פונקציות ln

בדף זה תמצאו הסבר על פונקציית ln.

  1. תחום הגדרה.
  2. נגזרת.
  3. תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון.
  4. משוואות לוגרתמיות.
  5. מציאת משיק.
  6. חקירה מלאה של פונקציות.

בדף נעבור על כל הנושאים הללו, אבל כמו שאתם רואים למרביתם יש דפים נפרדים עם יותר תרגילים ולרוב תרגילים יותר קשים.
כך שאם אתם רוצים להרחיב אתם יכולים לעשות את זה דרך הקישורים.

הפונקציה ln x

הפונקציה ln x היא פונקציית log שבסיסה e:
ln x = logex

גרף הפונקציה ln x עולה תמיד והאסימפטוטה האנכית שלו היא x=0.

גרף הפונקציה ln x

גרף הפונקציה ln x

1. תחום הגדרה ln

הפונקציה הלוגרתמית מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך הלוגרתים הוא חיובי.
כלומר הפונקציה:
ln x
מוגדרת כאשר x > 0.

*במקרה שיש פונקציה של x בתוך ה – ln , כלומר , ( (ln ( f(x ,
תחום ההגדרה יהיה :  f(x) > 0

נשמע פשוט אבל שימו לב שאתם לא מתבלבלים.
למשל תחום ההגדרה של (ln (-x הוא x<0.

( 8-ln (2x²  תחום ההגדרה:  x>2 או x< -2.

ln x²+6x+8  במקרה זה צריך לפתור אי שוויון ריבועי של הביטוי:
x²+6x+8 >0
בעזרת פירוק הטרינום  או נוסחת השורשים נקבל:
x-2) (x-4) >0)
נקבל שתחום ההגדרה הוא x>4 או x<2.

2. נגזרת ln x

נגזרת הפונקציה ln :

כאשר הפונקציה היא פונקציה מורכבת גוזרים אותה כמו פונקציה מורכבת.
(ln f (x))' = (1/ x) * f ' (x)

דוגמאות לנגזרות:

  1.    6ln x ' = 6/x
  2. ln 6x ' = 6/6x = 1/x
  3. (ln (3x² +4) ' = 6x / (3x²+4
  4. ln (-x)) ' = (1/ -x)  * -1 = 1/x)
  5. ln (x³ + x) ' = (1/(x³ +x)) * (3x²+1
  6. x² ln x)' = 2x ln x + (1/x) *2x)   – נגזרת של מכפלה.
  • תרגילים נוספים של גזירת פונקציית ln כולל גזירת פונקציה מורכבת בדף פונקציית ln נגזרת.

3. נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

תרגילים בנושא זה נמצאים בדף נפרד.

4. משוואות לוגרתמיות

במהלך חקירת הפונקציה לפעמים מבקשים למצוא את ערך הפונקציה עבור x מסוים. למשל:
f(x)=ln x² כמה שווים (f(1), f(e³
f(1)=ln 1²
ex=1
x=0
f(1)=0

f(e³)=ln e=ln e6
ex=e6
x=6
f(e³)=6

משוואות בסיסיות עם lnx

חוקי הלוגרתמים הם:

  1. log a(x*y) = logax + logay
  2. log a(x/ y) = logax – logay
  3. logaxn = nlogax
  4. logax = logbx : logba  כלל של שינוי בסיס הלוג.
  5. alogax = x

כללים נוספים שניתן להשתמש בהם בפתרון משוואות לוגריתמיות :

  1. לוגריתם של המספר 1 הוא 0 לכל בסיס, כלומר loga1 = 0.
  2. ניתן לכתוב כל מספר בצורת לוגריתם. למשל את המספר 3 ניתן לכתוב בצורה של log28=3.

5. אסימפטוטות  lnx

אסימפטוטה אנכית – מצורה x=k
הפונקציה ln x אינה מוגדרת כאשר x=0.
כאשר X שואף ל 0 ערכי הפונקציה שואפים למינוס אינסוף לכן x=0 היא אסימפטוטה של אנכית של ln x.
דוגמאות נוספות:
(ln (x+3
x= -3 אסימפטוטה.
(ln (x-1
x=1 אסימפטוטה.
(ln (x² +1
אין אסימפטוטה אנכית משום שהפונקציה מוגדרת תמיד.

דוגמאות לגרפים של פונקציות ln

גרף של (ln (x+3 ו (ln (x-1

גרף של (ln (x² +1

גרף של (ln (x² +1

תרגיל 1
מצאו את האסימפטוטות עבור הפונקציה
(ln (x²-2x +1

פתרון
אסימפטוטות אנכיות :
תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
במקרה שיש פונקציה של x בתוך ה-ln , תחום ההגדרה הוא f(x) > 0.
לכן סביר להניח שתהיה אסימפטוטה אנכית בנקודות אי ההגדרה.
כלומר , כאשר מתקיים : x² – 2x + 1 = 0
נוסחת כפל מקוצר : x-1)² = 0)
 x = 1.
נאמת זאת :
*כאשר x שואף ל -1, הביטוי שבתוך ה -ln ישאף ל – 0.
במקרה כזה פונקצית ה – ln שואפת למינוס אינסוף.

לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף לאינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln גם כן שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln  שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

עוד באתר:

6. חקירה מלאה של פונקציית ln

תרגיל 1
ln x

פתרון

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה מוגדרת עבור x > 0.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
ln x = 0
זה מתקיים עבור x = 1.
 לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא (0 ,1).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
אבל , הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
f ' (x) = 1/x
הנגזרת אינה מתאפסת עבור אף x בתחום ההגדרה.
לכן אין נקודות קיצון.
עבור כל  x > 0 הנגזרת חיובית.
לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
הפונקציה ln x שואפת למינוס אינסוף כאשר x = 0.
לכן הישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית.
ב. אופקיות
:אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסויים כאשר x שואף לאינסוף
(או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו :
*כאשר x שואף לאינסוף, הפונקציה שואפת לאינסוף.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף, הפונקציה אינה מוגדרת.
לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 2

(ln (x² + 6x – 16

פתרון

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה ( (ln ( f(x מוגדרת עבור f(x) > 0.
    כלומר : x² + 6x – 16 > 0
    נפתור את אי השוויון :
    נבדוק מהן נקודות החיתוך שלה עם ציר ה – x :
    x² + 6x – 16 = 0
    נוסחת כפל מקוצר:
    x+8)*(x-2) = 0)
    לכן הפונקציה מתאפסת בנקודות x = 2 , x = -8.
    זוהי פרבולה "מחייכת" – המקדם של x² חיובי.
    לכן הפונקציה חיובית בתחומים :
    1. x > 2
    2. x < -8תחום ההגדרה : x > 2 או x < -8.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
ln(x² + 6x – 16) = 0
x2 +6x – 16 = 1
x2 + 6x – 17 = 0
נפתור את המשוואה ע"י הנוסחה למשוואה ריבועית.
הפתרונות : x1 = 2.099 , x2 = – 8.099
לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (0 ,2.099) , (0 , 8.099-).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
אבל , הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.

הביטוי מתאפס רק אם המונה שווה ל-0.
2x + 6 = 0
x = -3
אבל, הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.

לכן נחלק לשני תחומים לפי תחום ההגדרה :
1. x > 2
2. x < -8

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.

עבור x > 2 : הנגזרת חיובית  => הפונקציה עולה.
עבור x< -8: הנגזרת שלילית => הפונקציה יורדת.

לכן :        עלייה:  x > 2
              ירידה:  x < -8

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
הפונקציה  ( (ln ( f(x שואפת למינוס אינסוף כאשר (f(x) שואף ל – 0.
כבר מצאנו את הנקודות בהן (f(x שואפת ל -0:
x = 2 , x = -8
לכן הישרים x = -8 , x = 2 הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.
ב. אופקיות :אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסויים כאשר x שואף לאינסוף
(או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו  , כאשר x שואף לאינסוף(או מינוס אינסוף), הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

7. תרגילים מהבגרות

בהמשך הדף הצעות לפתרון שאלות בנושא חקירת פונקציות לוגריתמיות.
את השאלונים ניתן למצוא על ידי חיפוש באינטרנט.

קיץ 2018 מועד א שאלה 5

חקרו את הפונקציה

א. תחום הגדרה:
– המכנה מתאפס כאשר ln(x) = 2.
נפעיל e בשני אגפי המשוואה:
eln(x) = e2
לפי חוקי לוגריתמים, eln(x) = x. לכן:
עבור x = e2 הפונקציה אינה מוגדרת.

– תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
מכיוון שהפונקציה שלנו מורכבת מהפונקציה הלוגריתמית, תחום ההגדרה גם יהיה x > 0.

תחום ההגדרה הוא x > 0 , x ≠ e2.

ב.
1. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x:
  נפתור את המשוואה f(x) = 0
הפונקציה שונה מ – 0 לכל x בתחום הגדרתה.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר x.

ציר y: תחום ההגדרה של הפונקציה אינו כולל את הישר x = 0, כלומר את ציר y.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

תשובה: אין לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים.

2. אסימפטוטה אנכית:
המכנה מתאפס עבור x = e2.
לכן, כאשר x שואף ל – e2 , הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן, הישר x = e2 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

3. נקודות קיצון:


הביטוי שווה ל – 0 רק אם המונה שווה ל – 0. לכן:
2lnx – 6 = 0
2lnx = 6
lnx = 3
x = e3

נבדוק האם הנקודה אכן נקודת קיצון בעזרת טבלה.
(הערה: יש לשים לב שמתחשבים בנקודות אי ההגדרה כאשר מפצלים לתחומים!)

תשובה: נקודת מינימום: (40.171 , e3).

4. תחומי עלייה וירידה:
מצאנו בטבלה שבסעיף הקודם את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.
עלייה: x > e3.
ירידה:   
     או   

5.

ג.  (g ' (x) = f (x.

תחום העלייה של (g(x הוא בעצם התחום בו (g ' (x חיובית.
ניתן לראות מהגרף כי (f(x חיובית עבור x > e2 , ולכן גם (g ' (x חיובית עבור x > e2.

לכן תחום העלייה של (g(x הוא x > e2.

חורף 2018 שאלה 5

חקרו את הפונקציה

א.
1. תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן, תחום ההגדרה של (f(x הוא x > 0.

2. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x :
נפתור את המשוואה f(x) = 0.
2lnx + 3) / 3 = 0)
2lnx + 3 = 0
2lnx = -3
lnx = -1.5
x = e-1.5

ציר y:  הפונקציה לא חותכת את ציר y מכיוון ש x = 0 מחוץ לתחום הגדרתה.

נקודות החיתוך: 
ציר x :
(0,e-1.5)
ציר y : אין.

3. תחומי עלייה וירידה:
ראשית נבדוק האם יש נקודות קיצון:
f ' (x) = 2 / 3x = 0
אין x המקיים את המשוואה, ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון.A
לכן הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה.

על מנת לבדוק אם עולה/יורדת, נציב בנגזרת נקודה כלשהי בתחום ההגדרה:
f ' (1) = 2 / 3 > 0

כלומר, הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה.
לכן, הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה, כלומר לכל x > 0.

4. אסימפטוטה אנכית:
מכיוון שהפונקציה מורכבת מפונקציית ה – ln ,
הפונקציה תשאף למינוס אינסוף כאשר x שואף ל – 0.
לכן, האסימפטוטה האנכית של הפונקציה היא x = 0.

5. סקיצה של הפונקציה:

 

ב.
1. אסימפטוטות של (f ' (x :

כבר מצאנו את הנגזרת:
f ' (x) = 2/3x

אסימפטוטה אנכית:
נשים לב כי כאשר x שואף ל – 0, המכנה שואף ל-0 והמונה הוא מספר קבוע,
ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן x = 0 – אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית:
כאשר x שואף לאינסוף, המכנה ישאף לאינסוף והמונה הוא מספר קבוע,
ולכן הפונקציה שואפת ל – 0.
לכן y = 0 – אסימפטוטה אופקית.

2. סקיצה של (f ' (x:

ג. b > 1 הוא פרמטר.

השטח הכלוא שווה ל – (ln(4.

השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

אנו כבר יודעים מהי הפונקציה הקדומה – מכיוון שאנו עושים אינטגרל על הנגזרת של הפונקציה המקורית.
לכן הפונקציה הקדומה היא (f(x.
נפתור את האינטגרל:

נתון כי השטח הכלוא שווה ל – (ln(4.
כעת נשווה בין השטח שמצאנו לבין השטח הנתון:
(2ln(b) / 3 = ln(4
לפי חוקי לוגריתמים:
(a * ln(x) = ln(xa
לכן:
(ln(b2/3) = ln(4
b2/3 = 4
b = 43/2
b = 8

קיץ 2017 מועד א

(f (x) = ln (1+x) / (2+2x

א. תחום ההגדרה.
הפונקציה מוגדרת כאשר המכנה שונה מ 0 וגם כאשר הביטוי בתוך הלוגרתמים חיובי.
נמצא מתי המכנה שווה ל 0.
2+2x=0
2x=-2
x= -1
נמצא מתי הביטוי שבתוך הלוגרתמים חיובי.
x+1>0 /-1
x> -1
שני התנאים מתקיימים יחד כאשר x> -1
תשובה: הפונקציה מוגדרת כאשר x> -1

ב. כאשר x שואף ל 1-  המכנה שואף ל 0 ואילו המונה שואף למספר לכן המנה המתקבלת שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף.
הישר x= -1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

ג. נציב x =0 בפונקציה:
f (0) = ln (1+0) / (2+2*0) = 0/ 2=0
(0, 0).
נציב f (x) =0.
ln (1+x) / (2+2x)=0
ln (1+x) =0
e0 = 1+x
x+1=1
x=0
תשובה: נקודת החיתוך עם הצירים היא 0,0.

ד. נקודות קיצון.
(f (x) = ln (1+x) / (2+2x
f ' (x) = ((1+x)-1 (2+2x) – 2ln(1+x)) / (2+2x)²
נפשט את הביטוי השמאלי של הנגזרת.
x+1)-1 * (2+2x) = (x+1)-1*2(x+1)=2)
נציב בחזרה בנגזרת
f ' (x) = (2 – 2ln(1+x)) / (2+2x)²
הנגזרת שווה ל 0 כאשר מונה הנגזרת שווה ל 0 לכן נבדוק מתי מונה הנגזרת שווה ל 0.
2-2ln(1+x)=2(1-ln(1+x)=0
ln(1+x)=1
x+1 = e=2.718
x=1.718
נבדוק את סימן הנגזרת בסביבת הנקודה.
מכנה הנגזרת תמיד חיובי לכן אינו משפיע על סימן הנגזרת. נבדוק את סימן מונה הנגזרת.
x=3
ln(1+3)+1<0-
x=1
ln(1+1)+1>0-
כך זה נראה בטבלה

x=3 x=1.718 x=1
(f(x יורדת מקסימום עולה
(f ' (x 0 +

נמצא את ערך הפונקציה ב x=1.718. נגיע לתוצאה מדויקת יותר עם נציב e-1 = 1.718
(f (x) = ln (1+x) / (2+2x
f (e-1) = ln e / (2+2(e-1)=1/2e
תשובה: x=1.718, y=1/2e זו נקודת המקסימום.

ה. שרטוט סקיצה

כאשר משרטטים סקיצה נעשה זאת על הסעיפים הקודמים. תחילה נשרטט את הנקודות שמצאנו ולאחר מיכן נתייחס לתחומי העליה והירידה והאסימפטוטות.

סקיצה של גרף הפונקציה

סקיצה של גרף הפונקציה

ו. שרטוט גרף הפונקציה השלילית.
בפונקציה הזו ערכי ה y הופכים את הסימן אך שומרים על הערך המוחלט שלהם.

גרף הפונקציה ההפוכה

גרף הפונקציה ההפוכה

חורף 2017 שאלה 5
בגרות 4 יחידות שאלון 482

F(x) = (lnx)² – 2ln x

סעף א.
תחום ההגדרה הוא x>0.

סעיף ב

נשווה את הנגזרת ל 0.
יש לנו שני מכפלה של שני ביטויים שעל מנת שהמכפלה תהיה שווה ל 0 לפחות אחד מהביטויים צריך להיות שווה ל 0.

Ln x -1=0
Ln x =1
x=e
(f'(x) =(2/x) *(lnx-1
הביטוי

חיובי בכול תחום ההגדרה. לכן מה שקובע את סימן הנגזרת הוא הביטוי ln x -1.
כאשר x>e הביטוי והנגזרת חיוביים.
כאשר

הביטוי והנגזרת שליליים.
לכן x=e זו נקודת מינימום.

נמצא את ערך הפונקציה בנקודה x = e.
F(e) = (ln e)² – 2ln e= 1²-2= -1
תשובה: e,-1 מינימום.

סעיף ג.
נציב f (x) = 0.
lnx)² – 2ln x=0)
ln x(ln (x) -2)=0
lnx = 0
x=1
או
ln (x)-2=0
ln x=2
x=e²
(e²,0), (1,0) – חיתוך עם ציר ה X.

סעיף ד
סקיצה של הפונקציה

סקיצה של הפונקציה

סעיף ה
אנו צריכים שגרף הפונקציה יהיה חיובי וגם הפונקציה תעלה. זה קורה כאשר x>e².

סעיף ו
נקודות הקיצון מתקבלות כאשר f(x) חותכת את ציר ה x.
כאשר x=1 הפונקציה עוברת מחיוביות לשליליות לכן זו נקודת מקסימום.
כאשר x=e² הפונקציה עוברת משליליות לחיוביות ולכן זו נקודת מינימום.

קיץ 2016 שאלה 5
בגרות 4 יחידות שאלון 482

F(x)= x² – ln (x²)-3

סעיף א
תחום ההגדרה: x² צריך להיות חיובי על מנת שהפונקציה תהיה מוגדרת. לכן x≠0 הוא תחום ההגדרה.

סעיף ב
אסימפטוטה מתקבלת בנקודת אי ההגדרה והיא x=0.

סעיף ג
נגזור את הפונקציה.

2x²=2
x²=1
x=1 או x=-1
נמצא את סוג הקיצון בעזרת הנגזרת השנייה.

ביטוי זה חיובי לכל X לכן אלו נקודות מינימום.
נמצא את ערכי הפונקציה בנקודת הקיצון.
F(1) =-2
f(-1)=-2

סעיף ד
f(5) = x² – ln (x²)-3=18.78
סקיצה של הפונקציה היא:

סקיצה של הפונקציה

סעיף ה
מכוון שבנקודות המינימום f(x)=-2 כאשר נוסיף 2 לפונקציה נקודות המינימום ישיקו לציר ה X וכל שאר הפונקציה תהיה מעל ציר ה X.
לכן לפונקציה (g(x יהיו 2 נקודות השקה עם ציר הX.

עוד באתר:

שאלה שאלות

3 תגובות בנושא “פונקציות ln

  1. חני

    שלום. מנסה להבין איך לפתור את זה אך לא מצליחה אשמח לעזרה
    (התרגיל עצמו נמחק מהאתר).
    עבור הפונקציה מה השיפוע בנקודה בה X=2.
    עזרה בנגזרת של זה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום חני
      אם נתעלם כרגע מה 3x שבצד שהנגזרת שלו היא 3 אז התרגיל שלך הוא בעצם נגזרת של מכפלת פונקציות.
      פונקציה אחת במכפלה היא x והנגזרת שלה היא 1.
      פונקציה שנייה במכפלה היא (ln (x – 1 והנגזרת היא 1 לחלק ב x – 1.
      אז הנגזרת של הפונקציה שלך היא:
      x * (1/(x-1)) + ln (x – 1) + 3
      x/ (x -1)+ ln (x – 1) + 3

      ואז מציבים x= 2 בשורה התחתונה ומוצאים את ערך הנגזרת.
      באתר יש דפים בנושא מכפלת פונקציות
      http://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/product-rule-for-derivatives/
      ובנושא נגזרת של ln
      http://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/ln-derivative/
      מקווה שעזרתי.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.