משוואת משיק לפונקציית שורש

בדף זה נפתור 3 תרגילים בנושא מציאת משיק לפונקציית שורש.

בדף פונקציית שורש תוכלו ללמוד על נושאים נוספים בחקירת פונקציית שורש.

תרגיל 1
מצאו את המשיק לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
בנקודה y = 4.

פתרון

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 4.

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
2x – 1 = 4²
2x – 1 = 16
2x = 17
x = 8.5
לכן נקודת ההשקה היא (4, 8.5).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 8.5.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 8.5.


לכן שיפוע המשיק הוא:  m = 1/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = 1/4*(x – 8.5
y  – 4  =  1/4*x – 17/8
y   =  1/4*x + 15/8

 

תרגיל 2
האם לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
יש משיק ששיפועו 8-?
אם לא הוכיחו שאין. אם כן מצאו אותו.

פתרון

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
לכן, על מנת לבדוק האם לפונקציה יש משיק ששיפועו  8- ,
נגזור את הפונקציה, ונבדוק האם יש x שנמצא בתחום ההגדרה ומקיים:
f ' (x) = -8.


כעת נשווה את הנגזרת ל 8- :

נכפול ב x3/2:
8x3/2  =  -1-
נחלק ב 8- :
x3/2 = 1/8
נעלה בחזקת 2/3:
(ואז , לפי חוקי חזקות, החזקה על ה – x תהיה שווה ל – 1)
x = (1/8)2/3
x = 1/4

מצאנו x המקיים f ' (x) = 8.
לכן לפונקציה שלנו אכן קיים משיק ששיפועי 8-.
נמצא אותו:

מצאנו כי שיעור ה – x של נקודת ההשקה הוא x = 1/4.
נמצא את שיעור ה- y של נקודת ההשקה.
נעשה זאת ע"י הצבת x = 1/4 בפונקציה.
כלומר , מציאת הערך של   (f(1/4.

f(1/4) = 2/√(1/4) = 2 / (1/2) = 4

לכן ערך ה – y של נקודת ההשקה הוא  y = 4.
לכן נקודת ההשקה היא : (4 , 1/4)

שיפוע המשיק נתון לנו כתנאי השאלה: m = -8.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = -8*(x – 1/4
y – 4 = -8x + 2
y = -8x + 6
זוהי משוואת הישר המשיק לפונקציה ששיפועו 8-.

 

תרגיל 3
לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
יש בנקודה x = 9 משיק ששיפועו 0.5-.
מצאו את a.

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה.
נתון כי שיפוע המשיק בנקודה x = 9 הוא  m = -1/2.
לכן ערך הנגזרת, כאשר מציבים בה x = 9 , צריך להיות 1/2-.
לכן, על מנת למצוא את a, נגזור את הפונקציה, ונפתור את המשוואה : f ' (9) = -1/2.

המשוואה f ' (9) = -1/2 :

נקבל ממנה (לאחר הכפלה ב – 6 ) :
a = 6*-1/2

תשובה:
a = -3

גרף הפונקציה:
f(x) = -3√x

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.