פונקציה רציונלית נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה

בדף זה נלמד כיצד מוצאים נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה עבור פונקציה רציונלית.

כאשר בודקים נקודות קיצון בעזרת טבלה, יש לשים לב לנקודות אי הגדרה, שאין נקודת אי הגדרה בין הסביבה אותה אנו בודקים לבין הנקודה החשודה כקיצון.
במידה ויש, נפצל לתחומים בהתאם – לא נכלול את נקודת אי ההגדרה בתחום , אלא ניקח תחום משמאל הנקודה ומימינה. (ראו תרגיל לדוגמה).

תרגיל לדוגמה (להמחשת חשיבות הפיצול לתחומים נכונים):

מצאו נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה של הפונקציה :

פתרון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.

נעביר אגף:

נבצע כפל בהצלבה:
x³ = 8x
נוציא שורש שלישי מ-2 האגפים.
x = 2
לכן x = 2 היא נקודה חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו, ע"י הצבת נקודה שנמצאת בתחום.
נפצל לתחומים:
לשם הדוגמה בלבד – פיצול לא נכון לתחומים :
1. x < 2
2. x > 2
למה הפיצול הזה אינו נכון?
אם נציב x = 1 בנגזרת, נקבל ערך שלילי.
לעומת זאת, אם נציב x = -1 בנגזרת, נקבל ערך חיובי.
2 הנקודות באותו התחום – לכן יש פה סתירה –
איך מתקבלים ערכים שונים בתחום שאין בו נקודה חשודה לקיצון?
התשובה לכך היא נקודת אי הגדרה.
לפונקציה זו יש נקודת אי הגדרה ב – x = 0. גם הנגזרת אינה מוגדרת ב – x = 0.
לכן זוהי נקודה שאיננו יודעים עליה הרבה , ויכול להיות מצב ( כמו בפונקציה זו) ,
שיתחלף סימן הנגזרת בנקודת אי ההגדרה.

לכן כאשר מפצלים לתחומים, חובה להתייחס לנקודות אי ההגדרה!

הפיצול הנכון לתחומים : 
1. 
2. 
3.

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

תרגיל 1

פתרון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.
נגזור לפי כלל נגזרת של מנה :

נפתח סוגריים:

נכנס איברים ונשווה ל – 0 :

הביטוי הנ"ל מתאפס רק אם המונה שווה ל -0.
לכן נפתור את המשוואה :
6x – x² = 0
x(6 – x) = 0
x1 = 0, x2 = 6

לכן הנקודות x = 0 ו – x = 6 הן חשודות לקיצון.
נבדוק האם הן נקודות קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.
נפצל לתחומים לפי הנקודות החשודות לקיצון ונקודות אי ההגדרה.
(חייבים לשים לב לנקודות אי ההגדרה ולהתחשב בהן בפיצול לתחומים!!)
**נקודות אי הגדרה:
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס.
כלומר, כאשר מתקיים :
x² + 4x -12 = 0
x-2) * (x+6) = 0)
כלומר נקודות אי ההגדרה של הפונקציה הן : x = 2, x = -6.

פיצול לתחומים:
1. 
2.
3.
4.

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

תשובה : 
נקודות קיצון :
-מינימום : (0.25, 0)

-מקסימום : (1/16, 6)

תחומי עלייה וירידה :
עלייה : 
ירידה: x < 0  וגם  x > 6

תרגיל 2

פתרון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.
נגזור לפי כלל נגזרת של מנה :


נפתח סוגריים:

נכנס איברים ונשווה ל – 0:

הביטוי הנ"ל מתאפס רק אם המונה שווה ל -0.
לכן נפתור את המשוואה :
x² – 10x – 11 = 0
פירוק לגורמים:
x-11) * (x+1) = 0)
x1 = 11, x2 = -1

לכן הנקודות x = 11 , x = -1 חשודות לקיצון.
נבדוק האם הן נקודות קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.
נפצל לתחומים לפי הנקודות החשודות לקיצון ונקודות אי ההגדרה.
(חייבים לשים לב לנקודות אי ההגדרה ולהתחשב בהן בפיצול לתחומים!!)
**נקודות אי הגדרה:
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס.
לכן x = 5 היא נקודת אי ההגדרה של הפונקציה.

פיצול לתחומים:
1. 
2. 
3. 
4. 

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

תשובה:
נקודות קיצון :
-מקסימום: x = -1.
-מינימום: x = 11.

תחומי עלייה וירידה: 
עלייה : x < -1 וגם x > 11
ירידה : 

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.