אינטגרל פולינום

בדף זה:

  1. כיצד לחשב אינטגרל של פולינום בצורה קלה.
  2. 13 תרגילים.

הדף מיועד לתלמידי 3,4,5 יחידות לימוד אשר הם בתחילת לימוד נושא האינטגרל.

לאחר דף זה:

  1. אינטגרל מסוים.
  2. אינטגרל פולינום חישוב שטחים.

בנוסף בדף אינטגרלים תוכלו ללמוד על אינטגרלים מסוגים נוספים, אינטגרלים שאינם פולינום.

כיצד לחשב בצורה קלה אינטגרל של פולינום

אינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.
אם נגזור את תוצאת האינטגרל אנו צריכים לקבל את הפונקציה שנתנו לנו לגזור.
עובדה זו צריכה לעזור לנו לחשב את האינטגרל ולבדוק שהגענו לתשובה הנכונה.

אינטגרל של פולינום זה דבר שכולם צריכים לדעת.
בדף זה נלמד כיצד לעשות זאת בעזרת ההיגיון ובקלות.
חילקתי את הלימוד לחלקים הבאים:

  1. נוסחה ודוגמאות.
  2. שני מכשולים בסיסיים.
  3. קיצורי דרך.
  4. כיצד לחשב אינטגרל למספר ול x.
  5. מה זה dx, c.

1.נוסחה ודוגמאות

חישוב אינטגרל של פולינום יכולה להיות פעולה קלה אם עושים אותה בסדר הנכון.

נזכיר את נוסחת נגזרת פולינום:
f(x)=xn.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nxn-1.

נוסחת האינטגרל של פולינום:

אני באופן אישי לא זוכר או מבצע את האינטגרל על פי הנוסחה אלא בעזרת ההיגיון.
וכך אנסה ללמד כאן בדף.
צורת הכתיבה של פתרון בעזרת נוסחה או ההיגיון היא צורת כתיבה זהה.

דוגמאות

דוגמה 1
x4 dx ∫

פתרון
אינטגרל היא הפעולה ההפוכה לנגזרת.
על מנת לקבל x4 כאשר נגזור אנו צריכים x5
לכן אנו כבר יודעים:
x4 dx ⇒ x5

אבל אם נגזור את x5 נקבל 5x4.
יש לנו כאן מקדם 5 שהוא מיותר.
לכן נחלק את האינטגרל ב 5 ונקבל את התשובה.

דוגמה 2
x7 dx ∫

פתרון
אנו רוצים שיהיה x8 בתשובה על מנת שכאשר נגזור את התשובה נקבל x7.
x7 dx ⇒ x8

אבל אם נגזור את x8 נקבל 8x7 ולכן נחלק ב 8 את התשובה.

3. שני מכשולים בסיסיים

1.כאשר יש מספר בתוך האינטגרל.
6x³ dx ∫

במקרה זה אנו יכולים להוציא את המספר מחוץ לאינטגרל כך:
6x³ dx = 6* ∫x³ dx∫

עכשיו אנו יכולים לחשב את האינטגרל כמו שלמדנו ולהכפיל אותו פי 6.
הוצאת ה 6 מחוץ לאינטגרל:

חישוב האינטגרל והכפלה פי 6:

דוגמה 2: כאשר המספר שבתוך האינטגרל הוא שבר

לפעולה של הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל יש כלל המנוסח כך:
k *xn dx = k * ∫ xn dx∫

2. כאשר באינטגרל יש מספר איברים
המכשול השני הוא כאשר האינטגרל כולל מספר איברים. למשל:

במקרה זה נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים שונים

נחשב כל אחד מיהם בנפרד ונחבר:

**חשוב: איברים שניתן לפצל הם רק איברים המופרדים בחיבור או חיסור.

הכלל של פיצול האינטגרלים נכתב בשפה מתמטית כך:
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫
(אם יש לנו אינטגרל הכולל בתוכו שתיים או יותר פונקציות ניתן לחשב אינטגרל לכל פונקציה בנפרד ואז לחבר).

4. קיצורי דרך

למעלה למדנו להשתמש בכללים:
k *xn dx = k * ∫ xn dx∫
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

אבל השימוש בכללים הללו לוקח זמן.
לכן כאשר צוברים מיומנות וידע רבים מפסיקים לכתוב את הכתיבה המלאה של הכללים ומחשבים את האינטגרל כך:

לא מוצאים החוצה מספר הנמצא בתוך האינטגרל:

לא מפצלים אינטגרל לכמה חלקים:

5.כללי אינטגרציה נוספים שצריך לדעת

יחד עם הפולינום (חזקה) תצטרכו לעשות אינטגרל למספר וגם ל x בחזקת אחד.

אינטגרל למספר
4dx∫

אינטגרל למספר שווה למספר כפול x.
4dx = 4x + c∫

הסיבה לכך היא שכאשר נגזור את 4x נקבל 4.
f (x ) = 4x
f ' (x) = 4

דוגמה נוספת:
2dx = -2x + c-∫

אינטגרל ל x
ניתן לכתוב את השוויון:
x = x¹
ואז לחשב את האינטגרל של x כאלו היה פולינום ועל פי הנוסחה

התשובה תהיה:

דוגמה נוספת הכוללת גם הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל:

פתרון
נוציא את המספר 4- מחוץ לאינטגרל ונחשב כמו שלמדנו.

5. מה זה dx ומה זה c+ ?

במהלך חישוב האינטגרל אנו רושמים את הביטויים dx, c מה המשמעות של הביטויים הללו?

dx
הסימון dx נועד לסמן לנו מהוא המשתנה שעל פיו עלינו לחשב את האינטגרל.
אנחנו עוד נתקלנו בהם אבל יש אינטגרלים הכוללים משתנה ופרמטר. למשל:

a² *x³ dx∫
איך נדע אם המשתנה הוא x או a?
ה dx מסמן לנו את זה ואומר שהמשתנה הוא x.

ובמילים: dx אומר שעושים אינטגרל על פי המשתנה x.

מה זה c ולמה מוסיפים אותו?
c הוא פרמטר המייצג מספר כלשהו.

למה מוסיפים אותו?
את האינטגרל הזה אנו יודעים לחשב:

ומכוון שאינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת אם נגזור את x³ נקבל 3x².
אבל גם גזירה של כל הפונקציות הבאות תתן 3x²:
f (x) = x³ + 1
f (x) = x³ – 4
f (x) = x³ + 3
f (x) = x³ + k

וזה בדיוק מה שה c בה לסמן:
שאנו יכולים להוסיף לפונקציה כל מספר שנרצה והאינטגרל יישאר נכון.
מבחינה מתמטית הדבר נובע מכך שנגזרת של מספר היא 0.

תרגילים

אינטגרל שניתן לחשב מיד

אינטגרל עם מספר ומשתנה

פיצול של האינטגרל למספר אינטגרלים

f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

כולל כפל, חילוק ופרמטרים בתוך האינטגרל

פתרונות

תרגיל 1
x5dx∫

פתרון

תרגיל 2
x dx∫

פתרון
נשתמש בעובדה ש:
x = x¹

תרגיל 3
x-4dx∫

פתרון
3- = 1 + 4 –
ולכן:

תרגילים עם הוצאת מספר

תרגיל 4

פתרון
נוציא את המספר 5 מחוץ לאינטגרל

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 5

פתרון
נוציא את המספר 6 מחוץ לאינטגרל

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 6 (הוצאת שבר)

פתרון
נוציא את השבר 2/3 מחוץ לאינטגרל.

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 7 (חזקה שלילית)

פתרון
נוציא את המספר 2 מחוץ לאינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

תרגילים עם מספר איברים באינטגרל

בתרגילים הללו נוסיף גם את הנוסחה:
אינטגרל של חיבור פונקציות
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

תרגיל 8 

פתרון
נפצל את האינטגרל לשניים:

נחשב כל אינטגרל בנפרד ונחבר את התוצאה

(הערה: במקרה כזה, אין צורך להוסיף קבוע (c) לכל אינטגרל בנפרד, מוסיפים קבוע אחד בסוף הביטוי)

תרגיל 9

פתרון
נפצל את התרגיל ל- 3 אינטגרלים:

נחשב כל אינטגרל בנפרד ונחבר:

אינטגרלים עם כפל / חילוק / פרמטר

תרגיל 10

פתרון
נבצע את הכפל ונכנס איברים:

נפצל את האינטגרל ל- 3 אינטגרלים:

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 11

פתרון
לביטוי כזה אנו לא יודעים לבצע אינטגרציה.
לכן,ראשית נפתח סוגריים כדי לקבל פולינום:

נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים:

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 12

פתרון
על מנת להפוך את הביטוי לפולינום מהצורה שאנו יודעים לפתור,
נחלק את הביטוי ל-2 גורמים:

כעת אנו יודעים לבצע אינטגרציה, נחלק את האינטגרל לשני חלקים.
:

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 13

פתרון
נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים.

נחשב את האינטגרל:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.