מציאת משוואת משיק לפונקציה עם פרמטרים

בדף זה נלמד לפתור שאלות עם פרמטרים הקשורות למשיק לפונקציה.
בחלק הראשון שאלות עם פרמטר אחד, בחלק השני שאלות עם שני פרמטרים.
לפני שאתם פותרים שאלות מדף זה עליכם לדעת את הדף משיק לפונקציה ללא פרמטרים.

כאשר שואלים אותכם שאלה על משיק ופרמטרים המחשבה שצריכה להיות לכם בראש היא כיצד בונים מהנתונים משוואה.
המשוואות שנבנות מבוססות לרוב על:

  1. למשיק ולפונקציה שיפוע שווה בנקודת ההשקה.
  2. המשיק והפונקציה עוברים דרך נקודת ההשקה.

בנוסף עליכם להשתמש בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה (y-y1=m(x-x1.

סוג 1: נתונה פונקציה עם פרמטר נקודת השקה ושיפוע

תרגיל 1
ידוע כי שיפוע המשיק לפונקציה f (x) = ax³ – 6 בנקודה x=1  הוא 6-.
מצאו את a ואת משוואת הפונקציה.

פתרון
המשוואה שלנו תהיה:
ערך הנגזרת ב x =1 הוא 6-.

נגזור את הפונקציה:
f (x) = ax³ – 6
f ' (x) = 3ax²

נציב x = 1 בנגזרת.
f ' (1) = 3a * 1 = 3a

הנגזרת שווה לשיפוע המשיק בנקודה, כלומר ל 6-.
3a = -6  / :3
a = -2

תשובה: משוואת הפונקציה היא:
f (x) = -2x³ – 6

תרגיל 2
המשיק לגרף הפונקציה f (x) = ax³ + 5x מקביל לישר y = -7x +1 כאשר x=2.
מצאו את a ואת משוואת המשיק.

פתרון
סעיף א: בניית משוואה ומציאת a
המשוואה תהיה מבוססת על כך שב x= 2 שיפוע הפונקציה הוא 7.
נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 3ax² + 5.

כאשר x = -2 שיפוע הפונקציה שווה ל 7-, לכן:
3a*(-2)² + 5 = -7   / -5
12a = -12   / :12
a = -1

סעיף ב: מציאת משוואת המשיק
נמצא את משוואת המשיק.
על מנת לעשות זאת נמצא את שיפוע המשיק ונקודה דרכה המשיק עובר.

נתון שהמשיק מקביל ישר y = -7x +1 ולכן שיפוע המשיק הוא 7-.

נמצא את נקודת ההשקה.
f (x) = ax³ + 5x
f (x) = -x³ + 5x
f (2) = – 2³ + 5 * 2 = -8 + 10 = 2
נקודת ההשקה היא (2,2)

נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע (7-)  ונקודה (2,2):
(y-y1=m(x-x1
(y – 2 = -7 (x -2
y – 2 = -7x +14    / +2
y = -7x +16

תשובה: a = -1 ומשוואת המשיק לפונקציה כאשר x= 2 היא y = -7x +16.

תרגיל 3
שיפוע המשיק לגרף הפונקציה כאשר f(x) = -x² + 2ax כאשר x = -3 הוא 3.
חשבו את a וכתבו את הפונקציה ללא פרמטר.

פתרון
שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
לכן נחשב את ערך הנגזרת בנקודה x = -3 וזה צריך להיות שווה ל 3.

נגזור את הפונקציה:
f(x) = -x² + 2ax
f ' (x) = -2x + 2a
השאלה אומרת שערך הנגזרת ב x = -3 הוא 3.
נציב x = -3 בנגזרת ונבנה משוואה:
f ' (-3) = – (-3)² + 2*-3a = 3
9-6a = 3-
6a = 12-
a = -2

נכתוב את הפונקציה ללא פרמטר.
f(x) = -x² + 2ax
f(x) = -x² -4x

תרגיל 4
המשיק לגרף הפונקציה f (x) = ax³ -12x  מקביל ישר y = -3x +4 כאשר x =1.
מצאו את a ואת משוואת המשיק.

פתרון
סעיף א: נמצא את a
על פי נתוני השאלה אנו יודעים שבנקודה x= 1 שיפוע הפונקציה ושיפוע המשיק שווים ל 3-.
נגזור את הפונקציה:
f ' (x) = 3ax² – 12
נציב x = 1 בנגזרת, ואנו יודעים שבנקודה זו ערך הנגזרת הוא 3-. לכן יש לנו משוואה.
f ' (-1) = 3a*1² – 12 = -3
3a – 12 = -3  / +12
3a = 9  / : 3
a = 3

סעיף ב: נמצא את משוואת המשיק
על מנת למצוא משוואת ישר עלינו לדעת שיפוע ונקודה.
שיפוע המשיק הוא 3-. כי המשיק מקביל לישר  y = -3x +4 והשיפועים של ישרים מקבילים שווים.
חסרה לנו נקודה דרכה עובר המשיק.
וזו תהיה נקודת ההשקה, הרי המשיק עובר דרך נקודת ההשקה.

נציב x = 1 במשוואת הפונקציה ונמצא את נקודת ההשקה.
f (1) = 3*1³ -12*1= 3 – 12 = -9
נקודת ההשקה היא: (9-, 1).

נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע (3-) ונקודה  (9-, 1).
(y-y1=m(x-x1
(y +9 = -3 (x – 1
y + 9 = -3x + 3  / -9
y = -3x – 6
תשובה: משוואת המשיק היא y = -3x – 6

סוג 2: שוויון שיפועים בין שתי פונקציות

לפונקציה f (x) = x² – 3ax ולפונקציה g (x) = -2x² יש שיפוע שווה כאשר x= 3.

  1. מצאו את a.
  2. האם בהכרח בנקודה x = 3 יש לפונקציות משיק משותף?

פתרון

מכוון שלפונקציות יש שיפוע שווה זה אומר שערך הנגזרות שווה.
נגזור את שתי הפונקציות.
f (x) = x² – 3ax
f ' (x) = 2x – 3a

g (x) = -2x²
g ' (x) = -4x

כאשר x = 3 ערך הנגזרות שווה.
f ' (3) = 2 * 3 – 3a = 6 – 3a
g ' (3) = -4 * 3 = -12

6 –  /   12 – = 6 + 3a-
3 – : / 18 – = 3a-
a = 6

תשובה: a = 6.

חלק שני
האם בהכרח בנקודה x = 3 יש לפונקציות משיק משותף?

לא.
לפונקציות יש שיפוע שווה.
אבל כדי שיהיה להם גם משיק משותף צריך להוכיח שהם עוברים דרך אותה נקודה כאשר x =3, כלומר שיש להם אותו ערך y כאשר x= 3.
וזה לא נעשה במסגרת שאלה זו.

תרגיל 2
לפונקציות f (x) = 2x² – 2ax ו  5 + g (x) = 4x² יש שיפוע שווה כאשר x = 3. מצאו את a.

פתרון
אם לפונקציות יש שיפוע שווה ב x = 3 זה אומר שערך הנגזרת שלהם שווה ב x = 3.
נגזור את שתי הפונקציות:
f (x) = 2x² – 2ax
f ' (x) = 4x -2a
5 + g (x) = 4x²
g' (x) = 8x

נמצא את הערך של שתי הנגזרות ב x = 3.
f ' (3) = 4*3 -2a = 12- 2a
g' (3) = 8*3 = 24

אנו יודעים כי השיפועים שווים ב x = 3
(f ' (3) = g' (3
12-2a = 24  / -12
2a = 12  / : -2-
a = -6
תשובה: a = -6.

סוג 3: קשר בין משיקים לאותה פונקציה בנקודות שונות

המשיקים לגרף הפונקציה f (x) = 2ax² – 6x  בנקודות x = 2 ו x = 3.25 מאונכים זה לזה.
חשבו את a.

פתרון

המשמעות של העובדה שהמשיקים מאונכים זה לזה היא שמכפלת שיפועי המשיקים היא 1-.
כלומר מכפלת שיפועי נגזרת הפונקציה בנקודות הללו שווה ל 1-.

נגזור את הפונקציה.
f (x) = 2ax² – 6x
f ' (x) = 4ax – 6

נציב  x = 2 ו x = 3.25 בנגזרת.
f ' (2) = 4a*2 – 6 = 8a -6
f ' (3.25) = 4a * 3.25 – 6 = 13a – 6

מכפלת השיפועים היא 1-, לכן המשוואה היא:
8a – 6) * (13a – 6) = -1)
104a² -48a – 78a + 36 = -1  / +1
104a² – 126a+ 37 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל
a = 0.5 או a = 0.711 וזו התשובה.

סוג 4: כאשר הפרמטר אינו קשור לשיפוע / לנגזרת

כאשר הפרמטר אינו קשור לשיפוע הישר או לנגזרת הפונקציה אז בונים משוואה המבוססת על כך שמשיק והפונקציה עוברים דרך נקודת ההשקה.
כלומר יש להם את אותו ערך x וערך y בנקודה זו.

תרגיל.
הישר y = 3x – a משיק לפונקציה f (x) = -1.5x²

  1. מצאו את נקודת ההשקה.
  2. מצאו את a.

פתרון

נמצא את נגזרת הפונקציה.
f (x) = -1.5x²
f ' (x) = -3x

בנקודת ההשקה לפונקציה ולמשיק שיפוע שווה.
3x = 3  / : -3-
x = -1

נמצא את ערך ה y של נקודת ההשקה.
f (-1 ) = -1.5* (-1)² = -1.5
נקודת ההשקה היא (1.5-, 1-)

חלק שני: מציאת a.
נציב את נקודת ההשקה במשוואת המשיק  y = 3x – a
1.5- = 3 * 1- a-
3 + / 1.5- = 3- a –
1- *  /  1.5 = a –
a = -1.5

תשובה: a = -1.5

שאלות משיק לפונקציה עם שני פרמטרים

תרגיל 1
עבור הפונקציה f(x) = ax² + bx שיפוע המשיק כאשר x= 0 גדול ב 8 משיפוע המשיק כאשר x = 1.
הפונקציה עוברת בנקודה (1,2).
מצאו את a,b.

פתרון

נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 2ax + b

נמצא את ערך הנגזרת ב x=1, x = 0.
f ' (0) = 2a*0 + b = b
f ' (1) = 2a *1 + b

על פי הנתונים המשוואה היא:
(f ' (1) + 8 = f ' (0
2a + b + 8 = b  / -b -8
2a = -8  / :2
a = -4

על מנת למצוא את b נציב את הנקודה 1,2 ואת a = -4 במשוואת הפונקציה.
f(x) = ax² + bx
b -4*1² =2
b – 4 = 2  / +4
b= 6

תשובה: a = -4,  b = 6 משוואת הפונקציה היא f (x) = -8x² + 6x.

תרגיל 2
לפונקציה f (x) = ax4 + bx² יש משיק בנקודה (1-,  1) ששיפועו 1-.
מצאו את a ואת b.

פתרון
על מנת לחשב את שני הנעלמים נבנה שתי משוואות:
משוואה אחת מבוססת על כך שהפונקציה עוברת בנקודה (1-, 1).
משוואה שנייה מבוססת על כך שכאשר x = 1 שיפוע המשיק וערך נגזרת הפונקציה שווים ל 1-.

משוואה ראשונה נובעת מכך שהפונקציה עוברת דרך (1-, 1)
f (x) = ax4 + bx²
a*14 + b*1² = -1
a + b = -1

משוואה שנייה מבוססת על כך שכאשר x = 1 שיפוע המשיק וערך נגזרת הפונקציה שווים ל 1-.
נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 4ax³ + 2bx
נציב:
4a*1³ + 2b*1 = -1
4a + 2b = -1

יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים:
a + b = -1
4a + 2b = -1

נפתור בשיטת השוואת מקדמים:
a + b = -1  /*2
2a +2b = -2
4a + 2b = -1

נחסר את משוואה 1 ממשוואה 2.
2a = 1
a = 0.5

נמצא את b על ידי הצבה במשוואה הזו:
a + b = -1
b + 0.5 = -1  / – 0.5
b = -1.5

תשובה: a = 0.5 , b = -1.5  משוואת הפונקציה היא  f (x) =0.5x4 – 1.5x²

תרגיל 3
שיפוע המשיק לפונקציה f (x) = ax² + bx³ כאשר x = 1 הוא 5-.
שיפוע המשיק לפונקציה כאשר x = -1 הוא 11.
מצאו את a,b.

פתרון
נגזור את הפונקציה.
f ' (X) = 2ax + 3bx²

נציב בנגזרת x=1 ו f ' (x) = -5
2a*1 + 3b*1² = -5
2a + 3b = -5

נציב בנגזרת x = -1 ו f ' (x) = 11
2a * -1 + 3b (-1)² = 11
2a + 3b = 11-

יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים.
2a + 3b = -5
2a + 3b = 11-
נפתור בשיטת השוואת מקדמים ונחבר את שתי המשוואות.
6b = 6  /:6
b = 1

נציב b= 1 במשוואה 2a + 3b = -5 ונמצא את a.
2a + 3*1 = -5  / – 3
2a = – 8  / :2
a = – 4

תשובה: a = – 4' b= 1 משוואת הפונקציה היא f (x) = -4x² + x³

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “מציאת משוואת משיק לפונקציה עם פרמטרים

  1. לוי.ב

    אשמח אם תוכלו לעזור לי בשאלה בנושא:
    נתונה הפונקציה ף סוגריים איקס שווה מינוס איקס בשלישית + 12 איקס בשנייה מינוס 34 איקס פלוס חמש.
    א. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה איקס שווה שתיים.
    ב. מצא משוואת משיק נוסף לגרף הפונקציה המקביל למשיק שמצאת בסעיף א.
    אני מתנצל שהמספרים כתובים במילים ולא מתמטית אין לי דרך לכתוב אותם מתמטית במקלדת, אשמח אם תוכלו לעזור ולהראות לי כיצד פותרים את התרגיל תודה.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום לוי.
      הדף הזה מסביר על סוגים שונים של שאלות משיק.
      http://www.m-math.co.il/mathematics-function/tangent-to-function/
      סעיף א שלך הוא כמו הסוג הראשון.
      סעיף ב שלך הוא כמו הסוג השני.
      ממליץ ללמוד משם.

      דרך הפתרון שלך היא:
      הנגזרת היא:
      f' ' (x) = -3x^2 +24x -34
      תציב x = 2 ומצא את שיפוע המשיק.
      תציב x = 2 במשוואת הפונקציה ותמצא את נקודת ההשקה.
      עכשיו יש לך שיפוע ונקודה. מצא את משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה.

      סעיף ב
      נניח שמצאת ששיפוע המשיק הוא m.
      כאשר תפתור את המשוואה
      f' ' (x) = -3x^2 +24x -34 = m
      תמצא עוד נקודה בה לפונקציה יש את השיפוע הזה.
      אחרי שתמצא את הנקודה שוב פעם חפש משוואת משיק על פי שיפוע ונקודה.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.