בדף זה ובקישורים היוצאים ממנו נלמד לחקור פונקציות מעריכיות.
פונקציות מעריכיות הן פונקציות עם משתנה במעריך החזקה ובסיס החזקה הוא e.
החלקים של דף זה הם:
- קישורים.
- סיכום וידאו.
- סיכום כתוב.
- חקירה מלאה של פונקציות.
1.קישורים
- היכרות עם הפונקציה f(x) = ex (לא חובה).
- משוואות מעריכיות.
- תחום הגדרה.
- נגזרת.
- חיתוך עם הצירים.
- מציאת משיק.
- נקודות מינימום מקסימום.
- אסימפטוטות.
- אינטגרל.
- חקירה מלאה (בדף זה)
- פונקציה מעריכית 5 יחידות.
2.סיכום וידאו
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
4.חקירת מלאה של פונקציות מעריכיות
בהמשך הדף שאלות ברמת 4 יחידות.
פונקציה מעריכית 5 יחידות כולל פתרון שאלת בגרות ברמת 5 יחידות.
תרגיל 1:
מצאו את:
- תחום ההגדרה.
- נקודות החיתוך עם הצירים.
- נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה.
- אסימפטוטות אנכיות ואופקיות.
- שרטוט גרף הפונקציה.
תרגיל 2:
עוד באתר:
- משוואות מעריכיות – כיצד פותרים.
- פונקציות הדף המרכזי בנושא.
- בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
- בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
3.פתרונות של תרגילים מהבגרות
מצורפים הצעות לפתרון תרגילים בחקירת פונקציות מעריכיות משאלון 482 (לשעבר 805).
קיץ 2018 שאלה 4
חקרו את הפונקציה
f (x) =aex – 9e-x
א. תחום הגדרה:
הפונקציה מוגדרת לכל x.
ב.
נתון – שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (x = ln(3 הוא 6.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה. לכן:
f ' (ln(3)) = 6
כעת נמצא את הנגזרת של הפונקציה, ונציב בה את הנתון על מנת למצוא את a.
f ' (x) = a*ex + 9e-x
נציב:
a*eln(3) + 9e-ln(3) = 6
חוקי לוגריתמים :
1. elnx = x
2. (lnx = ln(1/x-
לכן:
3a + 3 = 6
3a = 3
a = 1
ג.
1. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x : נפתור את המשוואה f(x) = 0.
ex – 9e-x = 0
ex = 9e-x
נכפול ב – ex:
e2x = 9
(2x = ln(9
(x = 0.5*ln(9
לפי חוקי לוגריתמים, מתקיים:
(x = ln(3
ציר y:
נציב x = 0 בפונקציה:
f(0) = e0 – 9e0 = 1 – 9 = -8
תשובה:
ציר x :
( 0, (ln(3 )
ציר y:
(8- , 0)
2. תחומי עלייה וירידה:
ראשית נבדוק האם יש לפונקציה נקודות קיצון:
f ' (x) = ex + 9e-x = 0
ex = -9e-x
נכפול ב- ex:
e2x = -9 – אין למשוואה פתרון – פונקציית e לעולם אינה שלילית.
לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.
נשים לב כי נגזרת הפונקציה תמיד חיובית, ולכן הפונקציה עולה לכל x.
3. סקיצה:
ד.
השטח המוגבל נתון ע"י האינטגרל:
נפתור את האינטגרל:
נשים לב כי השטח הדרוש נמצא מתחת לציר x, ולכן קיבלנו מספר שלילי.
שטח הוא תמיד מספר חיובי, ולכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.
תשובה: השטח המוגבל שווה ל – 4 יחידות ריבועיות.
חורף 2018 שאלה 4
חקרו את הפונקציה
f (x) = 42x – 4x -2
א.
1. תחום ההגדרה:
בפונקציה זו אין x עבורו הפונקציה אינה מוגדרת.
לכן תחום ההגדרה הוא לכל x.
2. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x: נפתור את המשוואה f(x) = 0.
42x – 4x – 2 = 0
על מנת לפתור את המשוואה, נציב 4x = t.
נקבל:
t2 – t – 2 = 0t – 2) * (t + 1) = 0)
t1 = 2 , t2 = -1
נחזור למשתנה המקורי, x :
– עבור t1:
4x = 2
x1 = 0.5 (חזקת חצי היא בעצם שורש ריבועי, וכידוע, השורש הריבועי של 4 הוא 2)
– עבור t2:
4x = -1
אין פתרון – מכיוון שאף חזקה של המספר 4 לא תניב לנו מספר שלילי.
ציר y:
נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
f(0) = 40 – 40 – 2
f(0) = 1 – 1 – 2
f(0) = -2
לכן, נקודות החיתוך:
ציר x :
(0 , 0.5)
ציר y:
(2- , 0)
3. נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0.
תזכורת – נגזרת של פונקציה מעריכית:
(ax) ' = ax * ln(a)
f ' (x) = 42x * ln(4)*2 – 4x * ln(4) = 0
נחלק ב – (ln(4 :
42x *2 – 4x = 0
נחלק ב – 4x (שונה מ – 0 לכל x) :
4x *2 – 1 = 0
4x = 1/2
(x = log4 (1/2
x = -0.5
נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת טבלה:
תשובה:
נקודת מינימום: (2.25- , 0.5-)
ב. (g(x) = -2*f(x
לפונקציה (g(x יש אסימפטוטה שמשוואתה y = 4.
1. נקודת קיצון:
אם נגזור את המשוואה הנ"ל , נקבל:
(g ' (x) = -2 * f ' (x
כלומר, יש הבדל של קבוע בין שתי הנגזרות.
לכן, שיעור ה- x של נקודת הקיצון הוא זהה בין הפונקציות: x = -0.5.
(g(x) = -2*f(x , ולכן שיעור ה – y של הנקודה יהיה מוכפל ב – 2-.
כלומר: y = -2 * -2.25 = 4.5
ניתן לראות מהשרטוט הנתון כי זוהי נקודת מקסימום.
תשובה: נקודת מקסימום: (4.5 , 0.5-)
2. אסימפטוטה אופקית של (f(x:
האסימפטוטה האופקית של (g(x היא y = 4.
כלומר, כאשר x שואף למינוס אינסוף, הפונקציה שואפת ל – 4.
(g(x) = -2 * f(x , ולכן :
(f(x) = -0.5 * g(x
לכן, עבור (f(x , כאשר x ישאף למינוס אינסוף – הפונקציה תשאף ל :
y = 4*-0.5
y = -2
3. סקיצה של (f(x :
קיץ 2017
השאלה כוללת גם פרמטר.
(f (x) = a / (e2x-10ex
א. תחום הגדרה
נבדוק מתי המכנה שווה ל 0.
e2x-10ex=0
ex(ex-10)=0
ex שונה מ 0 לכול x לכן נבדוק מתי הביטוי שבתוך הסוגריים שווה ל 0.
ex-10=0
ex=10
נוציא ln לשני אגפי המשוואה.
ln ex = ln 10
x= ln 10.
תשובה: הפונקציה מוגדרת לכל x כך ש x≠ ln 10.
אסימפטוטה: כאשר x שואף ל ln 10 מכנה הפונקציה שואף ל 0 ואילו המונה הוא a שהוא מספר. לכן המנה שואפת לאינסוף או מינות אינסוף והישר x= ln 10 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
ב. מציאת a.
נציב (1/9-, 0) בפונקציה ונקבל:
(f (x) = a / (e2x-10ex
a / (e0 – 10e0)=a/(1-10)= -1/9
a/-9 = 1/-9
a=1
ג. שימו לב לרמז שניתן בשאלה עצמה " שיעורי נקודת הקיצון…" כלומר יש נקודה אחת.
(f (x) = 1 / (e2x-10ex
f ' (x) = (0 – (2e2x-10ex) *1 ) / (e2x-10ex)²
f ' (x) = (-2e2x+10ex) / (e2x-10ex)²
המכנה מתאפס רק בנקודת אי ההגדרה לכן ניתן להתעלם ממנו ולבדוק מתי המונה שווה ל 0.
10ex-2e2x = 0 / :2
5ex– e2x = 0
ex (5-ex)=0
ex שונה מ 0 לכול x.
ex=5
ln ex = ln 5
x= ln 5 זו הנקודה החשודה כקיצון.
נמצא את ערכי הנגזרת כאשר x= ln 3, x=ln 7.
f ' (x) = (-2e2x+10ex) / (e2x-10ex)²
מכנה הנגזרת תמיד חיובי לכן לא משפיע על סימן הנגזרת.
מונה הנגזרת הוא:
(ex (5-ex
הביטוי ex חיובי לכל x.
נבדוק את ערך הביטוי ex+ 5-
יש כלל לוגרתמי האומר כי:
elnx = x
לכן:
eln 7 +5 = -7+5<0-
eln 3 + 5 = 3-5>0-
כך זה נראה בטבלה:
ln 7 | ln 5 | ln 3 | |
(f(x | יורדת | מקסימום | עולה |
(f ' (x | – | 0 | + |
הפונקציה יורדת ב ln 7 ועולה ב ln 3 לכן ln 5 זו נקודת מקסימום.
נמצא את ערך הפונקציה ב ln 5.
(f (x) = 1 / (e2x-10ex
נשתמש בכלל הלוגרתמי elnx = x ונקבל.
f (x) = 1 / (25-50) = 1/-25 = -0.04
תשובה: הנקודה (ln5, -0.04) היא נקודת מקסימום של הפונקציה.
תחומי עליה וירידה
לפונקציה יש 3 תחומים בהם צריך לבדוק את העליה והירידה.
x> ln 10
x>ln 5 וגם x<ln 10 כבר מצאנו שהפונקציה יורדת.
x<ln 5 כבר מצאנו שהפונקציה עולה.
כאשר נציב x=ln 12 במונה הנגזרת (המכנה לא משפיע על סימן הנגזרת כי הוא חיובי תמיד) נקבל:
e ln 12 + 5 = -12+5= -7-
לכן הפונקציה יורדת כאשר x> ln 10
האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה x?
על מנת שיהיו לה היא צריכה להיות שווה ל 0. בגלל שמונה הפונקציה שונה תמיד מ 0 (שווה תמיד ל 1) לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
סקיצה
ד. עלינו למצוא את התחום שבו הפונקציה שלילית (כלומר נמצאת מתחת לציר ה x) וגם יורדת.
על פי שרטוט הסקיצה ותחומי העליה והירידה שמצאנו קודם ניתן לראות כי שתי האי שוויונות מתקיימים כאשר x>ln 5 וגם x< ln10.
חורף 2017
השאלה כוללת גם פרמטר וקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת.
סעיף א
על פי גרף הנגזרת ניתן לראות כי כאשר x=2 הנגזרת שווה ל 0. נציב זאת:
תשובה: c=1.
סעיף ב
הפונקציה מוגדרת כאשר x≠1 – כי אז המכנה שונה מ 0.
סעיף ג
אנו יודעים כי נקודת הקיצון מתקבלת כאשר x=2.
בגרף אנו רואים כי הנגזרת יורדת בתחום
ועולה לאחר מיכן. לכן זו נקודת מינימום.
נמצא את ערך ה y כאשר x=2.
נקודת הקיצון היא מינימום ב (2,1).
סעיף ד
f(3)- f(2) = 0.5e-1
(וזו התשובה).
קיץ 2016
F(x) = e2x +e4-2x +2
F(0) = e2*0 +e4-2*0 +2
=e2*0 +e4-2*0 +2=e0 + e4 +2
e4 +3
נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:
סעיף א חלק 2
F'(x) = 2e2x -2e4-2x
2e2x *-2e4-2x =0
2e2x =2e4-2x
2x=4-2x
4x=4
x=1
נבדוק אם זה מינימום או מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה:
F"(x) = 4e2x +4e4-2x
e בחזקת מספר כלשהו נותן תוצאה חיובית לכן ערך הנגזרת השנייה הוא חיובי וזו נקודת מינימום.
נמצא את ערך ה y כאשר x=1
F(1) = e² +e4-2 + 2 = 2e² +2
נקודת מינימום של הפונקציה היא:
סעיף א חלק שלישי
סקיצה של הפונקציה
תשובה: k=10.
עוד באתר:
כמה זה e^2x- e?
שלום
אם רוצים אפשר להוציא e גורם משותף.
0=e(2x-1)
ככה?
לא, ככה:
[e[e^(2x-1) – 1
היי אפשר הדרכה? איך אני מוצאת את a,אם ידוע שהמרחק מראשית הצירים הוא e
מונה-a
מכנה-x-1)e^x-1)
שלום
מציבה x = e בפונקציה ופותרת משוואה.
שלום,אשמח לעזרה בחיתוך עם ציר ה-y
y=e^x+e^2:e^x-2e
תודה ושבוע טוב!
שלום
צריך למצוא את הערך של:
y=e^0+e^2:e^0-2e
התכוונתי חיתוך עם ציר האיקס..קצת הסתבך לי
שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0.
אם אני מבין נכון זה המונה שלך:
e^x+e^2 = 0
והוא אף פעם לא שווה 0 כי שני הביטויים שנמצאים משמאל חיוביים לכל x.
שלום,
אשמח בעזרה בגזירת הפונקציה : 2e*e^x-e^2x+k ( פרמטר K)
ניסיתי בכמה דרכים, הגזירה נועדה למציאת שיעור הX בנקודת קיצון היחידה שיש לפונקציה לפי הסעיף.
אשמח לעזרה,
תודה רבה
שלום
2e*e^x-2e^2x
החלק השמאלי נגזר על פי נוסחת מכפלה והימני על פי נגזרת מורכבת.
ניתן להוציא גורם משותף ולקבל ביטוי פשוט יותר.
הבאתם ביטוי 4x*4x+6+5*4x=0 ופתרתם שורשים בעזרת טי: 4x=t אז: t1=1 t2=5 t3=6 עכשיו השאלה שלי היא למה פשוט לא הכפלתם 4*4=16 ו5*4=20 ואז x1=16 x2=20 x3=6 הבנתי שהדרך שלי לא נכונה אבל למה?
שלום
לא הבנתי באיזה תרגיל בדף מדובר – אם תוכל לציין מספר.
לא הבנתי מה דרך הפתרון שאתה מציע.
אם יש לי פונקציה e בחזקת X פחות 1 (בנפרד מהe בחזקת X)
ותחום הגדרה של פונקציה זו הוא כל X האם כשאני אבנה פונקציה חדשה שבה הפונקציה המקורית היא במכנה ולמעלה יש 1 תחום ההגדרה נשאר אותו דבר או שהוא הופך ליהיות X שונה מ0?
שלום
בפונקציה השנייה x = 0 מאפס את המכנה וכן האפשרות השנייה נכונה.
שלום אחי אתה אחלה גבר והאתר שלך ממש מועיל לי! איך אני פותר משוואה כזאת: e בחזקת x בריבוע שווה 2?
שלום
תודה
פותרים בעזרת מחשבון, בקישור בשיטה מספר 3 יש הסבר:
https://www.m-math.co.il/algebra/equations/exponential-equations/
סליחה, לא הבנתי. התכוונתי שהריבוע הוא על הx בלבד ולא על הe (במעריך החזקה). תודה.
ממה שהבנתי זה e בחזקת x וה x בחזקת 2.
במקום שאמרתי לך יש דוגמה למצב דומה.
שלום וברכה
שאלה לי: האם מותר לפתור את המשוואה כלשהי עם הוצאת גורם משותף. ופשוט להשוות את המשוואה למספר החופשי (שאין לו את הגורם המשותף) במשוואה, ואז להשוות את הגורם המשותף למספר החופשי (שנמצא באגף לבד) ולהשוות את מה שבתוך הסוגריים למספר החופשי… כמו שמשווים ל-ס, כאשר מוציאים גורם משותף.
מקווה שהייתי ברורה,
מחכה לתשובה..תודה!!
שלום מוריה
לא ניתן.
כאשר שני ביטויים מכפלתם 0 אז אחד מהביטויים חייב להיות שווה ל 0.
לעומת זאת כאשר שני ביטויים מכפלתם מספר כמו 4 זה לא אומר שאחד מהביטויים שווה ל 4.
לכן התשובה לא.
תודה רבה!!!! עזרתם לי מאוד!!
היי,
e^x=0 איך אוכל לפתור?
תודה רבה על העזרה!
שלום
למשוואה הזו אין פתרון.
e בחזקת כל מספר שתבחרי לא שווה 0.
וגם אף מספר אחר בחזקה כלשהיא לא שווה ל 0.
היי
איך פותרים – e בחזקת X= X פלוס 3?
תודה
שלום
לא כל סוגי המשוואות המעריכיות הן פתירות או נלמדות בתיכון.
למיטב ידיעתי זו לא נלמדת.
כאשר x שואף למינוס אינסוף המונה שואף לאינסוף.
המכנה שואף ל 0.
לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף.
אין אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף למינוס אינסוף.
בתרגיל 6
לא הבנתי זה לא במכנה שואף ל-1- כאשר x שואף למינוס אינסוף כי יש משמעות למספרים כשהe^x שואף ל0 והx שלילי
היי, אני חייב עזרה די דחוף,
תרגיל 1:
צמד הפונקציות f . g מוגדרות לכל איקס. מצאו מי מבין הפונקציות הבאות תהיה מוגדרת לכל איקס.
(המשך השאלה הוסר מהאתר).
שלום
אם f(x ו g(x מוגדרים ושונים מ 0 (מה שלא כתבת) אז גם הריבוע של הפונקציה שונה מ 0 ומוגדר.
איך מוכיחים שפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה?
שלום
צריך להוכיח שהנגזרת חיובית תמיד.
בפונקציה מעריכית שהבסיס שלה הוא e, והחזקה של e היא x בשנייה, איך מוצאים את התחום הגדרה?
שלום אלינור
e בחזקת x הוא ביטוי שאף פעם לא שווה ל 0.
לכן אם זו המגבלה היחידה אז הפונקציה מוגדרת לכל x.
מידע נוסף בדף בנושא תחום הגדרה.
http://www.m-math.co.il/mathematics-function/domain-e-function/
בהצלחה