אינטגרל פולינום

אינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.
כאשר אנו מבצעים אינטגרציה לפונקציה, אנו בעצם מוצאים את "הפונקציה הקדומה" שלה.
אם נגזור את תוצאת האינטגרל אנו צריכים לקבל את הפונקציה שנתנו לנו לגזור.

הדף מיועד לתלמידי 3,4,5 יחידות לימוד אשר הם בתחילת לימוד נושא האינטגרל.

בדף זה נלמד:

  1. 4 נוסחאות שאתם צריכים לדעת.
  2. תרגילים בחישוב אינטגרל.
  3. תרגילים בחישוב אינטגרל מסוים.

לאחר שתסיימו כאן עליכם לדעת לחשב לחשב שטחים בעזרת אינטגרל.
את זה תוכלו ללמוד בדף אינטגרל פולינום חישוב שטחים.
בנוסף בדף אינטגרלים תוכלו ללמוד על אינטגרלים מסוגים נוספים, אינטגרלים שאינם פולינום.

4 נוסחאות שאתם צריכים לדעת על מנת לחשב אינטגרל של פולינום

1.הנוסחה לאינטגרל של פולינום.

למשל:
x4 dx = (x5 / 5 ) + c∫

2. הנוסחה להכפלה של פונקציה במספר קבוע
כאשר הפונקציה מוכפלת במספר כלשהו, נבצע אינטגרל לפונקציה ונכפיל באות מספר.

k *xn dx = k * ∫ xn dx∫

למשל:
4x10 = 4 ∫x10 dx = 4x11 / 11∫

3. אינטגרל של חיבור פונקציות
כאשר יש אינטגרל של שתי פונקציות אנו נבצע אינטגרל לכל אחד מהפונקציות בנפרד ובסיום נחבר בין האינטגרלים.

f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

למשל:
(x3 + 4x2 dx  = ∫x3 dx + ∫ 4x² dx = (x4 / 4) + (4x3 / 3∫

4. האינטגרל של מספר קבוע.
כאשר יש לנו אינטגרל של מספר התוצאה תהיה המספר כפול x.
אם k הוא מספר אז הנוסחה היא:

k dx = kx + c∫

למשל:
7dx = 7x + c∫
2dx = -2x + c-∫

תרגילים

תרגילים 1-3 הם שימוש בנוסחה הראשונה:

תרגיל 1
x5dx∫

פתרון

תרגיל 2
x dx∫

פתרון
נשתמש בעובדה ש:
x = x¹

תרגיל 3
x-4dx∫

פתרון
5 – = 1 – 4 –
ולכן:

תרגילים עם שימוש בנוסחה השנייה

בתרגילים 4-5 הללו נשתמש בנוסחה של:
k *xn dx = k * ∫ xn dx∫

וכמובן גם בנוסחה הראשונה שלמדנו.

תרגיל 4

פתרון

תרגיל 5

פתרון


תרגיל 6

פתרון


תרגילים עם כל ארבעת הנוסחאות

בתרגילים הללו נוסיף גם את הנוסחאות:
אינטגרל של חיבור פונקציות
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

אינטגרל של מספר:
k dx = kx + c∫

כמו כן נתמודד עם אינטגרלים

תרגיל 7 (אינטגרל של חיבור פונקציות)

פתרון

עלינו לחשב אינטגרל לכל אחד מהביטויים בנפרד.



(הערה: במקרה כזה, אין צורך להוסיף קבוע לכל אינטגרל בנפרד, מוסיפים קבוע אחד בסוף הביטוי)

תרגיל 8 (אינטגרל של מכפלת פונקציות)

פתרון

לביטוי כזה אנו לא יודעים לבצע אינטגרציה.
לכן, ראשית נפתח סוגריים כדי לקבל פולינום:

כעת זהו פולינום ואנו יודעים לבצע אינטגרציה.




תרגיל 9

פתרון

לביטוי כזה אנו לא יודעים לבצע אינטגרציה.
לכן,ראשית נפתח סוגריים כדי לקבל פולינום:

כעת זהו פולינום ואנו יודעים לבצע אינטגרציה.
אינטגרל של חיבור פונקציות – יהיה חיבור האינטגרלים.



 

תרגיל 10

פתרון

על מנת להפוך את הביטוי לפולינום מהצורה שאנו יודעים לפתור,
נחלק את הביטוי ל-2 גורמים:

כעת אנו יודעים לבצע אינטגרציה.
אינטגרל של חיבור פונקציות – יהיה חיבור האינטגרלים.
כלומר :


אינטגרל מסוים

חשבו את האינטגרלים הבאים:

תרגיל 1

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
2x = x²∫

2.נבצע את החישוב:

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1. f(x)  = 2x
2. a = 0 , b = 2

 

תרגיל 2

פתרון

1.נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:


הערה: לצורך החישוב השתמשנו בנוסחה:

כאשר :
1. f(x)  = 3x5
2. a = 1 , b = 4

תרגיל 3

פתרון

1. נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:

הערה: לצורך החישוב השתמשנו בנוסחה:

כאשר :
1.   f(x)  = x4 + 2x5
2.    a = -2 , b = 1

תרגיל 4


פתרון

חיבור המספר '2' אינו קשור לאינטגרל.
לכן "נגרור" את החיבור הנ"ל לאורך התרגיל, אבל נבצע את החיבור לאחר פתרון האינטגרל,
ולאחר החיבור נקבל את התוצאה הדרושה.

1. נמצא את האינטגרל:

2. נבצע את החישוב:
(חשוב לזכור "לגרור" את החיבור של המספר '2' מחוץ לאינטגרל)



הערה: בפתרון השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1.   f(x)  = x4
2.    a = -3 , b = -1

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.