משיק לפונקציה רציונלית

בדף זה נפתור שלושה תרגילי משיק לפונקציה רציונלית ברמת 4 יחידות לימוד.

שלבים למציאת משיק

נתונה פונקציה ונקודת השקה ואנו צריכים לחשב את משוואת המשיק.

בתרגילים מסוג זה שלבי הפתרון:
א) מחשבים את ערך הפונקציה בנקודה.
ב) גוזרים את הפונקציה ומוצאים את ערך הנגזרת בנקודה. ערך הנגזרת בנקודה שווה לשיפוע המשיק.
ג) בעזרת הנקודה שמצאנו בסעיף א והשיפוע שמצאנו בסעיף ב מחשבים את משוואת המשיק (כיצד מוצאים משוואת ישר באמצעות שיפוע ונקודה ניתן למצוא בדף משוואת ישר).

מבקשים מאיתנו להראות שישר משיק לפונקציה בנקודה מסוימת.
שלבי פתרון:
א) מראים שבנקודת ההשקה לפונקציה ולמשיק יש את אותו ערך Y.
ב) מראים שבנקודת ההשקה לפונקציה ולמשיק יש את אותו שיפוע.

  • סוגי תרגילים נוספים לפונקציות שאינן פונקציות רציונליות תוכלו למצוא בדף משוואת משיק המדריך המלא.

תרגילים

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה

כאשר f(x) = 5.

פתרון

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 5.

נכפול את המשוואה ב: (x – 2)
(x + 2 = 5*(x – 2
x + 2 = 5x – 10
4x = 12
x = 3
לכן נקודת ההשקה היא (5, 3).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 3.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 3.


לכן שיפוע המשיק הוא:  m = -4

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 5 = -4*(x – 3
y  – 5  =  -4x + 12
y   =  -4x + 17

תרגיל 2

מצאו את משוואת המשיק ששיפועו m = 3/4 לפונקציה

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 3/4 , לכן נפתור את המשוואה : f ' (x) = 3/4.


נפתור את המשוואה:

נכפול ב – x-1)²)

נכפול ב-4 , ונפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר.

נפתח סוגריים:

נעביר אגפים:

פירוק לגורמים:

לכן נקודות המקיימות את התנאי :
x1 = 3 , x2 = -1.
(נפתור עבור x = 3)

נמצא את נקודת ההשקה ע"י הצבת x = 3 בפונקציה:
f(3) = 3²/3-1 = 9/2 = 4.5
לכן נקודת ההשקה היא: (4.5, 3).
השיפוע נתון לנו בשאלה : m = 3/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4.5 = 0.75*(x – 3
y  – 4.5  = 0.75x – 2.25
y   =  0.75x + 2.25

 

תרגיל 3 (עם פרמטר)

שיפוע המשיק לפונקציה

בנקודה x = 2  הוא  m = 3.
מצאו את a.

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה.
נתון כי שיפוע המשיק בנקודה x = 2 הוא m = 3.
לכן ערך הנגזרת, כאשר מציבים בה x = 2 , צריך להיות 3.
לכן, על מנת למצוא את a, נגזור את הפונקציה, ונפתור את המשוואה : f(2) = 3.


אנו מתעניינים בסביבת הנקודה x = 2.  לכן נוכל להניח x ≠ 0 ולצמצם ב -x את הביטוי.

כעת נציב x = 2 בנגזרת :

נרצה לפתור את המשוואה f ' (2) = 3.
לכן המשוואה היא :

נכפול ב – 8- :
2a + 2 = -24
2a = -26
a = -13.

**מצורף גרף הפונקציה  

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.