אינטגרל פולינום

אינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.
כאשר אנו מבצעים אינטגרציה לפונקציה, אנו בעצם מוצאים את "הפונקציה הקדומה" שלה.
אם נגזור את תוצאת האינטגרל אנו צריכים לקבל את הפונקציה שנתנו לנו לגזור.

הדף מיועד לתלמידי 3,4,5 יחידות לימוד אשר הם בתחילת לימוד נושא האינטגרל.

בדף זה נלמד:

  1. את 3 השלבים לחישוב קל של אינטגרל של פולינום.
  2. 3 נוסחאות נוספות שאתם צריכים לדעת.
  3. תרגילים בחישוב אינטגרל.
  4. תרגילים בחישוב אינטגרל מסוים.

לאחר שתסיימו כאן עליכם לדעת לחשב לחשב שטחים בעזרת אינטגרל.
את זה תוכלו ללמוד בדף אינטגרל פולינום חישוב שטחים.
בנוסף בדף אינטגרלים תוכלו ללמוד על אינטגרלים מסוגים נוספים, אינטגרלים שאינם פולינום.

כיצד לחשב בצורה קלה אינטגרל של פולינום

חישוב אינטגרל של פולינום יכולה להיות פעולה קלה אם עושים אותה בסדר הנכון.

על מנת לחשב את האינטגרל כל מה שעליכם לדעת הוא לבצע נגזרת של פולינום, ועליכם לדעת לעשות זאת טוב.
אם הפונקציה היא:
f(x)=xn.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nxn-1.

הבנה של המשימה
ראשית עלינו לזהות שכאשר אנו מבצעים אינטגרל של פולינום אנו צריכים למצוא בעצם שני מספרים.
x4 dx = axb
שני המספרים הם a,b המופיעים באדום למעלה.
אם נמצא את מעריך החזקה של האינטגרל וגם את המקדם של x פתרנו את התרגיל.

שלב ראשון בפתרון: מציאת b
אנו יודעים שאינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.
לכן כשנגזור את האינטגרל נצטרף לקבל חזקה של 4.
איזו חזקה תתן לנו חזקה של 4 כאשר נגזור אותה? חזקת 5.
לכן b= 5 והצורה הזמנית של האינטגרל תהיה:

x4 dx = ax5

שלב 2: ביטול ההשפעה של b.
אם נגזור את הביטוי של האינטגרל בשלב הזה נקבל:
ax5)' = 5*ax5)

כלומר ה 5 ששמנו בחזקה משפיע על המקדם של x שהוא a.
אנו רוצים לבטל את ההשפעה הזו.
לכן נחלק ב 5 את האינטגרל.

שלב 3: קביעת ה a
ה a תמיד יהיה המקדם של xn בביטוי המקורי.
בתרגיל זה המקדם של x4 הוא 1.
לכן a = 1.

והאינטגרל הסופי נראה כך:

נפתור עוד תרגיל במהירות.
חשבו את האינטגרל של
3x7 dx = axb

שלב 1: מציאת b.
3x7 dx = ax8

שלב 2: ביטול ההשפעה של b

שלב 3: מציאת a.
המקדם של x בשאלה המקורית הוא a
כלומר a = 3.

וזו התשובה הסופית:

לסיכום שלבי חישוב האינטגרל הם:

  1. רישום החזקה.
  2. ביטל השפעת החזקה שרשמנו על המקדם של x.
  3. המקדם של x הוא המספר שהיה המקדם של x בשאלה שקיבלנו.

השלבים שצוינו כאן לא קשים לזכירה, ואני ממליץ לכם לפעול לפיהם.

אבל אם אתם לא רוצים לזכור שלבים ורוצים לזכור נוסחה אז לאינגרל של פולינום יש גם נוסחה:

למשל:
x4 dx = (x5 / 5 ) + c∫

3 נוסחאות שאתם צריכים לדעת

1. אינטגרל של חיבור פונקציות
זה הכלל / נוסחה השימושיים ביותר.
כאשר יש אינטגרל של שתי פונקציות אנו נבצע אינטגרל לכל אחד מהפונקציות בנפרד ובסיום נחבר בין האינטגרלים.

f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

למשל:
(x3 + 4x2 dx  = ∫x3 dx + ∫ 4x² dx = (x4 / 4) + (4x3 / 3∫

2. הנוסחה להכפלה של פונקציה במספר קבוע
כאשר הפונקציה מוכפלת במספר כלשהו, נבצע אינטגרל לפונקציה ונכפיל באות מספר.

k *xn dx = k * ∫ xn dx∫

למשל:
4x10 = 4 ∫x10 dx = 4x11 / 11∫

שימו לב שזו לא חובה להוציא את המספר מחוץ לאינטגרל אלא רק אפשרות.

3. האינטגרל של מספר קבוע.
כאשר יש לנו אינטגרל של מספר התוצאה תהיה המספר כפול x.
אם k הוא מספר אז הנוסחה היא:

k dx = kx + c∫

למשל:
7dx = 7x + c∫
2dx = -2x + c-∫

תרגילים

תרגילים 1-6 הם תרגילים בסיסיים.
תרגילים 7-10 קשים יותר.

תרגיל 1
x5dx∫

פתרון

תרגיל 2
x dx∫

פתרון
נשתמש בעובדה ש:
x = x¹

תרגיל 3
x-4dx∫

פתרון
3- = 1 + 4 –
ולכן:

תרגיל 4

פתרון

תרגיל 5

פתרון


תרגיל 6

פתרון


תרגילים עם כל ארבעת הנוסחאות

בתרגילים הללו נוסיף גם את הנוסחאות:
אינטגרל של חיבור פונקציות
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

אינטגרל של מספר:
k dx = kx + c∫

תרגיל 7 (אינטגרל של חיבור פונקציות)

פתרון

עלינו לחשב אינטגרל לכל אחד מהביטויים בנפרד.



(הערה: במקרה כזה, אין צורך להוסיף קבוע לכל אינטגרל בנפרד, מוסיפים קבוע אחד בסוף הביטוי)

תרגיל 8 (אינטגרל של מכפלת פונקציות)

פתרון

לביטוי כזה אנו לא יודעים לבצע אינטגרציה.
לכן, ראשית נפתח סוגריים כדי לקבל פולינום:

כעת זהו פולינום ואנו יודעים לבצע אינטגרציה.




תרגיל 9

פתרון

לביטוי כזה אנו לא יודעים לבצע אינטגרציה.
לכן,ראשית נפתח סוגריים כדי לקבל פולינום:

כעת זהו פולינום ואנו יודעים לבצע אינטגרציה.
אינטגרל של חיבור פונקציות – יהיה חיבור האינטגרלים.



 

תרגיל 10

פתרון

על מנת להפוך את הביטוי לפולינום מהצורה שאנו יודעים לפתור,
נחלק את הביטוי ל-2 גורמים:

כעת אנו יודעים לבצע אינטגרציה.
אינטגרל של חיבור פונקציות – יהיה חיבור האינטגרלים.
כלומר :


אינטגרל מסוים

חשבו את האינטגרלים הבאים:

תרגיל 1

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
2x = x²∫

2.נבצע את החישוב:

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1. f(x)  = 2x
2. a = 0 , b = 2

 

תרגיל 2

פתרון

1.נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:


הערה: לצורך החישוב השתמשנו בנוסחה:

כאשר :
1. f(x)  = 3x5
2. a = 1 , b = 4

תרגיל 3

פתרון

1. נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:

הערה: לצורך החישוב השתמשנו בנוסחה:

כאשר :
1.   f(x)  = x4 + 2x5
2.    a = -2 , b = 1

תרגיל 4


פתרון

חיבור המספר '2' אינו קשור לאינטגרל.
לכן "נגרור" את החיבור הנ"ל לאורך התרגיל, אבל נבצע את החיבור לאחר פתרון האינטגרל,
ולאחר החיבור נקבל את התוצאה הדרושה.

1. נמצא את האינטגרל:

2. נבצע את החישוב:
(חשוב לזכור "לגרור" את החיבור של המספר '2' מחוץ לאינטגרל)



הערה: בפתרון השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1.   f(x)  = x4
2.    a = -3 , b = -1

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.