בדף זה נלמד:
- סרטון הסבר.
- מהי פונקציה זוגית? כיצד נזהה גרף של פונקציה זוגית וכיצד נוכיח שפונקציה היא זוגית.
- תרגילים: זיהוי של פונקציה זוגית בגרף.
- תרגילים: הוכחה אלגברית שפונקציה היא זוגית.
- הוכחה ששילוב של פונקציות הוא פונקציה זוגית.
- כיצד פונקציה זוגית תורמת לנו כאשר אנו חוקרים פונקציות.
- בנוסף באתר תוכלו ללמוד על פונקציה אי זוגית.
1.סרטון הסבר
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
2.מהי פונקציה זוגית?
הסבר במילים:
פונקציה זוגית היא פונקציה סימטרית ביחס לציר y.
"סימטריות ביחס לציר ה y" מתבטאת בכך שכאשר מקפלים את הגרף בדיוק בציר ה y הגרף של החצי מימין יהיה על הגרף מהצד השמאלי.
ציר ה y הוא "מראה" שמשני הצדדים שלו אנו רואים את אותו דבר.
הוכחה מתמטית
פונקציה זוגית היא פונקציה המקיימת:
(f(x) = f(-x, לכל x בתחום הגדרתה.
לכן אם יש לנו את משוואת הפונקציה נוכיח ש (f(x) = f(-x על ידי הצבה x =a וגם x = -a במשוואת הפונקציה.
אם נקבל
(f(a) = f(-a
אז הפונקציה זוגית.
לדוגמה:
נוכיח כי f (x) = x4 היא פונקציה זוגית.
נציב x = a
f (a) = a4
נציב x = -a
f (-a) = (-a)4 = a4
קיבלנו ש:
(f (a) = f (-a
ולכן זו פונקציה זוגית.
דוגמאות לגרפים של פונקציות זוגיות
f(x) = x2
ניתן לראות ש f(x) = x² סימטרית כלפי ציר ה y.
|f(x) = -|x (מינוס הערך המוחלט של x)
ניתן לראות שהפונקציה |f(x) = -|x סימטרית כלפי ציר ה y.
f(x) = 4 (כל פונקציה קבועה היא פונקציה זוגית)
ניתן לראות שהפונקציה f(x) = 4 סימטרית כלפי ציר ה y.
3.תרגילים: זיהוי פונקציה זוגית בעזרת גרף
תרגיל 1
התבוננו בגרף הבא וקבעו אם הגרף מתאר פונקציה זוגית או לא.
תרגיל 2
התבוננו בגרף הבא וקבעו אם הגרף מתאר פונקציה זוגית או לא.
תרגיל 3
התבוננו בגרף הבא וקבעו אם הגרף מתאר פונקציה זוגית או לא.
לא פונקציה זוגית
נימוק:
ניתן לראות שהגרף לא סימטרי משני הצדדים של ציר ה Y.
לדוגמה, הנקודה (2,1) נמצאת על הגרף אך הנקודה (1, 2-) לא נמצאת על הגרף.
דוגמה 4
התבוננו בגרף הבא וקבעו אם הגרף מתאר פונקציה זוגית או לא.
4.תרגילים: הוכחה מתמטית שפונקציה היא זוגית
קבעו עבור כל אחת מהפונקציות הבאות, האם היא זוגית או לא.
תרגיל 1
f(x) = x3
הוכיחו כי הפונקציה זוגית.
תרגיל 2
(f(x) = cos(x
הוכיחו כי הפונקציה זוגית.
תרגיל 3
f(x) = 2x + 5
הוכיחו כי הפונקציה זוגית.
תרגיל 4
(f(x) = sin(x
הוכיחו כי הפונקציה זוגית.
תרגיל 5
f(x) = -3
הוכיחו כי הפונקציה זוגית.
תרגיל 6
f(x) = x4 - 1
הוכיחו כי הפונקציה זוגית.
5.הוכחה ששילוב של פונקציות הוא פונקציה זוגית
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
6.כיצד פונקציה זוגית תורמת לנו כאשר אנו חוקרים את הפונקציה?
כפי שכבר ראינו , פונקציה זוגית היא פונקציה סימטרית ביחס לציר y.
לכן, אם מצאנו מידע כלשהו לגבי הפונקציה מצד אחד של ציר y , אותו מידע בדיוק תקף גם לצד השני.
דוגמאות:
- (f(x) = cos(x
נניח כי מצאנו 2 נקודות קיצון :
- מקסימום : x = 2π
- מינימום : x = π
מכיוון ש cosx היא פונקציה זוגית ,
נוכל ישר להסיק כי ישנה עוד נקודת מקסימום ב - x = -2π ,
ועוד נקודת מינימום ב - x = -π
2. f(x) = 2x2 - x4
נניח כי מצאנו נקודת מקסימום עבור x = 1 ,
ונקודת חיתוך עם ציר x עבור x = √2
מכיוון שהפונקציה הנ"ל זוגית , נוכל ישר להסיק:
* קיימת נקודת מקסימום עבור x = -1.
* יש נקודת חיתוך עם ציר x עבור x = -√2.
7.תרגילים בנושא חקירת פונקציות זוגיות
בחלק זה שני תרגילים.
כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.
תודה רבה זה ממש מובן
מעולה שכך.
תודה על ההסבר המפורט!
בכיף
היי, אני לא ממש הבנתי את ההפיכה בדוגמה הראשונה, איך מ-a הוא נהפך לa? אני מבינה שa⁴- נהפך לa⁴ כי זו חזקה זוגית אבל איך הa השני התחלף לחיובי? תודה מראש
שלום
יש כאן הרבה דוגמאות.
כדי שאבין על איזו דוגמה מדובר נא לציין את המספר של ראש הפרק וכמה מילים הכתובות בדוגמה.