נגזרת שורש

בדף זה נגזור פונקציות שורש.
רמת הנגזרות בדף היא 4-5 יחידות לימוד.

הנגזרת של פונקציית שורש היא:

נגזרת פונקציית שורש

נגזרת פונקציית שורש

כאשר יש פונקציה בתוך השורש הנגזרת היא:

נגזרת מורכבת של פונקציית שורש

תרגילים

תרגיל 1

פתרון

*הנגזרת של x√ היא   .
*הנגזרת של קבוע כפול פונקציה של x היא:
, כאשר במקרה שלנו  k = 5.
*הנגזרת של מספר היא 0.
לכן:

תרגיל 2

נגזרת שורש

פתרון

יש שתי דרכים לפתור את התרגיל הזה. כנגזרת מנה וכנגזרת פולינום.

גזירה על פי נגזרת מנה.
(f(x = 3
f ' (x) = 0
g(x) = √x
(g ' (x) = (1 /2√x

נגזרת שורש

נגזרת שורש

גזירה על פי נגזרת פולינום.
כאשר ביטוי השורש במכנה הוא ביטוי שורש יחיד (ללא פעולות חיבור או חיסור במכנה) אז בעזרת חוקי חזקות ניתן להפוך את הפונקציה לפונקציית פולינום.

תרגיל 3

נגזרת מורכבת של שורש

פתרון

זו נגזרת מורכבת.
שתי הפונקציות הן
(f(x) = √(5x
g(x) = 5x

כלל הגזירה של פונקציה מורכבת אומר:

לכן הנגזרת שלנו תהיה:

תרגיל 4

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

*את הביטוי מצד שמאל נגזור כפונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקצית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = 3x – 1
g ' (x) = 3

*את הביטוי הימני נגזור לפי נגזרת של שורש, שהיא : .
כמו כן, הוא כפול בקבוע, לכן נשתמש בנוסחה:
,
כאשר k = -2.

לכן:

תרגיל 5

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

זוהי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = x² + 6x – 4
g ' (x) = 2x + 6
לכן:

תרגיל 6

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 4
u'(x) = 0

השנייה(במכנה) :           v(x) = 5 + √x
v'(x) = 1 / 2√x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

תרגיל 7

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = 5x
u'(x) = 5

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

נקבל:

תרגיל 8

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :   = (u(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (u ' (x

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

נקבל:


מכנה משותף:

נזכיר כי שורש כפול עצמו זה בעצם המספר שבתוך השורש. לכן:

תרגיל 9

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

והי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש
f ' (x) = 1/2√x
(g(x) = 2x / (x+1
נגזור אותה לפי נגזרת של מנה:
 = (g ' (x

לכן נקבל:

נצמצם ב – 2  ונסדר את הביטוי:

מהגדרת השורש הריבועי – הוא בעצם העלאה בחזקת 0.5.
לכן, לפי חוקי חזקות:
x+1)² / (x+1) 0.5  =  (x+1)2-0.5)
x+1)1.5) = 

ומתקבל לבסוף:

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.