פונקציה רציונלית נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה

בדף זה נלמד כיצד מוצאים נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה עבור פונקציה רציונלית.

תרגיל 1

פתרון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.
נגזור לפי כלל נגזרת של מנה :

נפתח סוגריים:

נכנס איברים ונשווה ל – 0 :

הביטוי הנ"ל מתאפס רק אם המונה שווה ל -0.
לכן נפתור את המשוואה :
6x – x² = 0
x(6 – x) = 0
x1 = 0, x2 = 6

לכן הנקודות x = 0 ו – x = 6 הן חשודות לקיצון.
נבדוק האם הן נקודות קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.
נפצל לתחומים לפי הנקודות החשודות לקיצון ונקודות אי ההגדרה.
(חייבים לשים לב לנקודות אי ההגדרה ולהתחשב בהן בפיצול לתחומים!!)
**נקודות אי הגדרה:
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס.
כלומר, כאשר מתקיים :
x² + 4x -12 = 0
x-2) * (x+6) = 0)
כלומר נקודות אי ההגדרה של הפונקציה הן : x = 2, x = -6.

פיצול לתחומים:
1. 
2.
3.
4.

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

תשובה : 
נקודות קיצון :
-מינימום : (0.25, 0)

-מקסימום : (1/16, 6)

תחומי עלייה וירידה :
עלייה : 
ירידה: x < 0  וגם  x > 6

תרגיל 2

פתרון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.
נגזור לפי כלל נגזרת של מנה :


נפתח סוגריים:

נכנס איברים ונשווה ל – 0:

הביטוי הנ"ל מתאפס רק אם המונה שווה ל -0.
לכן נפתור את המשוואה :
x² – 10x – 11 = 0
פירוק לגורמים:
x-11) * (x+1) = 0)
x1 = 11, x2 = -1

לכן הנקודות x = 11 , x = -1 חשודות לקיצון.
נבדוק האם הן נקודות קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.
נפצל לתחומים לפי הנקודות החשודות לקיצון ונקודות אי ההגדרה.
(חייבים לשים לב לנקודות אי ההגדרה ולהתחשב בהן בפיצול לתחומים!!)
**נקודות אי הגדרה:
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס.
לכן x = 5 היא נקודת אי ההגדרה של הפונקציה.

פיצול לתחומים:
1. 
2. 
3. 
4. 

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

תשובה:
נקודות קיצון :
-מקסימום: x = -1.
-מינימום: x = 11.

תחומי עלייה וירידה: 
עלייה : x < -1 וגם x > 11
ירידה : 

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.