משיק לפונקציה רציונלית

בדף זה נפתור שלושה תרגילי משיק לפונקציה רציונלית ברמת 4 יחידות לימוד.

שלבים למציאת משיק

נתונה פונקציה ונקודת השקה ואנו צריכים לחשב את משוואת המשיק.

בתרגילים מסוג זה שלבי הפתרון:
א) מחשבים את ערך הפונקציה בנקודה.
ב) גוזרים את הפונקציה ומוצאים את ערך הנגזרת בנקודה. ערך הנגזרת בנקודה שווה לשיפוע המשיק.
ג) בעזרת הנקודה שמצאנו בסעיף א והשיפוע שמצאנו בסעיף ב מחשבים את משוואת המשיק (כיצד מוצאים משוואת ישר באמצעות שיפוע ונקודה ניתן למצוא בדף משוואת ישר).

מבקשים מאיתנו להראות שישר משיק לפונקציה בנקודה מסוימת.
שלבי פתרון:
א) מראים שבנקודת ההשקה לפונקציה ולמשיק יש את אותו ערך Y.
ב) מראים שבנקודת ההשקה לפונקציה ולמשיק יש את אותו שיפוע.

  • סוגי תרגילים נוספים לפונקציות שאינן פונקציות רציונליות תוכלו למצוא בדף משוואת משיק המדריך המלא.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה
פונקציה
כאשר x = 2.

פתרון

שלב 1: מציאת נקודת ההשקה
נציב x=2 במשוואת הפונקציה.

נקודת ההשקה היא (2.75  ,2).

שלב 2: גזירת הפונקציה ומציאת ערך הנגזרת בנקודה

נציב x = 2 בנגזרת

שלב 3: מציאת משוואת המשיק
יש לנו נקודה שדרכה עובר המשיק (2,2.75) ויש לנו את שיפוע המשיק 0.625 (שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודת ההשקה).
המשוואה למציאת משוואת ישר באמצעות שיפוע ונקודה היא:
(y-y1=m(x-x1
(y-2.75 = 0.625(x-2
y = 0.625x – 1.25 + 2.75
y = 0.625x+1.5
תשובה: משוואת המשיק היא y = 0.75x + 1.5.

תרגיל 2
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה

כאשר f(x) = 5.

פתרון

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 5.

נכפול את המשוואה ב: (x – 2)
(x + 2 = 5*(x – 2
x + 2 = 5x – 10
4x = 12
x = 3
לכן נקודת ההשקה היא (5, 3).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 3.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 3.


לכן שיפוע המשיק הוא:  m = -4

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 5 = -4*(x – 3
y  – 5  =  -4x + 12
y   =  -4x + 17

תרגיל 3

מצאו את משוואת המשיק ששיפועו m = 3/4 לפונקציה

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 3/4 , לכן נפתור את המשוואה : f ' (x) = 3/4.


נפתור את המשוואה:

נכפול ב – x-1)²)

נכפול ב-4 , ונפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר.

נפתח סוגריים:

נעביר אגפים:

פירוק לגורמים:

לכן נקודות המקיימות את התנאי :
x1 = 3 , x2 = -1.
(נפתור עבור x = 3)

נמצא את נקודת ההשקה ע"י הצבת x = 3 בפונקציה:
f(3) = 3²/3-1 = 9/2 = 4.5
לכן נקודת ההשקה היא: (4.5, 3).
השיפוע נתון לנו בשאלה : m = 3/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4.5 = 0.75*(x – 3
y  – 4.5  = 0.75x – 2.25
y   =  0.75x + 2.25

תרגיל 4 ( מציאת פרמטר)

עבור הפונקציה

שיפוע המשיק לגרף הפונקציה כאשר x=3 הוא 0.5.
מצאו את a.

פתרון
שלב 1: גזירת הפונקציה

נגזרת הפונקציה

שלב 2: בניית משוואה
כאשר x=3 ערך נגזרת הפונקציה הוא 0.5.

2a=4.5
a=2.25
תשובה: a=2.25

תרגיל 5 (עם פרמטר)

שיפוע המשיק לפונקציה

בנקודה x = 2  הוא  m = 3.
מצאו את a.

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה.
נתון כי שיפוע המשיק בנקודה x = 2 הוא m = 3.
לכן ערך הנגזרת, כאשר מציבים בה x = 2 , צריך להיות 3.
לכן, על מנת למצוא את a, נגזור את הפונקציה, ונפתור את המשוואה : f(2) = 3.


אנו מתעניינים בסביבת הנקודה x = 2.  לכן נוכל להניח x ≠ 0 ולצמצם ב -x את הביטוי.

כעת נציב x = 2 בנגזרת :

נרצה לפתור את המשוואה f ' (2) = 3.
לכן המשוואה היא :

נכפול ב – 8- :
2a + 2 = -24
2a = -26
a = -13.

**מצורף גרף הפונקציה  

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.