פונקציית ln אסימפטוטות

על מנת למצוא אסימפטוטת נזכור:

  1. כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה ln x שואפת לאינסוף ולכן אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית באינסוף.
  2. כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה ln x אינה מוגדרת.

בדף זה נפתור 4 תרגילים בנושא

עוד באתר:

תרגיל 1

(ln (x²-2x +1

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
במקרה שיש פונקציה של x בתוך ה-ln , תחום ההגדרה הוא f(x) > 0.
לכן סביר להניח שתהיה אסימפטוטה אנכית בנקודות אי ההגדרה.
כלומר , כאשר מתקיים : x² – 2x + 1 = 0
נוסחת כפל מקוצר : x-1)² = 0)
 x = 1.
נאמת זאת :
*כאשר x שואף ל -1, הביטוי שבתוך ה -ln ישאף ל – 0.
במקרה כזה פונקצית ה – ln שואפת למינוס אינסוף.

לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף לאינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln גם כן שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף , הביטוי שבתוך ה- ln  שואף לאינסוף.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

תרגיל 2

מציאת אסימפטוטות

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
*תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן נחשוד שתהיה אסימפטוטה אנכית בנקודות אי ההגדרה.
כלומר , כאשר  x = 0.
נבדוק זאת:
כאשר x שואף ל – 0, פונקציית ה – ln שואפת למינוס אינסוף,
לכן המכנה ישאף למינוס אינסוף,

והביטוי      ישאף ל – 0.

לכן הפונקציה תשאף ל – 1 כאשר x שואף ל- 0. (=> אין אסימפטוטה עבור x = 0).

*כאשר x שואף ל  e-2 ,
ln x תשאף ל 2- , והמכנה ישאף ל- 0.
במונה יש מספר קבוע ולכן הביטוי והפונקציה ישאפו לאינסוף.

לכן הישר x = e-2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף ל-אינסוף, פונקציית ה – ln שואפת לאינסוף,
לכן המכנה ישאף לאינסוף,

והביטוי      ישאף ל – 0.

לכן כאשר x שואף לאינסוף – הפונקציה תשאף ל -1.

*כאשר x שואף למינוס אינסוף , הפונקציה ln אינה מוגדרת.

לכן הישר y = 1 הוא אסימפטוטות אופקית של הפונקציה.

 

תרגיל 3

מציאת אסימפטוטה

פתרון:

אסימפטוטות אנכיות :
*תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן נחשוד שתהיה אסימפטוטה אנכית בנקודות אי ההגדרה.
כלומר , כאשר  x = 0.
נבדוק זאת:
כאשר x שואף ל – 0, פונקציית ה – ln שואפת למינוס אינסוף,
לכן המכנה ישאף לאינסוף, והפונקציה תשאף ל – 0 .
כלומר, אין אסימפטוטה אנכית ב x = 0.

*כאשר x שואף ל – 1 , lnx שואפת ל – 0,
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף.

לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

אסימפטוטות אופקיות:
*כאשר x שואף ל-אינסוף, פונקציית ה – ln שואפת לאינסוף,
לכן המכנה ישאף לאינסוף, והפונקציה תשאף ל – 0.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף – פונקצית ה ln אינה מוגדרת.

לכן הישר 0 = y  הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

 

תרגיל 4 (עם פרמטר)

הישר x = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה  (ln (x² + a.
מצאו את a.

פתרון

נסיק מהנתון – כאשר x שואף ל – 2, הפונקציה הנ"ל שואפת לאינסוף/מינוס אינסוף.
((ln(f(x שואפת לאינסוף רק כאשר (f(x שואפת לאינסוף  – אין a המקיים זאת.

((ln(f(x שואפת למינוס אינסוף כאשר (f(x שואפת ל – 0.
נרצה ש – (f(x תשאף ל – 0 כאשר x שואף ל -2.
לכן נדרוש:  

לכן :  a = – 4.

כלומר , הישר x =  2 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה (ln(x2 – 4 .

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.