פונקציה מעריכית

בדף זה מידע על פונקציה מעריכית אשר בסיס החזקה שלה הוא e.

כמה מילים על המספר e – למרות שזה לא חלק מהבחינה:

  • ערכו של e הוא בקירוב  2.71828.
  • מגיעים אל המספר e על ידי

(1 + 1/n^(n

כאשר n שואף לאינסוף.

חקירת פונקציה מעריכית

תחום הגדרה

הפונקציה ex מוגדרת לכל X.
שימו לב שכאשר eמופיעה במכנה יתכן והפונקציה לא תהיה מוגדרת. למשל:

כאשר המכנה הוא (e^x-1)

המכנה הוא e-1
e-1 =0
ex=1
x=0
הפונקציה הזו אינה מגודרת כאשר X=0.

תחומי עליה וירידה

הפונקציה ex עולה לכול X.
הפונקציה e-x יורדת לכל X.

נגזרת פונקציה מעריכית

ex)' = ex)  – כלומר הנגזרת של הפונקציה שווה לפונקציה.
כאשר מעריך החזקה כולל פונקציה בעצמו גוזרים את הפונקציה כפי שגוזרים פונקציה מורכבת.
(ef(x) )' = ef(x)f ' (x)
למשל:
e2x)' = e2x * 2)
(ex³ + x)' = ex³ + x * (3x²+1)

נגזרות נוספות:
x ex)' = ex + exx)      – גזירה זו נעשתה על פי כלל גזירת מכפלה.
3x e-x) ' = 3e-x  – e-x*3x)    – גזירה זו נעשתה על פי כלל המכפלה ועל פי גזירת פונקציה מורכבת.

אסימפטוטת פונקציה מעריכית

אסימפטוטה אנכית – מהצורה x=k
ex – מוגדרת לכול X לכן אין לה אסימפטוטה אנכית.
כאשר ex הוא חלק מפונקציה שאינה מוגדרת עבור ערכים מסוימים יש לבדוק צמוד לנקודת אי ההגדרה האם ערכי הפונקציה שואפים לאינסוף / מינוס אינסוף.

אסימפטוטה אופקית – מהצורה y=k
כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה ex שואפת לאינסוף. לכן אין אסימפטוטה כאשר X שואף לאינסוף.
כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה ex שואפת ל 0. לכן הישר y=0 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.

כאשר מבצעים שינויים בפונקציה:
אם הפונקציה היא ex+3 כאשר X שואף למינוס אינסוף ערכי הפונקציה שואפים ל 3. לכן y=3 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
אם הפונקציה היא e-x אז הפונקציה שואפת ל 0 כאשר X שואף לאינסוף ולא למינוס אינסוף. ולכן y=0 היא אסימפטוטה כאשר X שואף לאינסוף.

מצאו את האסימפטוטות לפונקציות הבאות:
e4x – 3
e

פתרון
e4x – 3 – מוגדרת לכל X לכן אין לה פונקציה אנכית.
כאשר X שואף לאינסוף – ערכי הפונקציה שואפים לאינסוף לכן אין אסימפטוטה.
כאשר X שואף למינוס אינסוף – e4x שואף ל 0 וערכי הפונקציה כולה שואפים ל 3-. לכן y= – 3 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.

את שרטוט הגרף של שתי הפונקציות הללו תוכלו לראות בסוף הדף.

נקודות קיצון פונקציה מעריכית

השלבים למציאת נקודות קיצון הם:

  1. גוזרים את הפונקציה.
  2. משווים את הנגזרת ל 0 ומוצאים עבור אלו ערכי X הנגזרת שווה ל 0.
  3. בודקים על ידי נגזרת שנייה אם אלו נקודות מינימום או מקסימום. כאשר הנגזרת השנייה חיובית – זה מינימום. כאשר שלילית – זה מקסימום.
    אפשרות אחרת לבדיקה היא בסביבת הנקודה. אם הפונקציה יורדת ואז עולה זו נקודת מינימום. אם הפונקציה עולה ואז יורדת זה מקסימום.

דוגמאות למציאת נקודות קיצון יש בתרגילים הפתורים מתוך הבגרות בדף זה.

גרפים של פונקציה מערכית

דוגמאות לגרפים של פונקציות מעריכיות

גרפים של פונקציות מעריכיות

עוד באתר:

טיפ

בבגרות של קיץ 2017 בסעיף ג ביקשו לשרטט סקיצה של גרף הפונקציה ובסעיף ד ביקשו למצוא את התחום שבו:
f (x)<0 וגם  f ' (x) >0.
הדרך "הסטנדרטית" היא לפתור שני אי שוויונות.
הדרך הקלה יותר והקצרה יותר היא להסתכל על הגרף ולמצוא את התחום שבו הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה x (כלומר f (x)<0) וגם הפונקציה יורדת (כלומר f ' (x) >0).
בגרף תראו ששני התנאים מתקיימים כאשר  כאשר x>ln 5 וגם x< ln10 וזו התשובה.

טיפ זה שימושי בחקירה של כל סוג פונקציה.

סקיצה של גרף הפונקציה

סקיצה של גרף הפונקציה

תרגילים מהבגרות

מצורפים הצעות לפתרון תרגילים בחקירת פונקציות מעריכיות משאלון 482 (לשעבר 805). את שאלוני הבגרות עצמם ניתן למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2017
השאלה כוללת גם פרמטר.

(f (x) = a / (e2x-10ex

א. תחום הגדרה
נבדוק מתי המכנה שווה ל 0.
e2x-10ex=0
ex(ex-10)=0
ex שונה מ 0 לכול x לכן נבדוק מתי הביטוי שבתוך הסוגריים שווה ל 0.
ex-10=0
ex=10
נוציא ln לשני אגפי המשוואה.
ln ex = ln 10
x= ln 10.
תשובה: הפונקציה מוגדרת לכל x כך ש x≠ ln 10.

אסימפטוטה: כאשר x שואף ל ln 10 מכנה הפונקציה שואף ל 0 ואילו המונה הוא a שהוא מספר. לכן המנה שואפת לאינסוף או מינות אינסוף והישר x= ln 10 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

ב. מציאת a.
נציב (1/9-, 0) בפונקציה ונקבל:
(f (x) = a / (e2x-10ex
a / (e0 – 10e0)=a/(1-10)= -1/9
a/-9 = 1/-9
a=1

ג. שימו לב לרמז שניתן בשאלה עצמה " שיעורי נקודת הקיצון…" כלומר יש נקודה אחת.
(f (x) = 1 / (e2x-10ex
f ' (x) = (0 – (2e2x-10ex) *1 ) / (e2x-10ex
f ' (x) = (-2e2x+10ex)  / (e2x-10ex
המכנה מתאפס רק בנקודת אי ההגדרה לכן ניתן להתעלם ממנו ולבדוק מתי המונה שווה ל 0.
10ex-2e2x = 0  / :2
5ex– e2x = 0
ex (5-ex)=0
ex שונה מ 0 לכול x.
ex=5
ln ex = ln 5
x= ln 5 זו הנקודה החשודה כקיצון.
נמצא את ערכי הנגזרת כאשר x= ln 3, x=ln 7.
f ' (x) = (-2e2x+10ex)  / (e2x-10ex
מכנה הנגזרת תמיד חיובי לכן לא משפיע על סימן הנגזרת.
מונה הנגזרת הוא:
(ex (5-ex
הביטוי ex חיובי לכל x.
נבדוק את ערך הביטוי ex+ 5-
יש כלל לוגרתמי האומר כי:
elnx = x
לכן:
eln 7 +5 = -7+5<0-
eln 3 + 5 = 3-5>0-
כך זה נראה בטבלה:

ln 7 ln 5 ln 3
(f(x יורדת מקסימום עולה
(f ' (x 0 +

הפונקציה יורדת ב ln 7  ועולה ב ln 3 לכן ln 5 זו נקודת מקסימום.
נמצא את ערך הפונקציה ב ln 5.
(f (x) = 1 / (e2x-10ex
נשתמש בכלל הלוגרתמי elnx = x ונקבל.
f (x) = 1 / (25-50) = 1/-25 = -0.04
תשובה: הנקודה (ln5, -0.04) היא נקודת מקסימום של הפונקציה.

תחומי עליה וירידה
לפונקציה יש 3 תחומים בהם צריך לבדוק את העליה והירידה.
x> ln 10
x>ln 5 וגם x<ln 10   כבר מצאנו שהפונקציה יורדת.
x<ln 5  כבר מצאנו שהפונקציה עולה.
כאשר נציב x=ln 12 במונה הנגזרת (המכנה לא משפיע על סימן הנגזרת כי הוא חיובי תמיד) נקבל:
ln 12 + 5 = -12+5= -7-
לכן הפונקציה יורדת כאשר x> ln 10

האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה x?
על מנת שיהיו לה היא צריכה להיות שווה ל 0. בגלל שמונה הפונקציה שונה תמיד מ 0 (שווה תמיד ל 1) לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

סקיצה

סקיצה של גרף הפונקציה

סקיצה של גרף הפונקציה

ד. עלינו למצוא את התחום שבו הפונקציה שלילית (כלומר נמצאת מתחת לציר ה x) וגם יורדת.
על פי שרטוט הסקיצה ותחומי העליה והירידה שמצאנו קודם ניתן לראות כי שתי האי שוויונות מתקיימים כאשר x>ln 5 וגם x< ln10.

 חורף 2017
השאלה כוללת גם פרמטר וקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת.

 קיץ 2016

 

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.