נגזרת שורש

בדף זה נגזור פונקציות שורש.
רמת הנגזרות בדף היא 4-5 יחידות לימוד.

הנגזרת של פונקציית שורש היא:

נגזרת פונקציית שורש

נגזרת פונקציית שורש

כאשר יש פונקציה בתוך השורש הנגזרת היא:

נגזרת פונקציית שורש מורכבת

 

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

*הנגזרת של x√ היא   .
*הנגזרת של קבוע כפול פונקציה של x היא:
, כאשר במקרה שלנו  k = 5.
*הנגזרת של מספר היא 0.
לכן:

תרגיל 2

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

*את הביטוי מצד שמאל נגזור כפונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקצית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = 3x – 1
g ' (x) = 3

*את הביטוי הימני נגזור לפי נגזרת של שורש, שהיא : .
כמו כן, הוא כפול בקבוע, לכן נשתמש בנוסחה:
,
כאשר k = -2.

לכן:

תרגיל 3

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

זוהי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = x² + 6x – 4
g ' (x) = 2x + 6
לכן:

תרגיל 4

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 4
u'(x) = 0

השנייה(במכנה) :           v(x) = 5 + √x
v'(x) = 1 / 2√x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

תרגיל 5

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = 5x
u'(x) = 5

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

נקבל:

תרגיל 6

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :   = (u(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (u ' (x

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

נקבל:


מכנה משותף:

נזכיר כי שורש כפול עצמו זה בעצם המספר שבתוך השורש. לכן:

תרגיל 7

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

והי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש
f ' (x) = 1/2√x
(g(x) = 2x / (x+1
נגזור אותה לפי נגזרת של מנה:
 = (g ' (x

לכן נקבל:

נצמצם ב – 2  ונסדר את הביטוי:

מהגדרת השורש הריבועי – הוא בעצם העלאה בחזקת 0.5.
לכן, לפי חוקי חזקות:
x+1)² / (x+1) 0.5  =  (x+1)2-0.5)
x+1)1.5) = 

ומתקבל לבסוף:

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.