פונקציה רציונלית

דף זה מתאים לתלמידי 4 יחידות לימוד בשאלון 481.

הלימוד של הפונקציה הרציונלית מתחלק לשיעורים:

  1. שיעור 1: נגזרת פונקציה רציונלית.
  2. שיעור 2: נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה.
  3. שיעור 3: מציאת משוואת משיק.
  4. שיעור 4: אסימפטוטות פונקציה רציונלית.
  5. שיעור 5: אינטגרל פונקציה רציונלית.

בהמשך הדף:

  1. חקירה מלאה של פונקציות רציונליות כהכנה לשאלות הבגרות.
  2. פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות.

 חקירה מלאה של פונקציה רציונלית

בחלק זה של הדף נחקור 3 פונקציות רציונליות.
כל אחת שונה מהאחרת.

תרגיל 1

פתרון

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס (חילוק ב – 0)
    לכן הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 0.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

נכפול ב x².
2x² – 3 = 0
2x² = 3
x² = 3/2
x = ±√1.5

 לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (0 ,1.5√) ,  (0 ,1.5√-).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y,  נציב  x = 0 בפונקציה.
אבל , הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
f ' (x) = 6 / x³
הנגזרת אינה מתאפסת עבור אף x בתחום ההגדרה.
לכן אין נקודות קיצון.
עבור כל  x > 0 הנגזרת חיובית.
לכן הפונקציה עולה עבור x > 0.
עבור כל  x < 0 הנגזרת שלילית.
לכן הפונקציה יורדת עבור x < 0.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר  x = 0.
(מכיוון שהמכנה שואף ל – 0 , והמונה הוא מספר קבוע (שלילי) ).
לכן הישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
ב. אופקיות
:אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים, כאשר x שואף לאינסוף
(או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו :
*כאשר x שואף לאינסוף, הפונקציה שואפת  ל – 2 .
(מכיוון שהביטוי הימני של הפונקציה שואף ל -0 , ונשאר המספר 2)
*כאשר x שואף למינוס אינסוף, מתקבלת אותה אסימפטוטה.
לכן הישר y = 2 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

תרגיל 2

פתרון:

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס ( חילוק ב – 0).
    לכן הפונקציה אינה מוגדרת כאשר     
    לכן הפונקציה מוגדרת לכל  1 ≠ x.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
הפונקציה שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.
כלומר, רק אם x² = 0.
לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא (0 ,0). 
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = 0/1² = 0 
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא גם (0, 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נגזור את הפונקציה על פי הנוסחה:

כאשר:
u = x²
u ' = 2x
v = (1- x)²
v ' = 2(1 – x) * -1
שימו לב נגזרת המכנה הוא נגזרת מורכבת.

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.




נצמצם ב –  , ונשווה ל -0.

הביטוי שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.
כלומר, רק אם 2x = 0
לכן x = 0 נקודה חשודה לקיצון.

כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 3 תחומים (כמובן שנתייחס גם לנקודת אי ההגדרה x = 1) :
א.   
ב.   
ג.    
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן : נקודת מינימום : (0 , 0)
עבור x < 0 ועבור x > 1 הפונקציה יורדת.
עבור  הפונקציה עולה.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
כאשר x שואף ל – 1  , המכנה שואף ל – 0 , והמונה שואף למספר קבוע שאינו 0.
לכן פונקציה זו שואפת לאינסוף כאשר x שואף ל – 1.
לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
ב. אופקיות
:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף : בחישוב הגבול נתייחס רק למקדמים של  x² , כי הוא הגורם המשפיע.
נרשום את הפונקציה בצורה הבאה : (פתחנו סוגריים במכנה לפי נוסחת כפל מקוצר)

לכן במקרה זה הפונקציה תשאף ל : 1/1 = 1.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.
לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

תרגיל 3

פתרון

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס (חילוק ב – 0)
    נבדוק עבור אילו ערכי x זה מתקיים:
    x² + 7x + 10 = 0
    פירוק לגורמים:
    x+2)*(x+5) = 0)
    x1 = -2 , x2 = -5
    לכן הפונקציה מוגדרת לכל x, פרט ל:  x = -2 ,  x = -5.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

הביטוי מתאפס רק אם המונה שווה 0.
נבדוק עבור אילו ערכי x זה מתקיים:
x² + x – 6 = 0
פירוק לגורמים:
x+3)*(x-2) = 0)
x1 = -3 , x2 = 2
לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (0 ,2) ,  (0 ,3-).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y,  נציב  x = 0 בפונקציה.
f(0) = -6/10 = -0.6
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (0.6- , 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.



הביטוי מתאפס רק אם המונה שווה 0.
נבדוק עבור אילו ערכי x זה מתקיים:



הביטוי מתחת לשורש שלילי, ולכן אין פתרון.
לכן הנגזרת אינה מתאפסת עבור אף x.
לכן אין נקודות קיצון.
כעת נמצא תחומי עלייה וירידה:
נחלק לתחומים לפי תחום ההגדרה ( כלומר לפי נקודות אי ההגדרה של הפונקציה – שמצאנו כבר).
1.
2.
3.

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
נסכם בטבלה:

לכן הפונקציה עולה לכל x בתחום הגדרתה.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
הפונקציה שואפת  לאינסוף כאשר  x = -5 , x = -2.
(מכיוון שהמכנה שואף ל – 0 , והמונה הוא מספר קבוע).
לכן הישרים x = -2 , x = -5 הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.
ב. אופקיות :
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף : בחישוב הגבול נתייחס רק למקדמים של  x² , כי הוא הגורם המשפיע.

לכן במקרה זה הפונקציה תשאף ל : 1/1 = 1.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.
לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

 

7. תרגילים מהבגרות ברמת 4 יחידות

קיץ 2018 שאלה 6

חקרו את הפונקציה

א.
1. תחום הגדרה:
עבור x = 3  המכנה מתאפס. חילוק באפס היא פעולה שאינה מוגדרת.
לכן עבור x = 3 הפונקציה אינה מוגדרת.
תחום ההגדרה: x ≠ 3.

2. אסימפטוטות:

אסימפטוטות אנכיות :
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
עבור  x = 3 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן x = 3 היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף :
במנה – המונה יהיה מספר קבוע בעוד שהמכנה ישאף לאינסוף, לכן המנה תשאף ל – 0.
המספר 4 אינו תלוי ב- x ולכן הפונקציה כולה תשאף ל – 4.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.
לכן  y = 4 היא אסימפטוטה אופקית.

3. תחומי עלייה וירידה:

את תחומי העליה והירידה נבדוק בעזרת טבלה.
על מנת לדעת לאילו תחומים עלינו לחלק, נצטרך לבדוק האם יש נקודות קיצון, ואם כן – מה שיעוריהן.
לכן נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

נחלק את המונה והמכנה ב- (3-x).
(נוכל לעשות זאת מכיוון שהביטוי x-3 אינו מתאפס בכל תחום הגדרתה של הפונקציה.)

הנגזרת אינה מתאפסת בתחום ההגדרה של הפונקציה. לכן אין נקודות חשודות לקיצון.
נחלק לתחומים לפי נקודת אי ההגדרה של הפונקציה – x = 3.

לכן התשובה:
עליה: x < 3
ירידה: x > 3

4. סקיצה:

ב.
השטח המוגבל שאנו נדרשים לחשב:

השטח נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:
(נהפוך את השבר לפולינום לפי חוקי חזקות)

תשובה לסעיף ב' : השטח הכלוא שווה 4.5 יחידות ריבועיות.

ג. g(x) = f(x) – 4
עבור (g(x נוכל לבצע חיסור שטחים, מכיוון שהיא מורכבת מ -2 פונקציות :
1. (f(x שכבר חישבנו – השטח הכלוא שווה 4.5.
2. המספר הקבוע '4'.
כלומר:

מה שנותר לחשב זה האינטגרל הפשוט על המספר הקבוע 4.

ולכן: (נבצע את החיסור)
g(x) dx = 4.5 – 4 = 0.5∫

תשובה לסעיף ג' : השטח הכלוא שווה 0.5 יחידות ריבועיות.

חורף 2018 תרגיל 6

 , כאשר a פרמטר.

א.
1. תחום הגדרה:
עבור x = 1  המכנה מתאפס. חילוק באפס היא פעולה שאינה מוגדרת.
לכן עבור x = 1 הפונקציה אינה מוגדרת.
תחום ההגדרה: x ≠ 1.

2. אסימפטוטות:

אסימפטוטות אנכיות :
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
עבור  x = 1 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן x = 1 היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף : בחישוב הגבול נתייחס רק למקדמים של  x² , כי הוא הגורם המשפיע.
לכן במקרה זה הפונקציה תשאף ל :  a + 0/1 , כלומר ל: a.
(הפרמטר a אינו תלוי ב- x , לכן גם כאשר x שואף לאינסוף הוא יישאר)
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.
לכן  y = a היא אסימפטוטה אופקית.

3. נקודות קיצון:

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון של הפונקציה, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.

נחלק את המונה והמכנה ב – (1-x).
(מותר לעשות זאת  – כי אנו יודעים שהביטוי 1-x  שונה מ -0  עבור כל x בתחום ההגדרה)

נכנס איברים ונשווה ל – 0:

המכנה שונה מ-0 עבור כל x בתחום ההגדרה.
לכן המנה שווה ל – 0 רק אם המונה שווה ל – 0.
4x – 4 = 0-
4x = 4-
x = -1

לכן x = -1 היא נקודה חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון לפי תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.

נפצל ל – 3 תחומים:
(חשוב לזכור כי מפצלים לתחומים גם לפי נקודת אי ההגדרה של הפונקציה)
1. 
2. 
3. 

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן הנקודה x = -1 היא נקודת מינימום.

נמצא את שיעור ה- y שלה ע"י הצבת x = -1 בפונקציה:


תשובה: נקודת הקיצון של הפונקציה היא : (x,y) = (-1, a – 1) , נקודת מינימום.

4. תחומי עליה וירידה:

מצאנו בסעיף 3 את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

תשובה:
עלייה:   
ירידה:      או   

ב. נתון שלפונקציה יש אסימפטוטה שמשוואתה היא  y = -3.
מצאנו בסעיף א' כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y = a.
לכן בהכרח מתקיים a = -3.

ג.    

  1. נקודות חיתוך עם ציר y :
    על מנת למצוא אותן,  נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
    f (0) = 0/1 – 3
    f(0) = -3
    לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא: (3- , 0)

2. סקיצה:

ד. ניתן לראות מהשרטוט כי עבור k = -4 הישר יחתוך את הפונקציה בנק' אחת בלבד (שהיא נקודת הקיצון).
עוד ניתן לראות כי גם עבור k = -3 תהיה רק נקודת חיתוך אחת.
זאת מכיוון ש y = -3 היא אסימפטוטה אופקית, ולכן הפונקציה לא תקבל ערך זה פרט לנקודת החיתוך שלה עם ציר y.

תשובה: k = -3, k = -4.

 

חורף 2017 תרגיל 6

הפונקציה
הפונקציה

סעיף א
תחום ההגדרה – המכנה צריך להיות שונה מ 0.
2x+4=0 / -4
2x=-4 / :2
x=-2
הפונקציה מוגדרת לכל X כך ש X≠-2

סעיף ב
חיתוך עם הצירים.
על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה X נציב Y=0.

נכפיל במכנה 2x + 4 ונקבל:
x-2=0   /+2
x=2
תשובה: נקודת החיתוך עם ציר ה X היא (2,0).

על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה Y נציב X=0.

y = -2 : 4 = -0.5
נקודת החיתוך עם ציר ה Y היא (0.5-, 0).

חלק 3 סעיף א – מציאת אסימפטוטות
כאשר X שואף ל 2 המונה שואף ל 4 והמכנה ל 0. לכן X=-2 היא אסימפטוטה אנכית.

כאשר X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף המכנה גדול פי 2 מהמונה ולכן Y= 0.5 היא אסימפטוטה אופקית.

חלק 4 סעיף א – נקודות קיצון ותחומי עליה / ירידה
נגזור את הפונקציה על פי נגזרת של פונקציית מנה.
הפונקציה

מונה הנגזרת שווה ל 8, לכן הנגזרת לא מתאפסת ואין לפונקציה נקודות קיצון.

תחומי עליה ירידה

המונה והמכנה של הנגזרת תמיד חיוביים ולכן הנגזרת תמיד חיובית והפונקציה עולה לכול X.

סקיצה של גרף הפונקציה

סקיצה של גרף הפונקציה

 

סעיף ב
מכוון ששני המשיקים מקבילים אז השיפועים של שני המשיקים שווים (וגם שני ערכי נגזרת הפונקציה בנקודות הללו).
נקודת החיתוך עם ציר ה X היא: (2,0).

נציב את ערך נגזרת זה על מנת לראות באיזו עוד נקודה (P) השיפוע הוא 1/8.

2x+4)²=4x²+16x+16 = 8²)
4x²+16x-48=0 /:4
x²+4x-12=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת פירוק טרינום.
x² – 2x + 6x – 12 = 0
x (x – 2) + 6(x – 2) = 0
(x+6)(x-2)=0)
x=2 או x=-6.
x = -6 בנקודה P.

נמצא את ערך ה Y על ידי הצבה x = -6.

סעיף ג
האסימפטוטה של (F(X היא y=0.5 לכן צריך להוריד את ערך הפונקציה ב 0.5 על מנת שהאסימפטוטה תתלכד עם ציר ה X.
לכן C=-0.5.

קיץ 2016 תרגיל 6

הפונקציה:
הפונקציה

סעיף א
תחום ההגדרה – המכנה צריך להיות שונה מ 0.
(x-1)²=0 /√
x-1=0 /+1
x=1
הפונקציה מוגדרת לכל X כך ש x≠1.

ב. לפונקציה יש קיצון ב x=3 כלומר הנגזרת מתאפסת בנקודה זו.

= (x²-2x+1)* -4 -2(xm-4x²-m+4x)
= 4x²+8x-4-2xm+8x²+2m-8x
4x²-2xm+2m-4
הנגזרת מתאפסת כאשר מונה הנגזרת מתאפס. נציב x=3 ונמצא את ערך ה m שמאפס.
4*3²-2*3m+2m-4=0
-4m=-32/:-4
m=8

סעיף ג
חלק ראשון – אסימפטוטות

כאשר X שואף ל 1 המכנה שואף ל 0 ואילו המונה ל 1. לכן ערך הפונקציה שואף לאינסוף.
x=1 היא אסימפטוטה אנכית.
כאשר X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף המכנה שואף לאינסוף בריבוע ואילו המונה לאינסוף. לכן הפונקציה שואפת ל 0 כאשר X שואף ל +- אינסוף.
הישר y=0 הוא אסימפטוטה אופקית.

סעיף ג  חלק שני – חיתוך עם הצירים.
נציב X=0

הנקודה (0,8) היא נקודת חיתוך עם ציר ה Y.

נציב y=0.

הנקודה (2,0) היא נקודת חיתוך עם ציר ה X.

חלק שלישי סעיף ג – נקודות קיצון

הנגזרת מתאפסת כאשר המונה מתאפס:
4x² -16x+12=0 /:4
x²-4x+3=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת פירוק הטרינום
x² – x – 3x + 3 = 0
x (x – 1) – 3 (x – 1) = 0
x-3)(x-1)=0)
x=3 או x=1.
כאשר X=1 הפונקציה אינה מוגדרת.

עבור X=3 נמצא את ערך הנגזרת בסביבת הנקודה.
כאשר X=2 ערך הנגזרת שלילי.
כאשר X=4 ערך הנגזרת חיובי.
לכן זו נקודת מינימום.

נמצא את ערך ה Y.

הנקודה (4-, 3) היא נקודת מינימום.

סעיף ג – חלק רבעי
כבר מצאנו בבדיקת נקודת המינימום כי:

3<x   הפונקציה עולה.

נבדוק מה קורה כאשר x=1.
הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה עולה כאשר x<1.

סעיף ד
סקיצה

סקיצה של הפונקציה

סעיף ה
הנגזרת חיובית כשהפונקציה עולה וזה קורה עבור 3<x – ואז (f(x שלילי.
וגם עבור x<1 ואז f(x)>0. התשובה: x<1.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.