פונקציית ln נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה

בדף זה נפתור תרגילים בנושא מציאת נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה של פונקציית ln.

מציאת נקודות קיצון

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות:

תרגיל 1
ln x

פתרון
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.
f ' (x) = 1/x = 0
*אין ערך של x עבורו מתקיימת המשוואה.
לכן אין נקודות קיצון.
נשים לב כי הפונקציה ln x מוגדרת רק עבור x > 0.
לכן הנגזרת תמיד חיובית (בכל תחום ההגדרה של הפונקציה).
הפונקציה lnx היא פונקציה עולה ללא נקודות קיצון.

תרגיל 2
ln x – 2x

פתרון
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.
f ' (x) = 1/x – 2  = 0
נכפול ב – x:
0 = 1 + 2x-
2x = 1
x = 0.5

לכן x = 0.5 היא נקודה חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.
נפצל ל -2 תחומים:
1. 
2.

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

תשובה : 
  – נקודת מקסימום.

 

תרגיל 3
ln x) / x)

פתרון
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.


הביטוי הנ"ל שווה ל – 0 רק אם המונה שווה ל -0.
נעביר אגף ונקבל :
ln x = 1
x = e

לכן הנקודה x = e היא חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.
נפצל ל -2 תחומים:
1. 
2.  

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

תשובה:    (e, 1/e)  נקודת מקסימום.

תחומי עליה וירידה

תרגיל 1
(ln (x -2

פתרון
נפתור בעזרת מציאת נקודות קיצון .
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.
f ' (x) = 1/ (x-2) = 0
הנגזרת שונה מ – 0 לכל x. (המונה אינו מתאפס – הוא מספר קבוע).
לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.
הפונקציה מוגדרת עבור x > 2.
עבור כל x בתחום ההגדרה הנגזרת חיובית.

לכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

תרגיל 2
(ln (x² -9

פתרון
**ראשית נשים לב כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x² – 9 > 0
כלומר:  x > 3  או  x < – 3

נפתור בעזרת מציאת נקודות קיצון .
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.

הנגזרת מתאפסת רק עבור x = 0.
אבל, הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.

לכן נחלק לשני תחומים לפי תחום ההגדרה :
1. x > 3
2. x < -3

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.

עבור x< -3: הנגזרת שלילית => הפונקציה יורדת.

תשובה : *עלייה:  x > 3
             *ירידה:  x < -3עבור x > 3 : הנגזרת חיובית  => הפונקציה עולה.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.