נגזרת של פונקציה טריגונומטרית

בדף זה נלמד כיצד לגזור פונקציות טריגונומטריות.
נגזור בעזרת הנגזרות הטריגונומטריות הבסיסיות ובעזרת כללי הגזירה של מכפלת פונקציות, מנת פונקציות, ופונקציה מורכבת.

הנגזרות הטריגונומטריות הבסיסיות

f (x) = sinx
f ' (x) = cosx

g (x) = cos x
g ' (x) = – sinx

h (x) = tg x
h ' (x) =1/cos²x

תרגילים

תרגיל 1 (מכפלה של פונקציה בקבוע)
5sinx

פתרון

נשים לב כי זוהי כפולה של קבוע ( המספר '5') בפונקציה sinx.
הנגזרת של sinx היא cosx.

נוסחה לנגזרת מסוג זה : 

5sinx)'  =  5cosx)

תרגיל 2 (מכפלה בקבוע)
3tgx-

פתרון

הנגזרת של tgx היא : 
נשים לב כי יש לנו כפולה של tgx בקבוע (המספר '3-')
לכן:

תרגיל 3 (חיבור פונקציות)
3sin x + cosx

פתרון

נגזרת של cosx היא sinx ,  הנגזרת של sinx היא cosx.

3sinx + cosx)'  =  3cosx – sinx)

תרגיל 4 (מכפלת פונקציות)
2x * cos x

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = 2x
u'(x) = 2

השנייה : v(x) = cosx
v'(x) = -sinx

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : )

2x*cosx)' = 2cosx – 2x*sinx)

תרגיל 5 (מכפלת פונקציות)
x * tgx

פתרון

זוהי פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :    u(x) = x
u'(x) = 1

השנייה : v(x) = tgx
v'(x) = 1/cos²x

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : )

(x* tgx)' = 1*tgx + x*(1/cos²x)

x* tgx)' = tgx + x/cos²x)

תרגיל 6 (מנה של פונקציות)

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה : u(x) = 6cosx + 4
u'(x) = -6sinx

השנייה :           v(x) = -sinx
v'(x) = -cosx

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: )

ונקבל :

כינוס איברים ופתיחת סוגריים :

תרגיל 7 (מנה של פונקציות)

פתרון:

מכיוון ש – tgx נמצא במכנה, נצטרך להשתמש בנוסחת נגזרת של מנה.
הפונקציות המרכיבות את המנה:
הראשונה :    u(x) = -4
u'(x) = 0

השנייה :         v(x) = tgx
v'(x) = 1/cos²x

(תזכורת: )

לכן:



tg²x = sin²x/cos²x, ולכן הביטוי מצטמצם ומתקבל :


תרגיל 8 (מנה של פונקציות)

פתרון:

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = sinx + 2x
u'(x) = cosx +2

השנייה(במכנה) :           v(x) = x
v'(x) = 1

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל :

 

תרגיל 9 (מנה של פונקציות)

פתרון:

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = x – 1
u'(x) = 1

השנייה (במכנה):          (v(x) = tg(x
v'(x) = 1/cos²x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל :


*ניצור מכנה משותף במונה – cos²x.
*  tg²(x) = sin²x / cos²x
נקבל:

נצמצם cos²x. נקבל:

נגזרת מורכבת של פונקציה טריגונומטרית

תרגיל 1
sin²x
פתרון

נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא חזקה (בריבוע) – (f(x
השנייה : g(x) = sinx

f ' (x) = 2x
g ' (x) = cosx

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :

לכן נקבל :

sin²x)' = cosx * 2sinx)
sin²x)' = 2cosx * sinx)
(העשרה : ניתן לכתוב את התשובה כך : sin²x)' = sin2x) , על-פי הזהות הטריגונומטרית : sin2x = 2sinx*cosx)

תרגיל 2
(cos (1/x

פתרון

במקרה זה, 2 הפונקציות הן :
1. f(x) = cosx
2. g(x) = 1/x

הנגזרת של (g(x :   (לפי נגזרת של מנה של פולינומים)

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן:

תרגיל 3
cos√x

פתרון
יש לנו כאן הרכבה של 2 פונקציות:
הראשונה : f(x) = cosx
השנייה : g(x) = √x


לפי כלל הנגזרת של שורש.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל:

תרגיל 4
tg²x
פתרון

נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא חזקה (בריבוע) – (f(x
f ' (x) = 2x
השנייה : g(x) = tgx
g ' (x) = 1/cos²x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל:

תרגיל 5
(tg (2x³ + 1

פתרון

זוהי הרכבה של 2 פונקציות:
הראשונה : f(x) = tgx
f ' (x) = 1/cos²x
השנייה: g(x) = 2x³ + 1
g ' (x) =  6x²

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל :

 

תרגילים נוספים בנושא נגזרות : 

 

תרגיל 3

פתרון

זוהי פונקציה מורכבת, אשר מורכבת מ – 2 פונקציות:
הראשונה :  פונקציית השורש – נסמן (f(x.
f ' (x) = 1 / 2√x  – לפי חוקי גזירה של שורשים.
השנייה:   g(x) = 1 + sinx
g ' (x) = cosx

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל :


תרגיל 4

(cos(3x4

פתרון:

זוהי פונקציה מורכבת, אשר מורכבת מ – 2 פונקציות:
הראשונה :  f(x) = cosx
f ' (x) = – sinx
השנייה: g(x) = 3x4
g ' (x) = 12x³

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל :
(cos(3x4)]' = 12x³ * -sin(3x4) = -12x³ * sin(3x4]

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.