מציאת משוואת משיק לפונקציה עם פרמטרים

בדף זה נלמד לפתור שאלות עם פרמטרים הקשורות למשיק לפונקציה.
בחלק הראשון שאלות עם פרמטר אחד, בחלק השני שאלות עם שני פרמטרים.
לפני שאתם פותרים שאלות מדף זה עליכם לדעת את הדף משיק לפונקציה ללא פרמטרים.

כאשר שואלים אותכם שאלה על משיק ופרמטרים המחשבה שצריכה להיות לכם בראש היא כיצד בונים מהנתונים משוואה.
המשוואות שנבנות מבוססות לרוב על:

  1. למשיק ולפונקציה שיפוע שווה בנקודת ההשקה.
  2. המשיק והפונקציה עוברים דרך נקודת ההשקה.

בנוסף עליכם להשתמש בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה (y-y1=m(x-x1.

סוג 1: נתונה פונקציה עם פרמטר נקודת השקה ושיפוע

ידוע כי שיפוע המשיק לפונקציה f (x) = ax³ – 6 בנקודה x=1  הוא 6-.
מצאו את a ואת משוואת הפונקציה.

פתרון
המשוואה שלנו תהיה:
ערך הנגזרת ב x =1 הוא 6-.

נגזור את הפונקציה:
f (x) = ax³ – 6
f ' (x) = 3ax²

נציב x = 1 בנגזרת.
f ' (1) = 3a * 1 = 3a

הנגזרת שווה לשיפוע המשיק בנקודה, כלומר ל 6-.
3a = -6  / :3
a = -2

תשובה: משוואת הפונקציה היא:
f (x) = -2x³ – 6

שאלה נוספת דומה.

המשיק לגרף הפונקציה f (x) = ax³ + 5x מקביל לישר y = -7x +1 כאשר x=2.
מצאו את a ואת משוואת המשיק.

פתרון

נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 3ax² + 5.

כאשר x = -2 שיפוע הפונקציה שווה ל 7-, לכן:
3a*(-2)² + 5 = -7   / -5
12a = -12   / :12
a = -1

נמצא את משוואת המשיק.
על מנת לעשות זאת נמצא את שיפוע המשיק ונקודה דרכה המשיק עובר.

נתון שהמשיק מקביל ישר y = -7x +1 ולכן שיפוע המשיק הוא 7-.

נמצא את נקודת ההשקה.
f (x) = ax³ + 5x
f (x) = -x³ + 5x
f (2) = – 2³ + 5 * 2 = -8 + 10 = 2
נקודת ההשקה היא (2,2)

נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע (7-)  ונקודה (2,2):
(y-y1=m(x-x1
(y – 2 = -7 (x -2
y – 2 = -7x +14    / +2
y = -7x +16

תשובה: a = -1 ומשוואת המשיק לפונקציה כאשר x= 2 היא y = -7x +16.

סוג 2: שוויון שיפועים בין שתי פונקציות

לפונקציה f (x) = x² – 3ax ולפונקציה g (x) = -2x² יש שיפוע שווה כאשר x= 3.

  1. מצאו את a.
  2. האם בהכרח בנקודה x = 3 יש לפונקציות משיק משותף?

פתרון

מכוון שלפונקציות יש שיפוע שווה זה אומר שערך הנגזרות שווה.
נגזור את שתי הפונקציות.
f (x) = x² – 3ax
f ' (x) = 2x – 3a

g (x) = -2x²
g ' (x) = -4x

כאשר x = 3 ערך הנגזרות שווה.
f ' (3) = 2 * 3 – 3a = 6 – 3a
g ' (3) = -4 * 3 = -12

6 –  /   12 – = 6 + 3a-
3 – : / 18 – = 3a-
a = 6

תשובה: a = 6.

חלק שני
האם בהכרח בנקודה x = 3 יש לפונקציות משיק משותף?

לא.
לפונקציות יש שיפוע שווה.
אבל כדי שיהיה להם גם משיק משותף צריך להוכיח שהם עוברים דרך אותה נקודה כאשר x =3, כלומר שיש להם אותו ערך y כאשר x= 3.
וזה לא נעשה במסגרת שאלה זו.

סוג 3: קשר בין משיקים לאותה פונקציה בנקודות שונות

המשיקים לגרף הפונקציה f (x) = 2ax² – 6x מאונכים זה לזה בנקודות x = 2 ו x = 3.25.
חשבו את a.

פתרון

המשמעות של העובדה שהמשיקים מאונכים זה לזה היא שמכפלת שיפועי המשיקים היא 1-.
כלומר מכפלת שיפועי נגזרת הפונקציה בנקודות הללו שווה ל 1-.

נגזור את הפונקציה.
f (x) = 2ax² – 6x
f ' (x) = 4ax – 6

נציב  x = 2 ו x = 3.25 בנגזרת.
f ' (2) = 4a*2 – 6 = 8a -6
f ' (3.25) = 4a * 3.25 – 6 = 13a – 6

מכפלת השיפועים היא 1-, לכן המשוואה היא:
8a – 6) * (13a – 6) = -1)
104a² -48a – 78a + 36 = -1  / +1
104a² – 126a+ 37 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל
a = 0.5 או a = 0.711 וזו התשובה.

סוג 4: כאשר הפרמטר אינו קשור לשיפוע / לנגזרת

כאשר הפרמטר אינו קשור לשיפוע הישר או לנגזרת הפונקציה אז בונים משוואה המבוססת על כך שמשיק והפונקציה עוברים דרך נקודת ההשקה.
כלומר יש להם את אותו ערך x וערך y בנקודה זו.

תרגיל.
הישר y = 3x – a משיק לפונקציה f (x) = -1.5x²

  1. מצאו את נקודת ההשקה.
  2. מצאו את a.

פתרון

נמצא את נגזרת הפונקציה.
f (x) = -1.5x²
f ' (x) = -3x

בנקודת ההשקה לפונקציה ולמשיק שיפוע שווה.
3x = 3  / : -3-
x = -1

נמצא את ערך ה y של נקודת ההשקה.
f (-1 ) = -1.5* (-1)² = -1.5
נקודת ההשקה היא (1.5-, 1-)

חלק שני: מציאת a.
נציב את נקודת ההשקה במשוואת המשיק  y = 3x – a
1.5- = 3 * 1- a-
3 + / 1.5- = 3- a –
1- *  /  1.5 = a –
a = -1.5

תשובה: a = -1.5

שאלות משיק לפונקציה עם שני פרמטרים

תרגיל 1
עבור הפונקציה f(x) = ax² + bx שיפוע המשיק כאשר x= 0 גדול ב 8 משיפוע המשיק כאשר x = 1.
הפונקציה עוברת בנקודה (1,2).
מצאו את a,b.

פתרון

נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 2ax + b

נמצא את ערך הנגזרת ב x=1, x = 0.
f ' (0) = 2a*0 + b = b
f ' (1) = 2a *1 + b

על פי הנתונים המשוואה היא:
(f ' (1) + 8 = f ' (0
2a + b + 8 = b  / -b -8
2a = -8  / :2
a = -4

על מנת למצוא את b נציב את הנקודה 1,2 ואת a = -4 במשוואת הפונקציה.
f(x) = ax² + bx
b -4*1² =2
b – 4 = 2  / +4
b= 6

תשובה: a = -4,  b = 6 משוואת הפונקציה היא f (x) = -8x² + 6x.

תרגיל 2
לפונקציה f (x) = ax4 + bx² יש משיק בנקודה (1-,  1) ששיפועו 1-.
מצאו את a ואת b.

פתרון

על מנת לחשב את שני הנעלמים נבנה שתי משוואות:
משוואה אחת מבוססת על כך שהפונקציה עוברת בנקודה (1-, 1).
משוואה שנייה מבוססת על כך שכאשר x = 1 שיפוע המשיק וערך נגזרת הפונקציה שווים ל 1-.

משוואה ראשונה נובעת מכך שהפונקציה עוברת דרך (1-, 1)
f (x) = ax4 + bx²
a*14 + b*1² = -1
a + b = -1

משוואה שנייה מבוססת על כך שכאשר x = 1 שיפוע המשיק וערך נגזרת הפונקציה שווים ל 1-.
נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 4ax³ + 2bx
נציב:
4a*1³ + 2b*1 = -1
4a + 2b = -1

יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים:
a + b = -1
4a + 2b = -1

נפתור בשיטת השוואת מקדמים:
a + b = -1  /*2
2a +2b = -2
4a + 2b = -1

נחסר את משוואה 1 ממשוואה 2.
2a = 1
a = 0.5

נמצא את b על ידי הצבה במשוואה הזו:
a + b = -1
b + 0.5 = -1  / – 0.5
b = -1.5

תשובה: a = 0.5 , b = -1.5  משוואת הפונקציה היא  f (x) =0.5x4 – 1.5x²

תרגיל 3
שיפוע המשיק לפונקציה f (x) = ax² + bx³ כאשר x = 1 הוא 5-.
שיפוע המשיק לפונקציה כאשר x = -1 הוא 11.
מצאו את a,b.

פתרון
נגזור את הפונקציה.
f ' (X) = 2ax + 3bx²

נציב בנגזרת x=1 ו f ' (x) = -5
2a*1 + 3b*1² = -5
2a + 3b = -5

נציב בנגזרת x = -1 ו f ' (x) = 11
2a * -1 + 3b (-1)² = 11
2a + 3b = 11-

יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים.
2a + 3b = -5
2a + 3b = 11-
נפתור בשיטת השוואת מקדמים ונחבר את שתי המשוואות.
6b = 6  /:6
b = 1

נציב b= 1 במשוואה 2a + 3b = -5 ונמצא את a.
2a + 3*1 = -5  / – 3
2a = – 8  / :2
a = – 4

תשובה: a = – 4' b= 1 משוואת הפונקציה היא f (x) = -4x² + x³

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.