פונקציה רציונלית אסימפטוטות

לפונקציה רציונלית יכולות להיות פונקציות אנכיות  (מקבילות לציר ה- Y ) ואסימפטוטת אופקיות (מקבילות לציר ה- X)
אסימפטוטת אנכיות יכולות להיות בנקודות אי ההגדרה של הפונקציה. אם הפונקציה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף בסביבת הנקודה אז זו אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטת אופקיות נמצאות אם כאשר ערך ה- X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף אז ערך הפונקציה שואף למספר.

בדף זה 3 תרגילים. התרגיל השלישי הוא עם פרמטרים.

תרגיל 1

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
בנקודות x = ± 2 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן כאשר x שואף ל – ±2 , יתקבלו אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף : בחישוב הגבול נתייחס רק למקדמים של  x² , כי הוא הגורם המשפיע.
לכן במקרה זה הפונקציה תשאף ל : 2/1- , כלומר ל: 2-.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.

לסיכום:
אסימפטוטות אנכיות : x = 2 , x = -2.
אסימפטוטה אופקית : y = -2

תרגיל 2

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
נבדוק עבור אילו ערכי x המכנה  מתאפס:
2x² – 9x + 10 = 0



לכן : x1 = 2.5 , x2 = 2

כאשר x שואף לאחד מן הערכים הללו, המכנה שואף ל – 0, והמונה שואף למספר קבוע שאינו 0.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן כאשר x שואף ל- 2 או ל – 2.5 , יתקבלו אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף : בחישוב הגבול נתייחס רק למקדמים של  x² , כי הוא הגורם המשפיע.
לכן במקרה זה הפונקציה תשאף ל : 1/2.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.

לסיכום:
אסימפטוטות אנכיות : x = 2 , x = 2.5.
אסימפטוטה אופקית : y = 1/2

 

תרגיל 3 (פרמטרים)

הישרים x = 1 ו- x = 2 הם אסימפטוטת אנכיות של הפונקציה

מצאו את a ו- b.

פתרון:

אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
כלומר, כאשר המכנה שואף ל – 0 , והמונה שואף למספר קבוע שאינו 0.
נתון כי הישרים x = 1 ו- x = 2 הם אסימפטוטת אנכיות של הפונקציה.
לכן המכנה צריך להתאפס כאשר x = 1  וכאשר  x = 2.
(נשים לב כי המונה אינו מתאפס עבור ערכי ה – x הנ"ל).
לכן נציב במכנה x = 1 , x = 2 , ונשווה ל – 0 .
נקבל 2 משוואות עם 2 נעלמים ( a ו – b).
x = 1:
a*1² + b*1 + 2 = 0
a + b + 2 = 0
b = -a -2

x = 2:
a*2² + b*2 + 2 = 0
4a + 2b + 2 = 0
נציב:  b = -a -2.
4a + 2*(-a -2) + 2 = 0
4a -2a -4 +2 = 0
2a – 2 = 0
2a = 2
a = 1

כדי למצוא את b ניזכר שכבר מצאנו כי : b = -a -2.
נציב a = 1. נקבל:
b = -1-2
b = -3.

גרף הפונקציה :      

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.