משוואת משיק לפונקציה: קורס מלא

בדף זה:

  1. נלמד על שתי התכונות הבסיסיות של משיק שבעזרתן פותרים שאלות.
  2. נפתור 4 שאלות שהן אחת מכל סוג של שאלות משיק.

תרגילים נוספים בנושא משיק תוכלו למצוא בדפים:

  1. מציאת משוואת משיק בנקודה.
  2. מציאת נקודת השקה על פי שיפוע המשיק.
  3. הוכחה כי ישר משיק לפונקציה.
  4. שאלות משיק עם פרמטרים.

שאלות על משיק בפונקציות שאינן פולינום:

  1. משיק לפונקציה רציונלית.
  2. משיק לפונקציה טריגונומטרית.
  3. משיק לפונקציה מעריכית.
  4. משיק לפונקציית ln.

שתי התכונות הבסיסיות של משיק לפונקציה שבעזרתם בונים משוואות ופותרים תרגילים

כדאי שתכירו ותבינו את התכונות הללו, בעזרתם בונים את המשוואות של כל סוגי התרגילים שתמצאו כאן.

תכונה 1: למשיק ולפונקציה יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה

ולכן אם נגזור את הפונקציה ונציב את ערך ה x של נקודת ההשקה הדבר יהיה שווה לשיפוע המשיק.

למשל עבור f(x) = x²

באתר זה פועל צ'אט!
ימים א-ה. שעות 8-19 (עם הפסקות)
מענה לשאלות על התכנים באתר.   שאלות קצרות על תכנים מחוץ לאתר

הנגזרת היא f ' (x) = 2x

אם נציב x = 1 בנגזרת נקבל f ' (1) = 2*1 = 2
כלומר שיפוע הפונקציה ב x=1 הוא 2, ולכן משוואת המשיק בנקודה זו חייבת להיות מהצורה y= 2x + n
(n הוא מספר כלשהו).

ואם נבחר נקודה אחרת, למשל x = -2 אז ערך הנגזרת הוא f ' (-2) = 2 * -2 = -4
ולכן משוואת המשיק בנקודה x = -2 חייבת להיות מהצורה y = -4x + n.

לפונקציה ולמשיק יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה

לפונקציה ולמשיק יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה

תכונה 2: הפונקציה והמשיק עוברים דרך נקודת ההשקה (ושם יש להם אותו x ואותו y)

כלומר אם נקודת ההשקה היא (x1, y1) אז נוכל להציב את ערכי הנקודה במשוואת המשיק ובמשוואת הפונקציה ולקבל ביטוי נכון.

למשל הפונקציה f (x) = x²   עוברת בנקודה 1,1.
משוואת המשיק בנקודה הזו היא y = 2x  -1.

לכן אם נציב 1,1 במשוואת הפונקציה או המשיק 1,1 נקבל ביטוי נכון.
הצבה בפונקציה:
1² = 1
1 =1

הצבה במשוואת הישר:
1 – 2 = 1
1 =1

אלו שתי התכונות שבעזרתם בונים משוואות בתרגילי משיק.

זכרו את המטרה: למצוא נקודה שדרכה עובר המשיק (נקודת ההשקה) ושיפוע (שיפוע הפונקציה הנקודה) ואז למצוא את משוואת המשיק בעזרת הנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה (y-y1=m(x-x1.

לפונקציה ולמשיק שלה יש שתי תכונות משותפות: הם עוברים באותה נקודה ויש להם את אותו שיפוע באותה נקודה

לפונקציה ולמשיק שלה יש שתי תכונות משותפות: הם עוברים באותה נקודה ויש להם את אותו שיפוע באותה נקודה

סוגי תרגילי משיק

סוג 1: מציאת משוואת משיק בנקודת השקה ידועה

(סרטון הוידאו הוא פתרון התרגיל שלמטה).

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x ) = x³ – 1 כאשר x = 2.

פתרון

נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 3x²

נציב x = 2 בנגזרת ונמצא את שיפוע הפונקציה בנקודה
f ' (2) = 3 * 2² = 3 * 4 = 12

נמצא את נקודת ההשקה על ידי
הצבת x = 2 במשוואת הפונקציה.
f (2) = 2³ – 1 = 8 – 1 = 7
נקודת ההשקה היא (2,7).

עכשיו יש לנו שיפוע (12) ונקודת השקה (2,7) ואנחנו יכולים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע:
(y-y1=m(x-x1
(y – 7 = 12 (x – 2
y – 7 = 12x – 24  /+7
y = 12x – 17   זו משוואת המשיק

לסיכום אלו שלבי הפתרון בתרגילים מסוג הזה:

  1. גוזרים את הפונקציה.
  2. מציבים את ערך ה x של נקודת ההשקה בנגזרת הפונקציה ומוצאים את שיפוע הפונקציה בנקודה זו. שיפוע השווה לשיפוע המשיק.
  3. מציבים את ערך ה x במשוואת הפונקציה ומוצאים את ערך ה y. עכשיו יש לנו את נקודת ההשקה.
  4. מוצאים את משוואת המשיק על ידי הצבה של השיפוע והנקודה בנוסחה (y-y1=m(x-x1.
הפונקציה f (x ) = x³ - 1 ומשוואת המשיק y = 12x - 17 ונקודת ההשקה כאשר x= 2

הפונקציה f (x ) = x³ – 1 ומשוואת המשיק y = 12x – 17 ונקודת ההשקה כאשר x= 2

דוגמה נוספת רק שהפעם נותנים את ערך ה y בנקודת ההשקה.

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = -2x²  כאשר y= -8 ברביע השלישי.

שלב 1: נמצא את ערך ה x בנקודת ההשקה על ידי הצבה y = -8 במשוואת הפונקציה f (x) = -2x²

8- = 2x² –
x² = 4
x = 2,  x = -2

מכוון שביקשו משיק ברביע השלישי התשובה המתאימה היא x = -2.
נקודת ההשקה היא (8-, 2-)

שלב 2: נגזור את הפונקציה ונמצאת את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה

f (x) = -2x²
f ' (x) = -4x
f ' (-2) = -4 * -2 = 8

שלב 3: נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה

שיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודה ההשקה (8).
נקודת ההשקה היא (8-, 2-).
נציב במשוואה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה:
(y-y1=m(x-x1
((y – (-8)  = 8 (x – (-2
y + 8 = 8x +16   / -8
y = 8x + 8  זו משוואת המשיק.

הפונקציה f (x) = -2x² והמשיק אליה ברביע השלישי כאשר y = -8

הפונקציה f (x) = -2x² והמשיק אליה ברביע השלישי כאשר y = -8

סוג 2: מציאת משוואת משיק שיש לו שיפוע נתון

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f (x) = x² + 5x ששיפועו 3.

פתרון
נגזור את הפונקציה
f (x) = x² + 5x
f ' (x) = 2x + 5

נמצא מתי הנגזרת שווה 3
2x + 5 = 3  / -5
2x = -2   / :2
x = -1

נמצא את נקודת ההשקה על ידי הצבת ערך ה x בפונקציה
f (x) = x² + 5x
f (-1) = (-1)² + 5 * -1 = 1 – 5 =  – 4
נקודת ההשקה היא (4-, 1-)

נמצא את משוואת המשיק על ידי הצבה של השיפוע (3) והנקודה (4-, 1-) במשוואת הישר.
(y-y1=m(x-x1
((y – (-4) = 3 (x – (-1
y + 4 = 3x +3   / – 4
y = 3x -1   זו משוואת המשיק.

לסיכום אלו שלבי הפתרון בתרגילים מסוג זה:

  1. גוזרים את הפונקציה.
  2. בונים משוואה הכוללת בצד אחד את נגזרת הפונקציה ובצד שני את השיפוע שנתון לנו. בעזרת משוואה זו תמצאו את ערך ה x בנקודת ההשקה.
  3. מוצאים את נקודת ההשקה על ידי הצבת ערך  ה x בנקודת ההשקה במשוואת הפונקציה.
  4. מוצאים את משוואת המשיק בעזרת שיפוע ונקודה.
משוואת הפונקציה f (x) = x² + 5x והישר ששיפועו 3 ומשיק לה

משוואת הפונקציה f (x) = x² + 5x והישר ששיפועו 3 ומשיק לה

סוג 3: הוכיחו כי ישר משיק לפונקציה

כדי שישר ישיק לפונקציה צריכים להתקיים שני תנאים:

  1. קיימת נקודה בה לישר ולפונקציה יש את אותו שיפוע.
  2. בנקודה שבה יש להם את אותו שיפוע הם גם בעלי אותו ערך y. כלומר הישר והפונקציה צריכים לעבור דרך נקודה אחת.

בשאלות הללו נוכיח את שניהם. נוכיח שיש נקודה משותפת ושהשיפוע שווה בנקודה הזו.

תרגיל
הוכיחו כי הישר y = 4x -4 משיק לפונקציה  f (x) = 3x² – 8x  + 8

פתרון

שלב א: נמצא מתי לפונקציה ולישר יש את אותו שיפוע
f (x) = 3x² – 8x  + 8
f ' (x) = 6x – 8

שיפוע הישר הוא 4.
לכן נמצא מתי הנגזרת שווה ל 4.
6x – 8 = 4  / +8
6x = 12
x = 2
עבור x = 2 יש לישר ולפונקציה את אותו שיפוע.

שלב ב: נבדוק האם ב x =2 לישר ולפונקציה יש את אותו ערך y.
נציב x = 2 במשוואת הישר
y = 4x -4
y = 4 *2 – 4 = 4

נציב x = 2 במשוואת הפונקציה
f (x) = 3*2² – 8*2  + 8 = 4

הפונקציה f (x) = 3x² - 8x  + 8 והישר y = 4x - 4 משיקים בנקודה 2,4

הפונקציה f (x) = 3x² – 8x  + 8 והישר y = 4x – 4 משיקים בנקודה 2,4

סוג 4: הוכחה כי לשתי פונקציות יש משיק משותף

בסוג הקודם הוכחנו משיק משותף לישר ולפונקציה.
בדיוק באותה צורה מוכיחים משיק משותף לשתי פונקציות:

  1. מוצאים את נקודות / נקודת החיתוך.
  2. בודקים האם יש לפונקציות הללו את אותו שיפוע בנקודות הללו. אם כן יש להם משיק משותף. אם השיפוע לא שווה אין להם משיק משותף.

הערה: ניתן לפתור את התרגילים גם בסדר ההפוך: למצוא היכן לנקודות יש שיפוע שווה ואז לבדוק האם בנקודות הללו גם ערכי ה y שווים.

תרגיל
האם לפונקציה f (x) = 2x² +4 ולפונקציה g (x) = x²  + 4x יש משיק משותף? אם לא הוכיחו שאין.
אם כן מצאו את נקודת ההשקה ומשוואת המשיק.

פתרון
נמצא את נקודות / נקודת המפגש של הפונקציות
2x² + 4 = x² + 4x   / -x² – 4x
x² -4x +4 = 0
x -2 )² = 0)
x – 2 = 0
x = 2
הפונקציות נפגשות כאשר x = 2.

נגזור את הפונקציות ונמצא את ערך השיפוע של הפונקציות כאשר x =2.
f (x) = 2x² +4
f ' (x ) = 4x
f ' (2) = 4 *2 = 8

g (x) = x²  + 4x
g ' (x) = 2x + 4
g ' (2) = 2 * 2 +4 = 8

מצאנו שב x= 2 לפונקציות יש נקודה משותפת (כלומר ערך Y שווה) וגם שיפוע שווה ולכן לפונקציות יש משיק משותף ב x = 2.

עכשיו נמצא את הנקודה המדויקת ואת משוואת המשיק.
נציב x= 2 במשוואת אחת הפונקציות.
g (2) = 2² + 4 * 2 = 4 + 8 = 12

הנקודה שבה יש משיק משותף היא (2,12) והשיפוע בנקודה זו הוא 8 כפי שמצאנו בפסקה למעלה.
נמצא את הנתונים הללו במשוואת הישר:
(y-y1=m(x-x1
(y – 12 = 8 (x – 2
y – 12 = 8x – 16  / +12
y = 8x – 4

תשובה: בנקודה (2,12) יש לפונקציה f (x) = 2x² +4 ולפונקציה g (x) = x²  + 4x משיק משותף שמשוואתו y = 8x – 4.

בנקודה (2,12) יש לפונקציה f (x) = 2x² +4 ולפונקציה g (x) = x²  + 4x משיק משותף שמשוואתו y = 8x - 4.

בנקודה (2,12) יש לפונקציה f (x) = 2x² +4 ולפונקציה g (x) = x²  + 4x משיק משותף שמשוואתו y = 8x – 4.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

2 thoughts on “משוואת משיק לפונקציה: קורס מלא

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      לא מכיר את הביטוי / ההגדרה "היחידה באזור".
      אם תגיד באיזה הקשר זה נכתב אולי אוכל להבין

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.