x = 2.

עכשיו נמצא את הנקודה המדויקת ואת משוואת המשיק.
נציב x= 2 במשוואת אחת הפונקציות.
g (2) = 2² + 4 * 2 = 4 + 8 = 12

הנקודה שבה יש משיק משותף היא (2,12) והשיפוע בנקודה זו הוא 8 כפי שמצאנו בפסקה למעלה.
נמצא את הנתונים הללו במשוואת הישר:
(y-y1=m(x-x1
(y – 12 = 8 (x – 2
y – 12 = 8x – 16  / +12
y = 8x – 4

תשובה: בנקודה (2,12) יש לפונקציה f (x) = 2x² +4 ולפונקציה g (x) = x²  + 4x משיק משותף שמשוואתו y = 8x – 4.

בנקודה (2,12) יש לפונקציה f (x) = 2x² +4 ולפונקציה g (x) = x²  + 4x משיק משותף שמשוואתו y = 8x - 4.

בנקודה (2,12) יש לפונקציה f (x) = 2x² +4 ולפונקציה g (x) = x²  + 4x משיק משותף שמשוואתו y = 8x – 4.

סוג 5: מציאת משוואת משיק כאשר נתונה נקודה שאינה על הפונקציה

שלבי פתרון:

  1. נגדיר כי בנקודת ההשקה מתקיים  x=t ונציב במשוואת הפונקציה. כך נקבל את נקודת ההשקה כשהיא מוגדרת על ידי t.
  2. נגזור את הפונקציה ונציב x= t בנגזרת שמצאנו. כך קיבלנו את שיפוע הפונקציה והמשיק כביטוי של t.
  3. עכשיו יש לנו נקודה (שמצאנו ב 1) ושיפוע (שמצאנו ב 2) שנהם מוגדרים על ידי t. נבנה משוואת ישר משניהם על ידי הנוסחה (y-y1=m(x-x1.
  4. נציב את הנקודה  שאינה על הפונקציה במשוואת המשיק שמצאנו ב 3 ונמצא את t.
  5. כאשר מצאנו את t אנו יודעים את נקודת ההשקה ואת שיפוע המשיק. נמצא את משוואת המשיק בעזרת שיפוע ונקודה.

תרגיל לדוגמה:

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = 3x²-4 ברביע הראשון והעובר בנקודה (4-, 1).

שלב 1: אם ערך ה X של נקודת ההשקה הוא t אז ערך ה Y הוא:
f(t) = 3t²-4
נקודת ההשקה היא (t, 3t²-4).

שלב 2: נגזור את הפונקציה ונמצא את ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
f ' (x) = 6x
f ' (t) = 6t

שלב 3: נבנה את משוואת המשיק בעזרת הנקודה (t, 3t²-4) ושיפוע 6t.
(y-y1=m(x-x1
(y-3t²+4 = 6t (x-t
y-3t²+4 = 6tx-6t² / +3t² -4
y= 6tx -3t² -4

שלב 4: נציב את הנקודה (4-, 1) במשוואת הישר y= 6tx -3t² -4
4+ / 4- = 6t -3t² -4
6t-3t² = 0
3t( 2 -t ) =0
t=0  או t=2
מכוון שנקודת ההשקה ברביע הראשון t=2.

שלב 5: מציאת משוואת המשיק.
נקודת ההשקה היא (t, 3t²-4) ולאחר שנציב t=2 נקבל  (2,8).
שיפוע המשיק     f ' (t) = 6t  לאחר שנציב t=2 נקבל f ' (2) = 12
משוואת המשיק העובר בנקודה (2,8) ושיפועו 12 היא:
(y-y1=m(x-x1
(y-8 = 12 (x-2
y-8 =12x-24  /+8
y=12x -16   – זו משוואת המשיק.

משוואת משיק לפונקציה בנקודה שאינה על הפונקציה

משוואת משיק לפונקציה בנקודה שאינה על הפונקציה

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.