אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות

בדף זה 5 חלקים:

  1. כללי אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות.
  2. 7 דוגמאות מהירות לחישוב אינטגרל.
  3. 16 תרגילים – חישוב אינטגרלים בכל הרמות.
  4. חישוב אינטגרל מסוים.
  5. חישוב שטחים (כולל פרמטרים).

דפים קשורים באתר:

1.כללי אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות

כללים לביצוע אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות:

1. אינטגרל של cosx:
cos x dx = sin x + c∫

2. אינטגרל של sinx:
sin x dx = -cox x + c∫

3.אינטגרלים של פונקציות מורכבות:
כאשר יש לנו פונקציה של ישר בתוך האינטגרל ניתן להשתמש בנוסחאות.
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת
כאשר יש לנו פונקציה של x בתוך sin:


4. אינטגרל נוסף:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

הערה : כאשר יש לנו פונקציה טריגונומטרית שכפולה במספר קבוע , נוציא את המספר מחוץ לאינטגרל על פי הכלל:
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

2.חישובי אינטגרל מהירים

בחלק זה נראה 7 חישובים של אינטגרל ללא הסברים.

דוגמה 1
3cosx dx = 3sin x + c∫

דוגמה 2
6sinx dx = -6cosx + c∫

דוגמה 3
sin x – 5cos x dx = -cosx -5sinx + c∫

דוגמה 4
3sin x + 0.5cos x dx = 3cosx + 0.5sinx + c-∫

דוגמה 5

דוגמה 6

דוגמה 7

3.תרגילים

תרגילים 1-6 כוללים פונקציות טריגונומטריות פשוטות.
תרגילים 7-10 כוללים פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא קו ישר.
תרגילים 10-16 כוללים אינטגרל על פי זיהוי הנגזרת הפנימית.
תרגילים 17-18 הם האינטגרלים של sin²x,  cos²x

בחלק הראשון נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   5cos x dx∫
  2.   3sin x dx∫
  3.   sin x – 4cos x dx-∫
  4.   0.2sin x + 3cos x dx∫
  5.   0.5cos x – 2.4sin x + 3x² dx∫

6.

בחלק השני נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   cos 8x dx∫
  2.   sin (5x -20) dx∫
  3.   7sin 2x dx∫
  4.   7sin (-4x + 30) dx∫

בחלק השלישי נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   sin²x cos x dx∫
  2.   sin x cos³x dx∫
  3.   sin4 3x cos 3x dx∫
  4.   5sin (x²) * x dx

פתרונות

תרגיל 1
5cos x dx∫

פתרון
נוצא את המספר 5 מחוץ לאינטגרל.
כמו כן נשתמש בנוסחה לאינטגרל של cosx :
5cos x dx = 5*∫cos x = 5sinx + c∫

בפתרון זה השתמשנו בנוסחאות:

  • cos x dx = sin x + c∫
  • k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

תרגיל 2
3sin x dx∫

פתרון
נוצא את המספר 5 מחוץ לאינטגרל.
כמו כן נשתמש בנוסחה לאינטגרל של cosx :
3sin x dx = 3*∫sin x = 3 * (-sin x) + c∫
3sin x + c-

תרגיל 3
sin x – 4cos x dx-∫

פתרון
נחלק את האינטגרל לשני אינטגרלים נפרדים.
sin x – 4cos x dx = ∫ -sin x dx+ ∫ -4cos dx-∫

נחשב כל אינטגרל בנפרד:
sin x dx = – (-cos x) + c = cosx + c-∫
4cos dx = -4sinx + c-∫

ולכן האינטגרל הוא:
sin x – 4cos x dx = cos x – 4sinx + c-∫

תרגיל 4
0.2sin x + 3cos x dx∫

פתרון
נחלק את האינטגרל לשני אינטגרלים נפרדים.
0.2sin x + 3cos x dx = ∫0.2sin x dx +∫3cosx dx∫

נחשב כל אינטגרל בנפרד:
0.2sin x dx = -0.2cos x + c∫
3cosx dx = 3sinx + c∫

ולכן האינטגרל הוא:
0.2sin x + 3cos x dx = -0.2cos x + 3sin x + c∫

תרגיל 5
0.5cos x – 2.4sin x + 3x² dx∫

פתרון
נחלק את האינטגרל ל 3 אינטגרלים נפרדים ונחשב אותם:
0.5cos x dx= 0.5sin x + c∫
2.4sin x dx = 2.4cos x + c-∫
3x² dx = x³ + c∫

ולכן האינטגרל הוא:
0.5cos x – 2.4sin x + 3x² dx = 0.5sin x + 2.4cos x + x³ + c∫

תרגיל 6

פתרון
נזכור את נוסחת האינטגרל:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

ולכן הפתרון שלנו הוא:

אינטגרל של פונקציה מורכבת
כאשר הפונקציה הפנימית היא קו ישר

בדף אינטגרל של פונקציה מורכבת יש הסבר מפורט ווידאו כיצד מחשבים אינטגרל מסוג זה.
כאן נגיד שניתן לחשב את האינטגרל בעזרת:
1. ההיגיון
2. הנוסחה
אינטגרל של פונקציה מורכבת

וכאשר הפונקציה היא sin הנוסחה נראית כך:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

וכאשר הפונקציה היא cos הנוסחה נראית כך:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

  • נגזרת מורכבת – על מנת לחשב אינטגרל מסוג זה עליכם לדעת לגזור היטב נגזרת מורכבת.

דוגמה:
cos 4x dx∫

פתרון
איזו פונקציה נגזור ונקבל cos 4x?
הפונקציה חייבת לכלול sin 4x.
ועל מנת שכאשר נגזור לא ישאר לנו 4 מיותר נחלק ב 4 (4 הוא ה m בנוסחאות שלמעלה).

לכן:
cos 4x dx = (sin 4x / 4) + c∫

בחלק השני נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   cos 8x dx∫
  2.   sin (5x -20) dx∫
  3.   7sin 2x dx∫
  4.   7sin (-4x + 30) dx∫

תרגיל 7
cos 8x dx∫

פתרון
cos 8x dx = (sin 8x / 8) + c∫

תרגיל 8
sin (5x -20) dx∫

פתרון

תרגיל 9
7sin 2x dx∫

פתרון
זו פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא קו ישר.
7sin 2x dx = 7(-cos 2x) / 2∫

תרגיל 10
7sin (-4x + 30) dx∫

פתרון
זה אינטגרל מורכב של פונקציית הסינוס.

אינטגרל של פונקציה מורכבת 
עם זיהוי בנגזרת הפנימית

חלק זה מיועד לתלמידי 5 יחידות.
כאשר יש לנו פונקציה מורכבת שהנגזרת הפנימית שלה היא לא קו ישר אנו ננסה לחשב את האינטגרל באמצעות זיהוי הנגזרת הפנימית.
על פי כלל האינטגרציה הבא:
[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x

בחלק זה נפתור את התרגילים הבאים:

  1.   sin²x cos x dx∫
  2.   sin x cos³x dx∫
  3.   sin4 3x cos 3x dx∫
  4.   5sin (x²) * x dx

תרגיל 11
sin²x cos x dx∫

פתרון
הנגזרת של sin x היא cos x ולכן יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה ואנו יכולים להשתמש בנוסחה.

תרגיל 12
sin x cos³x dx∫

פתרון
נשים לב שהנגזרת של cos x היא sinx- ולא sin x.
לכן אין לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.
מה שנעשה זה להוסיף מינוס בתוך האינטגרל ומחוץ לאינטגרל כך שמכפלתם תהיה חיובית ולא תשנה את ערך האינטגרל.

sin x cos³x dx = – ∫-sinx cos³x dx∫

עכשיו יש לנו מכפלה של פונקציה (cosx) בנגזרת הפנימית שלה (sinx-) וניתן לחשב את האינטגרל:

תרגיל 13
sin4 3x cos 3x dx∫

פתרון
אם ברצוננו להשתמש בנוסחה בתרגיל זה עלינו לדאוג שהנגזרת של
sin 3x תהיה בתוך האינטגרל.
הנגזרת היא:
cos3x * 3
כלומר חסר לנו 3 ואנו נוסיף אותו בתוך האינטגרל ולכן גם נוסיף 0.33 מחוץ לאינטגרל.

ועכשיו יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה וניתן להשתמש בנוסחה.

תרגיל 14 (בשילוב פולינום)
5sin (x²) * x dx

פתרון
הנגזרת הפנימית של sin x² היא 2x.
כרגע יש לנו 5x בתוך האינטגרל.
נדאג שבתוך האינטגרל יהיה ביטוי שגודלו 2x.
ולכן נוציא 2.5 מחוץ לאינטגרל.

5sin (x²) * x dx= 2.5∫sin(x²) * 2x dx∫

עכשיו יש לנו בתוך האינטגרל פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה וניתן להשתמש בנוסחה.
5sin (x²) * x dx = -2.5cos(x²) + c∫

תרגיל 15 (בשילוב רציונלית)

פתרון
נשים לב שהנגזרת הפנימית של cos2x היא 2sin2x-.
לכן נכתוב את התרגיל בצורה הזו, שבה יש פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.

עכשיו ניתן להשתמש בנוסחה ולפתור את האינטגרל:

תרגיל 16 (בשילוב שורש)

פתרון
נשים לב שהנגזרת של cos5x היא 5sinx-.
לכן נדאג שנגזרת זו תהיה בתוך האינטגרל.

עכשיו יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה וניתן להשתמש בנוסחה.

אינטגרלים של sin²x,  cos²x

תרגיל 17
כיצד נחשב את האינטגרל:
sin²x dx∫

פתרון
התשובה
sin³x / 3
תהיה טעות.
כי הנגזרת של הביטוי הזה היא:
sin³x / 3) ' = 3sin²x * cos x / 3)

לכן על מנת לבצע את האינטגרל עלינו למצוא דרך "להיפתר" מהחזקה של הסינוס.
נעשה זאת בעזרת זהויות טריגונומטריות.

הזהות הזאת מתקבלת מהשילוב של שתי הזהויות:
sin² x + cos²x = 1
cos 2x = cos²x – sin²x

לאחר שנעשה שימוש בזהות האינטגרל יהיה:

sin²x dx = ∫0.5 – 0.5xcos 2x dx∫
0.5x – 0.25sin 2x + c

תרגיל 18
cos²x dx∫

פתרון
על בסיס הזהויות הטריגונומטריות
sin² x + cos²x = 1
cos 2x = cos²x – sin²x

נקבל:

לכן האינטגרל הוא:
cos²x dx = ∫0.5 + 0.5cos 2x dx∫
0.5x + 0.25cos 2x + c

4. אינטגרל מסוים

תרגיל 1

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
cosx = sinx∫
(אין צורך להוסיף קבוע , מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

2.נבצע את החישוב:


תשובה: 1

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1. f(x)  = cosx
2. a = 0 , b = π/2

תרגיל 2

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
(זהו שילוב של פונקציה טריגונומטרית עם פולינום – אנו יודעים לבצע אינטגרל)
2sinx + 2x dx = -2cosx + x² ∫
(אין צורך להוסיף קבוע , מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

2.נבצע את החישוב:

תשובה: π2 + 4

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1. f(x)  = 2sinx + 2x
2. a = 0 , b = π

5.חישובי שטחים

תרגיל 1
חשבו את השטח שחסום ע"י הפונקציה:  f(x) = cosx + 0.5 ,
והישרים : x = π/3 , x = 2π/3.

פתרון

1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

האינטגרל הוא:
cosx+0.5 dx = sinx + 0.5x ∫

2. חישוב השטח (פתרון התרגיל):

תשובה: השטח הכלוא הוא π/6.

תרגיל 2
חשבו את השטח שבין (f(x) = sin(2x , והישר y = √2/2.
בתחום : 

פתרון

1.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
sin(2x) = √2/2
(2x = arcsin(√2/2
בתחום שלנו ישנן 2 אפשרויות:
א..   2x = π/4
x1 = π/8
ב. 2x = 3π/4
x2 = 3π/8

2. חישוב השטח:

א. השטח המבוקש נתון ע"י:

(ביצענו חיסור בין השטחים על מנת לקבל את השטח הכלוא בין הפונקציות).

ב. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ג. חישוב השטח הכלוא:


תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 0.1517.

תרגיל 3
לפונקציה f(x) = sinx מעבירים משיק בנק' x = π/2.
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק, והישר x = π.

פתרון

  1. נמצא את משוואת המשיק:
    על מנת למצוא את נקודת ההשקה, נציב x = π/2 בפונקציה f(x) = sinx.
    f(π/2) = sin(π/2) = 1
    לכן נקודת ההשקה היא  (1 , π/2).שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
    לכן נגזור את הפונקציה:
    f ' (x) = cosx.
    נציב בנגזרת x = π/2 על מנת למצוא את השיפוע:
    f ' (π/2) = cos(π/2) = 0
    לכן השיפוע: m = 0. (כלומר, ישר המקביל לציר x).נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y= m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
    נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
    (y – 1 = 0*(x – π/2
    y  – 1 = 0
    y = 1
    2. חישוב השטח הכלוא:
    השטח מוגבל מתחת לישר y = 1 (המשיק) ומעל הפונקציה f(x) = sinx.
    השטח מוגבל משמאל ע"י נקודת ההשקה – x = π/2 , ומימין ע"י הישר x = π.
    לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:
    א. חישוב האינטגרל:
    ב. חישוב השטח:

    תשובה: השטח הכלוא הוא 0.571.

חישוב שטח עם פרמטר

תרגיל 4
(f(x) = 2cos(3x
א. הביעו באמצעות c את השטח הכלוא מתחת לפונקציה, בין הישרים x = 0, x = c.
ב. נתון כי השטח הנ"ל שווה ל – 1/3.  מצאו את c.

הערה : הניחו כי :    

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

1. חישוב האינטגרל:

2.חישוב השטח:


ב.מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 1/3.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
1/3 = 2/3 * (sin (3c
נחלק את המשוואה ב – 2/3.
sin(3c) = 1/2
ידוע כי  sin (π/6) = 1/2. לכן:
3c = π/6
c = π/18

תשובה לסעיף ב':  c = π/18

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 thoughts on “אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      האינטגרל הוא מספר כלשהו שלרוב מסמנים אותו כ c.
      זה שאלה שמטרידה הרבה מבחינה תאורטית אבל מבחינה מעשית אין לזה משמעות (למעט חישוב אינטגרל לא מסוים בו מוסיפים את המספר c).
      אז שהנושא הזה לא יבלבל אותך כאשר אתה פותר תרגילים.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום אביה
      יש אינטגרל לא שימושי והוא
      ln |cos x| + c-
      מכוון ש tan זו בעצם מנה של שתי פונקציות האינטגרל יותר מסובך.
      על מנת לחשב את האינטגרל יש להשתמש בשיטת ההצבה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.