בעיות קיצון, בעיות מינימום מקסימום

שאלה קיומית: ( :))

למה יש בעיות קיצון – מינימום מקסימום ?

(מבחינה מתמטית) בעיות מינימום מקסימום הם בעיות מציאותיות שהפתרון שלהם נועד לתת מידע על מצבי הקיצון. למשל לרשות מפעל 100 שעות עבודה הוא מייצר שני מוצרים והוא מעוניין לדעת כיצד לחלק את שעות העבודה על מנת שהרווח שלו יגיע למקסימום (בעיית מקסימום) או כיצד לחלק את שעות העבודה על מנת שיהיו מינימום תאונות עבודה (בעיית מינימום).

שלבים בפתרון בעיות מינימום מקסימום

  1. לבחור משתנה שבאמצעותו ניתן להגדיר את הפונקציה הרצויה.
  2. לבנות פונקציה בעזרת המשתנה הנתון.
  3. לגזור את הפונקציה ולמצוא נקודות קיצון (להשוות את הנגזרת ל – 0).
  4. לבדוק האם נקודת / נקודות הקיצון שקיבלנו היא מתאימה לדרישה של השאלה (מינימום או מקסימום).
    הבדיקה נעשית בעזרת טבלה או נגזרת שנייה.
  5. להסתכל על השאלה ולבדוק אם יש סעיף נוסף שצריך לענות עליו. הרבה פעמים יבקשו מאיתנו לעשות משהו עם המספרים שמצאנו בסעיף הראשון.

תרגילים

תרגילים 1-6 הם תרגילים הכוללים גזירה של פונקציית פולינום ומתאימים לתלמידי 3-4 יחידות.
תרגילים 7-10 כוללים גזירה של פונקציית שורש ומתאימים לתלמיד4 וקצת 5 יחידות.

תרגיל 1

מצאו זוג המספרים שסכומם הוא 14 ומכפלתם היא מקסימלית. מצאו את המכפלה.

פתרון
שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
x1   המספר המבוקש הראשון.
המספר השני

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את מכפלת המספרים.
f (x) = x1 (14 – x1) = 14x1 – x1²

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה:
f (x) = 14x1 – x1²
f ' (x) = 14 – 2x1

2x1 + 14 = 0 –
2x1 = 14  / : 2
x1 = 7
כלומר המספר החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 7.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (x) = 14 – 2x1
f " (x) = -2

מצאנו שהנגזרת השנייה שלילית לכל x, וגם עבור x1 = 7.
נגזרת שנייה שלילית זה אומר נקודת מקסימום.

לכן עבור x = 7 ערך מכפלת המספרים הוא מקסימלי.
המספר השני הוא:
7 = 7 – 14.
תשובה: זוג המספרים שסכומם 14 ומכפלתם מקסימלית הוא 7,  7.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
בנוסף שאלו אותנו מה היא המכפלה המקסימלית
49 = 7 * 7
תשובה: המכפלה המקסימלית היא 49.

גרף הפונקציה f (x) = 14x - x² ונקודת המקסימום שלו (49, 7)

גרף הפונקציה f (x) = 14x – x² ונקודת המקסימום שלו (49, 7)

תרגיל 2

מבין כל המלבנים שהיקפם הוא 40. מה הם אורכי הצלעות שעבורם שטח המלבן הוא מקסימלי?
חשבו את שטח המלבן המקסימלי.

פתרון
שלב 1: הגדרת צלעות המלבן המבוקשות בעזרת משתנה אחד.
אם אורך צלעות מלבן הוא a,b אז היקף המלבן הוא:
(p = 2(a + b

לכן סכום צלעות המלבן שווה לחצי מהיקף המלבן.
במקרה שלנו חצי מהיקף המלבן הוא 20.
נגדיר:
x1 צלע אחת של המלבן
אורך הצלע השנייה

שלב 2: בניית פונקציה המתארת את שטח המלבן
שטח מלבן שווה למכפלת צלעותיו.
f (x) = x1 (20 – x1) = 20x1 – x1²

שלב 3: מוצאים מתי הנגזרת שווה ל- 0
f (x) =  20x1 – x1²
f ' (x) = 20 – 2x1

2x1 + 20 = 0-
2x1 = 20
x1 = 10
גודל צלע המלבן החשודה כמספקת שטח מקסימלי היא 10.

שלב 3: נמצא האם הנקודה החשודה כקיצון היא נקודת מקסימום
נעשה זאת בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (x) = 20 – 2x1
f " (x) = -2
נגזרת שלילית משמעותה עבור נקודות קיצון היא מקסימום.

סימן הנגזרת שלילי עבור כל x וגם עבור x = 10.
לכן x1 = 10 היא נקודת מקסימום.

נמצא את צלע המלבן השנייה:
10 = 10 – 20
תשובה: צלעות המלבן הנותנות שטח מקסימלי הן 10,   10. זה ריבוע.

שלב 5: האם שאלו אותנו שאלה נוספת?
ביקשו שנמצא את שטח המלבן המקסימלי.
מכפלת הצלעות היא:
100 = 10 * 10
תשובה: שטח המלבן הוא 100 סמ"ר.

גרף הפונקציה f (x) =  20x - x² ונקודת המקסימום שלה (100, 10)

גרף הפונקציה f (x) =  20x – x² ונקודת המקסימום שלה (100, 10)

תרגיל 3

שטח הפנים של תיבה שבסיסה ריבוע הוא 96 סמ"ר.
מה צריך להיות אורכה של צלע הריבוע על מנת שנפח התיבה יהיה מקסימלי?
מהו הנפח המקסימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x – אורך צלע הריבוע (בסיס התיבה).
y – גובה התיבה.

שטח הפנים של התיבה הוא 96 סמ"ר.
מכיוון שבסיס התיבה הוא ריבוע , שטח הפנים יהיה:
S = 2x2 + 4xy

לכן מתקיים:
2x2 + 4xy = 96
נבודד את y : (כדי לבטאו באמצעות x)
4xy = 96 – 2x2
y = 96/4x – 2x2/4x
y = 24/x – x/2

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את נפח התיבה.
נוסחה לנפח תיבה : V = a*b*h.
במקרה שלנו:
a = b = x  (כי בסיס התיבה הוא ריבוע)
h = y = 24/x – x/2 (גובה התיבה)

(f(x) = x*x*(24/x – x/2

f(x) = 24x – x3 / 2

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:
f ' (x) = 24 – 3x2 /2 = 0
3x2 /2 = 24
x2 = 16
x = ± 4

המשתנה x מתאר אורך של צלע , ולכן אינו יכול להיות שלילי.

לכן x = 4

כלומר אורך צלע הריבוע החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 4.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f " (x) = -3x 

כאשר מציבים x = 4 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.

נגזרת שנייה שלילית => זוהי נקודת מקסימום.

לכן עבור x = 4  נפח התיבה הוא מקסימלי.

המשתנה x מתאר את אורך צלע הריבוע.

תשובה: אורך צלע הריבוע עבורה מתקבל נפח תיבה מקסימלי הוא 4.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
נשים לב כי ביקשו מאיתנו לחשב את הנפח המקסימלי.
לכן נציב x = 4 בפונקציה המתארת את הנפח.
f(x) = 24x – x3 / 2

f(4) = 24*4 – 43 / 2 = 96 – 64/2
f(4) = 64

תשובה: הנפח המקסימלי של התיבה הוא 64.


הפונקציה:  f(x) = 24x – x3 / 2 , ונקודת המקסימום שלה.

תרגיל 4

נתון גליל ששטח הפנים שלו 60π.
מה צריך להיות רדיוס הגליל על מנת שנפחו יהיה מקסימלי.

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x – רדיוס הגליל
h – גובה הגליל.

שטח הפנים של הגליל הוא 60 סמ"ר.
נוסחה לשטח פנים של גליל:
S = 2*πr2 + 2πr*h

נציב x במקום הרדיוס , ולכן מתקיים:
2π * x2 + 2π * x * h = 60π

נחלק ב – 2π :
x2 + x*h = 30

נבודד את h : (כדי לבטאו באמצעות x)
x * h = 30 – x2
h = 30/x – x

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את נפח הגליל.
נוסחה לנפח גליל : V = π*r2 *h
במקרה שלנו:
r = x
h = 30/x – x

(f(x) = π*x2*(30/x – x

f(x) = 30πx – π *x3 

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:
f ' (x) = 30π – 3π * x2 = 0
3π * x2 = 30π
נחלק ב- 3π  :
x2 = 10
x = ±√10

המשתנה x מתאר אורך של רדיוס , ולכן אינו יכול להיות שלילי.

לכן  x = √10

כלומר אורך הרדיוס החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 10√.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f " (x) = -6π*x 

כאשר מציבים x = √10 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.

נגזרת שנייה שלילית => זוהי נקודת מקסימום.

לכן עבור x = √10  נפח הגליל הוא מקסימלי.

המשתנה x מתאר את אורך רדיוס הגליל.

תשובה: אורך רדיוס הגליל עבורו מתקבל נפח תיבה מקסימלי הוא 10√.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
בשאלה זו לא ביקשו מאיתנו לחשב משהו נוסף.

תרגיל 5

מצאו את השיפוע הקטן ביותר של המשיק לגרף הפונקציה g (x ) = x³ – 2x²

פתרון
שלב 1: מציאת הפונקציה המתארת את השיפוע.
g (x ) = x³ – 2x²
g ' (x) = 3x² – 4x

שימו לב: (g ' (x היא למעשה הפונקציה שאנו מחפשים לה את הערך הקטן ביותר.
לכן מבחינת השאלה הזו (g ' (x היא פונקציה ולא נגזרת.

שלב 2: מוצאים מתי (g ' (x  מקבלת ערך מינימלי.
נגזור את (g ' (x
g ' (x) = 3x² – 4x
g " (x) = 6x – 4

נשווה את הנגזרת ל- 0.
6x – 4 =0   / +4
6x = 4  / :6
x = 0.666
הנקודה x = 0.666 חשודה כנתונת ערך מינימלי ל (g ' (x.

שלב 3: נבדוק אם x = 0.666 היא אכן נקודת מינימום.
נעשה זאת על ידי הנגזרת השנייה.
g " (x) = 6x – 4
g "' (x) = 6

הנגזרת השנייה חיובית תמיד, לכן x = 0.666 היא נקודת מינימום.

שלב 4: בודקים אם שאלו אותנו משהו נוסף.
נמצא את הערך המינימלי של הנגזרת.
g ' (x) = 3x² – 4x
g ' (0.666) = 3 * 0.666² – 4 * 0.666
g ' (0.666) = -1.333

גרף הפונקציה g ' (x) = 3x² - 4x ונקודת המינימום שלה

גרף הפונקציה g ' (x) = 3x² – 4x ונקודת המינימום שלה

תרגיל 6

בתיבה אורך צלע בסיס אחת גדולה פי 2 מאורך צלע בסיס אחרת,
וסכום שני אורכי הבסיס וגובה התיבה הוא 36 סנטימטר.
מה נפח התיבה המקסימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x – אורך הצלע הקטנה של בסיס התיבה.
h – גובה התיבה.

נתון כי הצלע הגדולה של הבסיס ארוכה פי 2 מהצלע הקטנה,
לכן אורך הצלע הגדולה של בסיס התיבה יהיה 2x.

סכום שני אורכי הבסיס וגובה התיבה הוא 36 סנטימטר.

לכן מתקיים:
x + 2x + h = 36
h = 36 – 3x

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את נפח התיבה.
נוסחה לנפח תיבה : V = a*b*h.
במקרה שלנו:
a = x
b = 2x
h = 36 – 3x

(f(x) = x*2x*(36 – 3x

f(x) = 72x2 – 6x3

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:
f ' (x) = 144x – 18x2 = 0
נוציא גורם משותף – x :
x(144 – 18x) = 0

x אינו יכול להיות 0 , מכיוון שהוא מתאר אורך של צלע.
לכן:
18x = 144
x = 8

כלומר אורך צלע הבסיס החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 8.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f " (x) = 144 – 36x 

כאשר מציבים x = 8 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.

נגזרת שנייה שלילית => זוהי נקודת מקסימום.

לכן עבור x = 8  נפח התיבה הוא מקסימלי.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
נשים לב כי ביקשו מאיתנו לחשב את הנפח המקסימלי.
לכן נציב x = 8 בפונקציה המתארת את הנפח.
f(x) = 72x2 – 6x3

f(8) = 72*82 – 6*83 = 72*64 – 6*512
f(8) = 1,536

תשובה: הנפח המקסימלי של התיבה הוא 1,536.

בעיות קיצון עם פונקציית שורש

בהמשך הדף תרגילים הכוללים יצירת פונקציית שורש.

תרגיל 1
היקף משולש שווה שוקיים הוא 30 סנטימטר.
מה צריך להיות אורך הבסיס על מנת ששטח המשולש יהיה מקסימלי?
חשבו את שטח המשולש.

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x  –  בסיס המשולש.

נתון לנו שהיקף המשולש הוא 30 ס"מ.
לכן סכום אורכי השוקיים של המשולש הוא
זהו משולש שווה שוקיים , ולכן אורך כל שוק יהיה: 

מתכונות משולש שווה שוקיים, הגובה של המשולש חוצה את הבסיס ל-2 קטעים שווים.

כעת נמצא את הגובה כתלות ב – x , באמצעות משפט פיתגורס.
תזכורת:
a2 + b2 = c2
כאשר a ו -b הם הניצבים , c הוא היתר.

לכן: (נסמן את הגובה ב – h ).


שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את שטח המשולש.
שטח משולש שווה שוקיים הוא בסיס*גובה לחלק ל-2.
(מצאנו את הבסיס והגובה כתלות ב – x בסעיף הקודם).
לכן:

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

נכפול את המונה והמכנה  ב – (225-15x)√


המכנה שונה מ – 0 (כי אם הוא מתאפס הביטוי אינו מוגדר)
לכן:
22.5x + 225 = 0-
22.5x = 225
x = 10

כלומר אורך הבסיס החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 10.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.

נכפול את המונה והמכנה  ב – (225-15x)√

כאשר מציבים x = 10 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.

נגזרת שנייה שלילית => זוהי נקודת מקסימום

לכן עבור x = 10  שטח המשולש הוא מקסימלי.

סימנו בתחילת התרגיל ש – x הוא הבסיס.

תשובה: אורך הבסיס עבורו מתקבל שטח משולש מקסימלי הוא 10.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
נשים לב כי שאלו אותנו מהו השטח המקסימלי.

על מנת למצוא את השטח, נציב x = 10 בפונקציה המתארת את שטח המשולש.



הפונקציה (f(x ונקודת המקסימום שלה.

 

תרגיל 2

במשולש ישר זוויות סכום אורכי הניצבים הוא 12 סנטימטר.
מה צריכים להיות אורכי הניצבים על מנת שאורך היתר יהיה מינימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x – אחד הניצבים המשולש.
סכום אורכי הניצבים = 12 ס"מ.
לכן אורך הנציב השני יהיה  .

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את אורך היתר.
נבטא את אורך היתר באמצעות x , ע"י שימוש במשפט פיתגורס.
לכן:

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

המכנה שונה מ – 0 (כי אם הוא מתאפס הביטוי אינו מוגדר)
לכן:
4x – 24 = 0
4x = 24
x = 6

כלומר אורך הניצב החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מינימלי הוא 6.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.

נכפול את המונה והמכנה ב – (2x2 – 24x + 144)√

כאשר מציבים x = 6 מקבלים נגזרת שנייה חיובית.

נגזרת שנייה חיובית => זוהי נקודת מינימום.

לכן עבור x = 6  אורך היתר הוא מינימלי.

אורך הניצב השני הוא  , לכן גם שווה ל – 6.

תשובה: אורכי הניצבים עבורם מתקבל אורך יתר מינימלי הם 6 , 6

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
בשאלה זו לא ביקשו מאיתנו לחשב עוד משהו.


הפונקציה (f(x ונקודת המינימום שלה

תרגיל 3

סכום ריבועי מספרים הוא 50.
מה הם שני המספרים שסכומם מינימלי.
מהו הסכום המינימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
x  –  המספר המבוקש הראשון.
y – המספר השני.

נרצה לבטא את y באמצעות x – כדי שתהיה לנו משוואה של משתנה אחד.
לכן נשתמש בנתון לגבי סכום הריבועים.
x2 + y2 = 50
y2 = 50 – x2
(y = ±√(50 – x2

אנו מחפשים את הסכום המינימלי. לכן נבחר מספר שלילי. (עבור מספר חיובי כנראה שלא יתקבל סכום שהוא מינימלי).
לכן:
(y = -√(50 – x2

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את סכום המספרים.
f (x) = x + y 
(f(x) = x – √(50 – x2

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

נצמצם ונעביר אגפים:

נכפול במכנה:
 **
נעלה בריבוע את שני האגפים:
x2 = 50 – x2
2x2 = 50
x2 = 25
x = ±5

מהמשוואה ** ניתן להסיק כי x הוא שלילי. (השורש תמיד חיובי , והוא נכפל במינוס).
לכן x = -5.

כלומר המספר החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מינימלי הוא 5-.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.

נכפול מונה ומכנה ב – 

נציב x = -5 בנגזרת השנייה:
f"(-5) = 50/125 > 0
מצאנו כי הנגזרת השנייה חיובית עבור x = -5.

נגזרת שנייה חיובית => זוהי נקודת מינימום.

לכן עבור x = -5 ערך סכום המספרים הוא מינימלי.

המספר השני הוא:
y = -√(50-x2) = -√(50-25) = -√25
y = -5
תשובה: זוג המספרים שסכום ריבועיהם הוא 50 וסכומם מינימלי הוא 5- , 5-.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
נשים לב כי שאלו אותנו מהו הסכום המינימלי.
הסכום המינימלי הוא הסכום של שני המספרים שמצאנו:
Smin = -5 + (-5) = -10

תשובה: הסכום המינימלי הוא  10-.


גרף הפונקציה:  (f(x) = x – √(50 – x ונקודת המינימום שלה.

תרגיל 4

בין הישר  y = -2x + 10  והפונקציה f(x) = 2√x חסום מלבן.
מצאו את שטח המלבן ששטחו מקסימלי.
מצאו את הנקודות היוצרות את המלבן עם השטח המקסימלי.

פתרון

שלב 1: הגדרת משתנה ובאמצעותו את הנקודות היוצרות את המלבן.
נניח כי הנקודה המבוקשת A נמצאת על הפונקציה  f(x) = 2√x.
נגדיר:
xA  – ערך ה- x של הנקודה על הפונקציה  f(x) = 2√x היוצרת שטח מלבן מקסימלי.
yA =  2√xA   ערך ה y בנקודה A.

נניח כי הנקודה המבוקשת B נמצאת על הישר y = -2x + 10
נסמן: xB  – ערך ה- x של הנקודה על הישר y = -2x + 10  היוצרת שטח מלבן מקסימלי.
לכן מתקיים: yB = -2xB + 10
צלעות המלבן מקבילות זו לזו. ומכוון שצלע אחת נמצאת על ציר ה x, אז הצלע AB מקבילה לציר ה x.
לכן ערך ה Y בנקודות A ו- B שווה.
לכן: yB = 2√xA

קיבלנו שני ערכים שונים ל – yB , נשווה ביניהם על מנת לקבל את xB כפונקציה של xA:

2xB + 10 = 2√xA
נעביר אגפים:
2xB = 10 – 2√xA
נחלק ב -2:
xB = 5 – √xA

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת:

אנו רוצים למצוא את שטח המלבן המקסימלי. לכן הפונקציה תהיה שטח המלבן.
שטח מלבן = גובה * רוחב.
הגובה הוא שיעור ה – y של 2 הנקודות שמצאנו (כי הבסיס נמצא ב y = 0)
הבסיס הוא הפרש שיעורי ה – x של הנקודות. כלומר , xB – xA.

לכן:
(f(xA) = 2√xA * (xB – xA
נציב את xB שמצאנו:
(f(xA) = 2√xA * (5 – √xA – xA
נפתח סוגריים:
f(xA) = 10√xA  – 2xA – 2xA1.5

** בהמשך התרגיל נרשום x במקום xA , לשם הנוחות בלבד.

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:


נכפול ב – x√ :
3x – 2√x + 5 = 0-

נסמן : t = √x
ולכן: x = t2

נציב במשוואה:
3t2 – 2t + 5 = 0-

כעת נפתור לפי הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית:

נציב את המקדמים:

לכן:
t1 = 10/-6 = -1.666
אבל , נזכור כי t = √x , ולכן t שלילי אינו מוגדר. (שורש הוא אי שלילי בהגדרתו).

t2 = -6 / -6  = 1
זהו t שמתאים לתחום ההגדרה, ולכן הפתרון המתאים.
נציב בחזרה x = t2 :
x = 12 = 1

לכן x = 1  היא הנקודה החשודה שנותנת לנו שטח מלבן מקסימלי.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.

נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה:

כאשר מציבים x = 1 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.
לכן  x = 1 היא נקודת מקסימום.

לכן עבור xA = 1 מתקבל מלבן בעל שטח מקסימלי.

הנקודה השנייה:
מצאנו כבר את הקשר בין 2 הנקודות:
xB = 5 – √xA
נציב xA = 1 :
xB = 5 – √1 = 5 -1
xB = 4

ביקשו לתת בתשובה את הנקודות , ולכן נמצא גם את שיעורי ה – y שלהן:
xA נמצאת על הפונקציה f(x) = 2√x. לכן:
yA = 2√xA = 2√1
yA = 2

אנו כבר יודעים ששיעורי ה – y של הנקודות זהים. לכן:
yB = 2

תשובה: זוג הנקודות הנותנות מלבן חסום בעל שטח מקסימלי הן : (2 , 4) , (2 , 1).

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה

נשים לב כי שאלו אותנו גם מהו שטח המלבן ששטחו מקסימלי.
לכן נציב בנוסחה לשטח מלבן את הבסיס והגובה שמצאנו:
בסיס = 3 (ההפרש בין שיעורי ה – x)
גובה = 2  (שיעור ה – y)

Smax = 2*3 = 6


גרף הפונקציה f(x) = 10√x  – 2x – 2x1.5   ונקודת המקסימום שלה

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.