פונקציות פולינום 4 יחידות שאלון 481

פונקציית פולינום היא הפונקציה הבסיסית שעליכם להכיר.

נושאי הלימוד מחולקים למספר שיעורים.

  1. שיעור 1: נגזרת פולינום.
  2. שיעור 2: פונקציית פולינום 3 יחידות. לא רחוק מהרמה הנדרשת בבגרות 4 יחידות וכולל הרבה מהנושאים שאתם צריכים לדעת על הפונקציה.
  3. שיעור 3: מציאת משוואת משיק לפונקציה. דף בסיסי יותר בנושא הוא  דרכים למצוא משוואת ישר.
  4. שיעור 4: אינטגרל של פולינום.
  5. שיעור 5: אינטגרל של פולינום חישוב שטחים.

בהמשך הדף חקירות מלאות של פונקציות פולינום ברמות שונות כהכנה לבגרות.
לאחר מיכן פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות.

חקירה מלאה של פונקציית פולינום

חקירה של הפונקציות הבאות:

  1. f(x) = x2
  2. f(x) = 2(x-1)2
  3. f(x) = x*(3-x)2

תרגיל 1
f(x) = x2

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה מוגדרת לכל x . (אין שום בעיה של אי הגדרה).
  2. נקודות חיתוך עם הצירים:
    ציר x: נפתור את המשוואה f(x) = 0.
    x2 = 0
    x = 0
    ציר y: נציב x = 0 במשוואת הפונקציה. נקבל:
    f(0) = 0לכן נקודת החיתוך עם הצירים היא (0,0) – ראשית הצירים.
  3. נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה:
    נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
    f ' (x) = 2x = 0
    x = 0
    לכן x = 0 נקודה חשודה לקיצון.
    כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
    נפצל ל – 2 תחומים:
    א. x > 0
    ב. x < 0
    נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
    (ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
    נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
    כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
    אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
    נסכם בטבלה :
    נקודת מינימום : (0,0)
    עלייה: x > 0
    ירידה: x < 0
  4. אסימפטוטות:
    א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
    לפונקציה זו אין נקודות אי-הגדרה, ולכן אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
    לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.
    ב. אופקיות
    : אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
    כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
    במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
    לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 2

f(x) = 2(x-1)2

  1. תחום הגדרה:
    לפולינום אין נקודות אי הגדרה,
    לכן הפונקציה מוגדרת לכל x.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
f(x) = 2(x-1)2 = 0
x = 1
לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא (0 ,1). 
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = 2*(-1)² = 2 
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (2, 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
f ' (x) = 2*2*(x-1) = 0
x = 1
לכן x = 1 נקודה חשודה לקיצון.

כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים:
א.   x > 1
ב.   x < 1
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן : נקודת מינימום: (0 , 1)
עלייה: x > 1
ירידה: x < 1

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לפונקציה זו אין נקודות אי-הגדרה, ולכן אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.
ב. אופקיות
: אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 3
f(x) = x*(3-x)2

פתרון
ראשית, נפתח את הסוגריים ונגיע לצורה של פולינום. לאחר מכן נתחיל לחקור את הפונקציה.
f(x) = x*(9 – 6x + x2) = 9x – 6x2 + x3
f(x) = x3 – 6x2 + 9x

1. תחום הגדרה:
לפולינום אין נקודות אי הגדרה,
לכן הפונקציה מוגדרת לכל x.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
x3 – 6x2 + 9x = 0
x*(x2 – 6x + 9) = 0
פירוק לגורמים: (נוסחת כפל מקוצר)
x(x-3)2 = 0
x1 = 0 , x2 = 3
לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן: (0 ,0) , (3,0).

ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = 0
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  (0, 0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
f ' (x) = 3x2 – 12x + 9 = 0
נחלק ב- 3:
x2 – 4x + 3 = 0
פירוק לגורמים:
x – 3)*(x – 1) = 0)

לכן x = 1 , x = 3 נקודות חשודות לקיצון.

כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודות קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 3 תחומים:
א.   x > 3
ב. 
ג.   x < 1
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן :
נקודת מקסימום: (4 , 1)
נקודת מינימום: (0 , 3)
עלייה: x > 3 , x < 1
ירידה: 

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לפונקציה זו אין נקודות אי-הגדרה, ולכן אין נקודות בהן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אנכיות.
ב. אופקיות
: אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו, כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף) – הפונקציה שואפת לאינסוף, ולא לערך מסוים.
לכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגילים מהבגרות ברמת 4 יחידות

קיץ 2018 מועד ב תרגיל 6

הפונקציה f (x) = x² (x – 4)²
בחלק מהסעיפים נוח יותר לעבוד עם פונקציה ללא סוגריים, לכן נפתח את הסוגריים.
(x² (x – 4)² = x² (x² -8x + 16
x4 – 8x³ + 16x²
f (x) = x4 – 8x³ + 16x²

סעיף א 1
על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה x נציב y= 0 בפונקציה המקורית.
x² (x – 4)² = 0
כאשר מכפלה של שני ביטויים שווה ל 0 זה אומר שאחד מהביטויים לפחות צריך להיות שווה ל 0.
x² = 0
x = 0
או
x – 4)² =0)
x – 4 = 0
x =4.
תשובה:  נקודות החיתוך עם ציר ה x הן (0, 4) (0, 0).

נציב x = 0 ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה y.
f (0) = 0² (0 – 4)² = 0
תשובה: נקודת החיתוך עם ציר ה Y היא (0, 0).

סעיף א2
על מנת למצוא נקודות קיצור עלינו לגזור את הפונקציה.
קל יותר לגזור את הפונקציה כאשר היא ללא סוגריים.
f (x) = x4 – 8x³ + 16x²
f ' (x) = 4x³ – 24x² + 32x

על מנת למצוא נקודות החשודות כקיצון נשווה את הנגזרת ל 0.
4x³ – 24x² + 32x = 0
4x (x² – 6x + 8) = 0
כאשר מכפלה של שני ביטויים שווה ל 0 זה אומר שאחד מהביטויים לפחות צריך להיות שווה ל 0.
4x = 0   / : 4
x = 0
או
x² – 6x + 8 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נשתמש כאן בפירוק טרינום.
x² – 2x – 4x + 8 = 0
x (x – 2) -4 (x – 2) = 0
x – 4) (x – 2) = 0)

אפשרות ראשונה.
x – 4 = 0
x = 4
אפשרות שנייה.
x – 2 =0
x = 2

ערכי ה x החשודים כקיצון הם:
x =0, x = 2, x = 4
נבדוק את הערכים הללו בעזרת הנגזרת השנייה
f ' (x) = 4x³ – 24x² + 32x
f " (x) = 12x² – 48x + 32

נזכיר: אם הנגזרת הראשונה שווה ל 0 בנקודה.
אז כאשר הנגזרת השנייה חיובית בנקודה זו נקודת מינימום.
כאשר הנגזרת השנייה שלילית בנקודה זו נקודת מקסימום.

עבור x = 0
f " (0) = 12*0² – 48*0 + 32 = 32 > 0
לכן זו נקודת מינימום.
נמצא את ערך ה y בנקודה.

עבור x =2.
f " (2) = 12*2² – 48*2 + 32 = 48 – 96 + 32 = -16 < 0
לכן זו נקודת מקסימום.

עבור x = 4
f " (4) = 12*4² – 48*4 + 32 = 192 – 192 + 32 = 32 > 0
לכן זו נקודת מינימום.

קיץ 2016 תרגיל 7

א.
F'(x)=3x²-12x+9
בנקודת הקיצון הנגזרת מתאפסת.
3x²-12x+9=0 /:3
x²-4x+3=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת פירוק טרינום.
ניתן לפתור גם בעזרת נוסחת השורשים.
x² -x – 3x + 3 = 0
x(x – 1) – 3 (x – 1) = 0
x – 3) (x – 1) = 0)
x-3)(x-1)=0)
x=3 או x=1.

נמצא את הנגזרת השנייה:
f"(X)=6x-12
נציב x=1
f"(1)=6*1-12=-6<0
לכן זה מקסימום.
נציב x=3
f"(3)=6*3-12=6>0
לכן זו נקודת מינימום.

ב.
משמעות הנתון הוא שהפונקציה עוברת דרך הנקודה (1,4).
3x² -12x+9 dx = xᶟ – 6x² + 9x + c∫
נציב (1,4).

C + 1³-6 * 1² + 9*1=4
C+4=4
c=0
הפונקציה היא:
f(x)= xᶟ-6x²+9x

ב. חיתוך עם הצירים
נציב X=0 במשוואת הפונקציה ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה y.
f(0)= 0³-6 * 0² +9*0=0
נקודת חיתוך עם ציר ה (Y (0,0.

נציב Y=0 במשוואת הפונקציה ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
xᶟ-6x^2+9x=0
X(X²-6X+9)=0
X=0 – כבר מצאנו.
X²-6X+9=0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים.
אבל גם ניתן להשתמש בנוסחת הכפל המקוצר:
a²-2ab+b² = (a-b)²
x-3)²=0)
x=3
נקודות חיתוך עם ציר ה  (x (0, 3)  ו (0,0).

חלק שני של סעיף ב – סקיצה

סקיצה של הפונקציה

ג. חישוב אינטגרל
צריך לחשב את השטח הירוק בשרטוט

חישוב אינטגרל

חישוב אינטגרל

תשובה: גודל השטח 5.25 יחידות ריבועיות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

5 thoughts on “פונקציות פולינום 4 יחידות שאלון 481

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום אביה.
      בנושא אסימפטוטות יש דף נפרד.
      http://www.m-math.co.il/mathematics-function/asymptote/
      אם תישאר לך שאלה אחרי שתקרא אותו שאל אותי שם.
      כמו כן באסימפטוטות נתקלים בפעם הראשונה כאשר לומדים פונקציה רציונלית אם עדיין לא למדת אינך צריך לדעת את הנושא.
      בהצלחה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.