פונקציה מעריכית

בדף זה נלמד לחקור פונקציות מעריכיות, אלו פונקציות חזקה שהבסיס שלה הוא e.

מידע על המספר e

כמה מילים על המספר e – למרות שזה לא חלק מהבחינה:

  • ערכו של e הוא בקירוב  2.71828.
  • מגיעים אל המספר e על ידי

(1 + 1/n^(n

כאשר n שואף לאינסוף.

תחום הגדרה

הפונקציה ex מוגדרת לכל X.
שימו לב שכאשר eמופיעה במכנה יתכן והפונקציה לא תהיה מוגדרת. למשל:

כאשר המכנה הוא (e^x-1)

המכנה הוא e-1
e-1 =0
ex=1
x=0
הפונקציה הזו אינה מגודרת כאשר X=0.

גזירת פונקציות מעריכיות

כללי גזירה של פונקציות מעריכיות:

ייחודיות הפונקציה e, היא שנגזרתה זהה לפונקציה המקורית.
כלומר, הנגזרת של ex  היא  ex.

*אבל, יש לשים לב : כאשר מופיעה פונקציה של x בחזקה, יהיה עלינו לגזור את הפונקציה כפונקציה מורכבת.
נשתמש בנוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :

ונקבל:
(ef(x) )' = ef(x)f ' (x)
כאשר (f(x תהיה פונקצית e (האקספוננט),
ו – (g(x תהיה הפונקציה שנמצאת בחזקה.
נראה דוגמאות בתרגילים.

*הערה : במידה ול – e תהיה חזקה שאינה פונקציה של x (כלומר מספר קבוע כלשהו), נתייחס לביטוי כאל ביטוי קבוע.

דוגמאות לגזירת פונקציה מעריכית:

  1. x ex)' = 1*ex + ex * x)  – גזירה זו נעשתה על פי כלל גזירת מכפלה.
  2. e2x)' = e2x * 2)  – גזירה זו גזירה זו נעשתה על על פי גזירה של פונקציה מורכבת.
  3. (ex³ + x)' = ex³ + x * (3x²+1)  – גזירה זו גזירה זו נעשתה על על פי גזירה של פונקציה מורכבת.
  4. 3x e-x) ' = 3e-x  – e-x*3x)    – גזירה זו נעשתה על פי כלל המכפלה ועל פי גזירת פונקציה מורכבת.

מציאת משיק פונקציה מעריכית

שלבי מציאת המשיק הם:

  1. גוזרים ומוצאים את ערך הנגזרת בנקודה.
  2. מוצאים את ערך הנקודה עצמה (על ידי הצבת ערך x או y) בפונקציה.
  3. מוצאים משוואת משיק על פי שיפוע ונקודה.

פתרונות מקוצרים לתרגילים:

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = ex – 12  כאשר x = 0.

פתרון מקוצר

  • נגזור ונמצא את ערך הנגזרת ב x= 0. נקבל m = 1.
  • נמצא את נקודת ההשקה על ידי הצבה x = 0 במשוואת הפונקציה. נקבל (11- , 0)
  • אנו יודעים את שיפוע המשיק ונקודת השקה. נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

תרגיל 2
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = e3x ששיפועו 3.

פתרון מקוצר

  • נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל- 3. כך נמצא את ערך ה x וערך ה y בנקודת ההשקה.
  • יש לנו נקודה דרכה עובר המשיק (נקודת ההשקה) ושיפוע הנתון בשאלה. נמצא את משוואת המשיק בעזרת שיפוע ונקודה.

אסימפטוטות

 

*תכונות האקספוננט ( פונקציית e):
כאשר x שואף לאינסוף – ex גם שואף לאינסוף.
כאשר x שואף למינוס אינסוף – ex שואף לאפס.
נציין כי  e היא פונקציה חיובית לכל ערך של x.

תרגיל 1:

פתרון

אסימפטוטה אנכית: תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר x שואף ל – 0.

  1. כאשר x שואף ל- 0 אז ex שואף ל- 1  (מכיוון ש e0 = 1)
  2. במקרה הזה מכנה שואף ל- 0. כי הביטוי במכנה הוא בקירוב 1 – 1/
  3. המונה הוא מספר שלילי קבוע. לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף.
    לכן אסימפטוטה אנכית היא הישר x = 0.
3 שלבים להסבר מדוע x= 0 הוא אסימפטוטה

3 שלבים להסבר מדוע x= 0 הוא אסימפטוטה

אסימפטוטות אופקיות :
אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
עבור x שואף לאינסוף : ex גם תשאף לאינסוף. מכיוון שהמונה היא מספר קבוע, הפונקציה תשאף ל – 0.

כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת ל- 0

כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת ל- 0

עבור x שואף למינוס אינסוף
-עבור x שואף למינוס אינסוף : ex תשאף ל – 0.
לכן המכנה ישאף ל 1-.
המונה 5-.
 שווה ל- 5.

לכן אסימפטוטות אופקיות יהיו הישרים:
y = 0 (עבור x שואף לאינסוף)
y = 5 (עבור x שואף למינוס אינסוף)

חקירת מלאה של פונקציות מעריכיות

בהמשך הדף שאלות ברמת 4 יחידות.
פונקציה מעריכית 5 יחידות כולל פתרון שאלת בגרות ברמת 5 יחידות.

תרגיל 1:

פתרון:

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה מוגדרת לכל x.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.

נעביר אגף, ונבדוק עבור אילו ערכי x מתקיים .
זה מתקיים עבור x2 = 1.
כלומר עבור x = 1 או x = -1.
   לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (0 ,1) , (0 , 1-).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
f(0) = e0 – e = 1 – e
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא  .

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.

מתכונות הפונקציה e , היא חיובית (כלומר שונה מ -0) לכל x.
לכן, המשוואה תתקיים רק אם 2x = 0 , כלומר x = 0.
לכן הנקודה x = 0 היא חשודה לקיצון.
כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים :
א. x < 0
ב. x > 0
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן : נקודת מינימום : 

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
פונקציה זו שואפת לאינסוף רק אם x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
לכן אין אסימפטוטות אנכיות.
ב. אופקיות
:אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסויים כאשר x שואף לאינסוף
(או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו  , כאשר x שואף לאינסוף, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

תרגיל 2:

פתרון:

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה מוגדרת לכל x ששונה מ – 0 .
    נקודת אי – ההגדרה היא x = 0.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
מכיוון ש – ex שונה מ – 0 לכל x , הפונקציה שונה מ – 0 לכל x.
   לכן אין נקודות חיתוך עם ציר x.
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
אבל, הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.


המשוואה תתקיים אם המונה שווה ל – 0.
2x * ex – 2e =  0
2x * ex  =  2ex
מתכונות הפונקציה e , היא חיובית (כלומר שונה מ -0) לכל x.
לכן נוכל לחלק את המשוואה ב – ex.
נקבל:
2x = 2
x = 1 
לכן הנקודה x = 1 היא חשודה לקיצון.
כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים :
א. x < 1
ב. x > 1
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן : נקודת מינימום : 

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
כאשר x שואף ל – 0 , המכנה שואף ל – 0 , והמונה שואף ל -1.
לכן כאשר x שואף ל – 0 , הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן הישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית.
ב. אופקיות
:אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסויים כאשר x שואף לאינסוף
(או מינוס אינסוף).
-כאשר x שואף לאינסוף , הפונקציה שואפת לאינסוף.
-כאשר x שואף למינוס אינסוף , המונה שואף ל – 0 , המכנה שואף למינוס אינסוף.
לכן כאשר x שואף למינוס אינסוף , הפונקציה שואפת ל – 0.
לכן הישר y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית. (עבור מינוס אינסוף).

עוד באתר:

פתרונות של תרגילים מהבגרות

מצורפים הצעות לפתרון תרגילים בחקירת פונקציות מעריכיות משאלון 482 (לשעבר 805).

קיץ 2018 שאלה 4

חקרו את הפונקציה

א. תחום הגדרה:
הפונקציה מוגדרת לכל x.

ב.
נתון – שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (x = ln(3 הוא 6.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה. לכן:
f ' (ln(3)) = 6

כעת נמצא את הנגזרת של הפונקציה, ונציב בה את הנתון על מנת למצוא את a.
f ' (x) = a*ex + 9e-x
נציב:
a*eln(3) + 9e-ln(3) = 6
חוקי לוגריתמים :
1. elnx = x
2. (lnx = ln(1/x-
לכן:
3a + 3 = 6
3a = 3
a = 1

ג.
1. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x : נפתור את המשוואה f(x) = 0.
ex – 9e-x = 0
ex = 9e-x
נכפול ב – ex:
e2x = 9
(2x = ln(9
(x = 0.5*ln(9
לפי חוקי לוגריתמים, מתקיים:
(x = ln(3

ציר y:
נציב x = 0 בפונקציה:
f(0) = e0 – 9e0 = 1 – 9 = -8

תשובה:
ציר x :
( 0, (ln(3 )
ציר y:
(8- , 0)

2. תחומי עלייה וירידה:
ראשית נבדוק האם יש לפונקציה נקודות קיצון:
f ' (x) = ex + 9e-x = 0
ex = -9e-x
נכפול ב- ex:
e2x = -9    –   אין למשוואה פתרון – פונקציית e לעולם אינה שלילית.

לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

נשים לב כי נגזרת הפונקציה תמיד חיובית, ולכן הפונקציה עולה לכל x.

3. סקיצה:

ד.

השטח המוגבל נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

נשים לב כי השטח הדרוש נמצא מתחת לציר x, ולכן קיבלנו מספר שלילי.
שטח הוא תמיד מספר חיובי, ולכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח המוגבל שווה ל –  יחידות ריבועיות.

 

חורף 2018 שאלה 4

חקרו את הפונקציה

א.
1. תחום ההגדרה:
בפונקציה זו אין x עבורו הפונקציה אינה מוגדרת.
לכן תחום ההגדרה הוא לכל x.

2. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x: נפתור את המשוואה f(x) = 0.
42x – 4x – 2 = 0
על מנת לפתור את המשוואה, נציב 4x = t.
נקבל:
t2 – t – 2 = 0t – 2) * (t + 1) = 0)
t1 = 2 , t2 = -1
נחזור למשתנה המקורי, x :
– עבור t1:
4x = 2
x1 = 0.5 (חזקת חצי היא בעצם שורש ריבועי, וכידוע, השורש הריבועי של 4 הוא 2)
– עבור t2:
4x = -1
אין פתרון – מכיוון שאף חזקה של המספר 4 לא תניב לנו מספר שלילי.

ציר y:
נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
f(0) = 40 – 40 – 2
f(0) = 1 – 1 – 2
f(0) = -2

לכן, נקודות החיתוך:
ציר x :

(0 , 0.5)
ציר y:
(2- , 0)

3. נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0.
תזכורת – נגזרת של פונקציה מעריכית:
(ax) ' = ax * ln(a)

f ' (x) = 42x * ln(4)*2  –  4x * ln(4) = 0
נחלק ב – (ln(4 :
42x *2 – 4x = 0
נחלק ב – 4x (שונה מ – 0 לכל x) :
4x *2 – 1 = 0
4x = 1/2
(x = log4 (1/2
x = -0.5

נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת טבלה:

תשובה:
נקודת מינימום: (2.25- , 0.5-)

 

ב. (g(x) = -2*f(x
לפונקציה (g(x יש אסימפטוטה שמשוואתה y = 4.

1. נקודת קיצון:
אם נגזור את המשוואה הנ"ל , נקבל:
(g ' (x) = -2 * f ' (x
כלומר, יש הבדל של קבוע בין שתי הנגזרות.
לכן, שיעור ה- x של נקודת הקיצון הוא זהה בין הפונקציות: x = -0.5.
(g(x) = -2*f(x , ולכן שיעור ה – y של הנקודה יהיה מוכפל ב – 2-.
כלומר:  y = -2 * -2.25 = 4.5

ניתן לראות מהשרטוט הנתון כי זוהי נקודת מקסימום.
תשובה: נקודת מקסימום: (4.5 , 0.5-)

2. אסימפטוטה אופקית של (f(x:

האסימפטוטה האופקית של (g(x היא y = 4.
כלומר, כאשר x שואף למינוס אינסוף, הפונקציה שואפת ל – 4.
(g(x) = -2 * f(x , ולכן :
(f(x) = -0.5 * g(x

לכן, עבור (f(x , כאשר x ישאף למינוס אינסוף – הפונקציה תשאף ל :
y = 4*-0.5
y = -2

3. סקיצה של (f(x :

 

קיץ 2017
השאלה כוללת גם פרמטר.

(f (x) = a / (e2x-10ex

א. תחום הגדרה
נבדוק מתי המכנה שווה ל 0.
e2x-10ex=0
ex(ex-10)=0
ex שונה מ 0 לכול x לכן נבדוק מתי הביטוי שבתוך הסוגריים שווה ל 0.
ex-10=0
ex=10
נוציא ln לשני אגפי המשוואה.
ln ex = ln 10
x= ln 10.
תשובה: הפונקציה מוגדרת לכל x כך ש x≠ ln 10.

אסימפטוטה: כאשר x שואף ל ln 10 מכנה הפונקציה שואף ל 0 ואילו המונה הוא a שהוא מספר. לכן המנה שואפת לאינסוף או מינות אינסוף והישר x= ln 10 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

ב. מציאת a.
נציב (1/9-, 0) בפונקציה ונקבל:
(f (x) = a / (e2x-10ex
a / (e0 – 10e0)=a/(1-10)= -1/9
a/-9 = 1/-9
a=1

ג. שימו לב לרמז שניתן בשאלה עצמה " שיעורי נקודת הקיצון…" כלומר יש נקודה אחת.
(f (x) = 1 / (e2x-10ex
f ' (x) = (0 – (2e2x-10ex) *1 ) / (e2x-10ex
f ' (x) = (-2e2x+10ex)  / (e2x-10ex
המכנה מתאפס רק בנקודת אי ההגדרה לכן ניתן להתעלם ממנו ולבדוק מתי המונה שווה ל 0.
10ex-2e2x = 0  / :2
5ex– e2x = 0
ex (5-ex)=0
ex שונה מ 0 לכול x.
ex=5
ln ex = ln 5
x= ln 5 זו הנקודה החשודה כקיצון.
נמצא את ערכי הנגזרת כאשר x= ln 3, x=ln 7.
f ' (x) = (-2e2x+10ex)  / (e2x-10ex
מכנה הנגזרת תמיד חיובי לכן לא משפיע על סימן הנגזרת.
מונה הנגזרת הוא:
(ex (5-ex
הביטוי ex חיובי לכל x.
נבדוק את ערך הביטוי ex+ 5-
יש כלל לוגרתמי האומר כי:
elnx = x
לכן:
eln 7 +5 = -7+5<0-
eln 3 + 5 = 3-5>0-
כך זה נראה בטבלה:

ln 7 ln 5 ln 3
(f(x יורדת מקסימום עולה
(f ' (x 0 +

הפונקציה יורדת ב ln 7  ועולה ב ln 3 לכן ln 5 זו נקודת מקסימום.
נמצא את ערך הפונקציה ב ln 5.
(f (x) = 1 / (e2x-10ex
נשתמש בכלל הלוגרתמי elnx = x ונקבל.
f (x) = 1 / (25-50) = 1/-25 = -0.04
תשובה: הנקודה (ln5, -0.04) היא נקודת מקסימום של הפונקציה.

תחומי עליה וירידה
לפונקציה יש 3 תחומים בהם צריך לבדוק את העליה והירידה.
x> ln 10
x>ln 5 וגם x<ln 10   כבר מצאנו שהפונקציה יורדת.
x<ln 5  כבר מצאנו שהפונקציה עולה.
כאשר נציב x=ln 12 במונה הנגזרת (המכנה לא משפיע על סימן הנגזרת כי הוא חיובי תמיד) נקבל:
ln 12 + 5 = -12+5= -7-
לכן הפונקציה יורדת כאשר x> ln 10

האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה x?
על מנת שיהיו לה היא צריכה להיות שווה ל 0. בגלל שמונה הפונקציה שונה תמיד מ 0 (שווה תמיד ל 1) לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

סקיצה

סקיצה של גרף הפונקציה

סקיצה של גרף הפונקציה

ד. עלינו למצוא את התחום שבו הפונקציה שלילית (כלומר נמצאת מתחת לציר ה x) וגם יורדת.
על פי שרטוט הסקיצה ותחומי העליה והירידה שמצאנו קודם ניתן לראות כי שתי האי שוויונות מתקיימים כאשר x>ln 5 וגם x< ln10.

 חורף 2017
השאלה כוללת גם פרמטר וקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת.

הפונקציה

סעיף א
נגזרת

על פי גרף הנגזרת ניתן לראות כי כאשר x=2 הנגזרת שווה ל 0. נציב זאת:

תשובה: c=1.

סעיף ב

הפונקציה מוגדרת כאשר x≠1 – כי אז המכנה שונה מ 0.

סעיף ג
אנו יודעים כי נקודת הקיצון מתקבלת כאשר x=2.
בגרף אנו רואים כי הנגזרת יורדת בתחום

ועולה לאחר מיכן. לכן זו נקודת מינימום.
נמצא את ערך ה y כאשר x=2.

נקודת הקיצון היא מינימום ב (2,1).

סעיף ד

f(3)- f(2) = 0.5e-1
(וזו התשובה).

 קיץ 2016

F(x) = e2x +e4-2x +2
F(0) = e2*0 +e4-2*0 +2
=e2*0 +e4-2*0 +2=e0 + e4 +2
e4 +3

נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:

סעיף א חלק 2
F'(x) = 2e2x -2e4-2x
2e2x *-2e4-2x =0
2e2x =2e4-2x
2x=4-2x
4x=4
x=1

נבדוק אם זה מינימום או מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה:
F"(x) = 4e2x +4e4-2x
e בחזקת מספר כלשהו נותן תוצאה חיובית לכן ערך הנגזרת השנייה הוא חיובי וזו נקודת מינימום.

נמצא את ערך ה y כאשר x=1
F(1) = e² +e4-2 + 2 = 2e² +2
נקודת מינימום של הפונקציה היא:

סעיף א חלק שלישי
סקיצה של הפונקציה

סקיצה של הפונקציה

תשובה: k=10.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.