מציאת משיק פונקציה מעריכית

בדף זה נפתור שני תרגילים בנושא מציאת משיק לפונקציה מעריכית.

כיצד מוצאים משוואת משיק

מציאת משוואת משיק מבוססת על כך ששיפוע הפונקציה בנקודות ההשקה שווה לשיפוע המשיק.

אפשרות אחת
אם בשאלה נתון לנו ערך ה x או ה y בנקודת ההשקה:

  1. נמצא את נקודת ההשקה על ידי הצבה הערך הידוע (x או y) בפונקציה.
  2. נמצא את שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה, שהוא גם שיפוע המשיק, על ידי הצבת ערך ה- x בנגזרת.
  3. נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

דוגמה לשאלה מסוג זה היא שאלה מספר 1.

אפשרות שנייה
אם בשאלה נתון לנו שיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה.

  1. מוצאים באיזו נקודה ערך הנגזרת שווה לשיפוע שנתנו לנו.
  2. יש לנו את השיפוע ונקודה דרכה עובר המשיק. מוצאים את משוואת המשיק.

דוגמה לשאלה מסוג זה היא שאלה מספר 2.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = ex – 12  כאשר x = 0.

פתרון

נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
כלומר:  (m = f ' (0.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = ex
נציב את  x = 0 בנגזרת הפונקציה:
f ' (0 ) = e0 = 1
לכן : m = 1

על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב x = 0 בפונקציה :
f(0) = e – 12 = 1 – 12 = -11
לכן נקודת ההשקה היא :   (x,y) = (0 , -11)

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y – y0 = m*(x – x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – (-11) = 1*(x – 0
y + 11 = x
y = x – 11

תרגיל 2

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = e3x ששיפועו 3.

פתרון:

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 3, לכן נפתור את המשוואה : f ' (x) = 3.
f ' (x) = 3e3x
לכן המשוואה היא:
3e3x = 3
נחלק ב-3, ונקבל:
e3x = 1
e0 = 1 , לכן:
3x = 0
x = 0

מצאנו את ערך ה-x המקיים את המשוואה שלנו – כלומר ערך ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא את ערך ה-y נציב x = 0 בפונקציה:
f(0) = e0 = 1
לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) = (0 , 1).

השיפוע נתון לנו בשאלה : m = 3

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y – y0 = m*(x – x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 3*(x – 0
y  – 1 = 3x
y = 3x + 1

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.