נגזרת שורש

בדף זה 3 חלקים:

  1. איך לגזור נגזרת שורש – הסבר בכתב ובוידאו.
  2. 5 סוגים של פונקציית שורש – וכיצד לגזור אותם. ניתן ללמוד את דרך הגזירה גם בחלק זה. גם כאן יש הסברים בכתב ובוידאו.
  3. תרגילים נוספים.

רמת הנגזרות בדף היא 4-5 יחידות לימוד.

כיצד לגזור פונקציית שורש

פונקציית שורש גוזרים בעזרת נוסחאות גזירה.
יש שתי נוסחאות גזירה, אחת לפונקציית שורש פשוטה ואחת לפונקציית שורש מורכבת.

נוסחת הגזירה של פונקציית שורש פשוטה היא:

נגזרת פונקציית שורש

נגזרת פונקציית שורש

למשל:

פתרון
נשתמש בנוסחה:
(k*f(x)) ' = k * f '(x)
ונוציא את המספר 3 מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת הגזירה של שורש:

באתר זה פועל צ'אט!
ימים א-ה. שעות 8-19 (עם הפסקות)
מענה לשאלות על התכנים באתר.   שאלות קצרות על תכנים מחוץ לאתר

דוגמה נוספת.
גזרו את הפונקציה:

פתרון
נוציא את המספר 1/6- מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת הגזירה של שורש.

נוסחת הגזירה של פונקציית שורש מורכבת
נוסחה נוספת של פונקציית שורש היא כאשר בתוך השורש לא נמצא רק x, אלה נמצאת פונקציה שלמה. במקרה זה הנוסחה היא:

נגזרת שורש מורכבת

למשל עבור הפונקציה:

הנגזרת היא:

דוגמה נוספת
גזרו את הפונקציה:

פתרון
נוציא 8/3 אל מחוץ לנגזרת.

נגזור על פי נוסחת נגזרת שורש מורכבת.

5 סוגים של פונקציות שורש וכיצד לגזור אותן

חילקתי את פונקציות השורש ל 5, כאשר כל פונקציה דורשת גזירה קצת אחרת.
לכל ההסברים יש הסבר כתוב והסבר בוידאו. ההסבר בוידאו מופיע לאחר ההסבר הכתוב.

  1. פונקציית שורש פשוטה.
  2. פונקציית שורש מורכבת.
  3. פונקציית מכפלה.
  4. פונקציית מנה.
  5. פונקציית מנה שבה יש "שורש גדול" על כל הפונקציה.

סוג 1
פונקציית שורש פשוטה
או פונקציית שורש כפול מספר.

פתרון
יש לנו כאן שני ביטויים שניתן לגזור כל אחד מיהם בנפרד.
המספר 2 הנגזרת שלו היא 0.
הנגזרת של פונקציית השורש מתקבלת על ידי הנוסחה:

נגזרת פונקציית שורש

וכך נראית הנגזרת של התרגיל כולו:

בשורה הראשונה השתמש בכלל:
'(f(x) ± g(x) )' = f(x)' ± g(x)
בשורה השנייה השתמשנו בכלל:
(k*f(x)) ' = k * f '(x)

סוג 2
נגזרת מורכבת עם מספר בתוך הפונקציה

נגזרת מורכבת של שורש

פתרון
זו נגזרת מורכבת.
הנוסחה לגזירת פונקציית שורש מורכבת היא:

נגזרת שורש מורכבת

ועל פי הנוסחה הנגזרת היא:

דוגמה נוספת
פונקציה ריבועית בתוך השורש

נגזרת פונקציית שורש

פתרון
זוהי פונקציה מורכבת וגוזרים אותה בדיוק כמו הפונקציה הקודמת.


סוג 3
נגזרת מכפלה

פונקציה מסוג זה גוזרים בעזרת כלל המכפלה של נגזרת:
(f (x) * g (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

הנגזרת של x היא 1.
הנגזרת של (x + 2)√ היא

והנגזרת של הפונקציה כולה היא:

סוג 4
נגזרת מנה

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 4
u'(x) = 0

השנייה(במכנה) :           v(x) = 5 + √x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

אם קשה לכם אם החלק האחרון מבחינת השבר שהיה עם 3 בתים והפך לשבר עם שני בתים ניתן ללמוד כיצד עושים זאת בדף איך לחלק שבר בשבר.

דוגמה נוספת לנגזרת מנה
כאשר גם במונה וגם במכנה יש משתנה.
ובנוסף פונקציה השורש היא מורכבת.

הנגזרת של המונה היא 2.
הנגזרת של המכנה היא:

לכן הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

ניצור מכנה משותף במונה (לאחר שצימצמנו את ה 2 באיבר הימני)

במונה נפתח סוגריים ובמכנה נשתמש בחוקי חזקות.

בתרגיל זה השתמשנו באלגברה קשה יחסית, חזרה תוכלו לעשות בקישורים הבאים:

סוג 5
כאשר המונה והמכנה נמצאים תחת אותו שבר

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

זוהי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x] כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש
f ' (x) = 1/2√x
(g(x) = 2x / (x+1
נגזור אותה לפי נגזרת של מנה:

לכן נקבל:

נצמצם ב – 2  ונסדר את הביטוי:

מהגדרת השורש הריבועי – הוא בעצם העלאה בחזקת 0.5.
לכן, לפי חוקי חזקות:
x+1)² / (x+1) 0.5  =  (x+1)2-0.5)
x+1)1.5) = 

ומתקבל לבסוף:

תרגילים

בחלק זה 6 תרגילים בנושא נגזרת שורש.
תרגילים 1-3 כוללים גזירה פשוטה של פונקציית שורש או פונקציית שורש מורכבת.
תרגילים 4-5 הם מכפלה של פונקציות.
תרגיל 6 הוא נגזרת מנה.

בדף זה אנו מתאמנים על גזירה של הפונקציה.  בחקירת פונקציה אמיתית אתם תצטרכו למצוא את תחום ההגדרה לפני הגזירה. כאן נתעלם מחלק זה ורק נגזור.

תרגיל 1

פתרון
נפצל את הנגזרת לשני ביטויים שאחד מיהם קל לגזירה והשני עם השורש יותר קשה.

נוציא את המספר 1/5 אל מחוץ לשורש על פי הכלל
k*f(x) ') = k * f '(x))
ובנוסף נגזור את הביטוי 2x.

כל מה שנותר לנו עכשיו הוא לגזור את הביטוי x√ ואז זה אנחנו יודעים לעשות.

תרגיל 2

פתרון

פתרון בדרך 1: על ידי הוצאת 2/7 מחוץ לנגזרת

פתרון בדרך 2: על ידי נגזרת מנה

נפתח את השבר ונקבל:

פתרון בדרך 3: על ידי נגזרת פולינום
קודם כל נכתוב את הפונקציה בצורה של פולינום.

ועכשיו נגזור על פי נגזרת פולינום

תרגיל 3

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

*את הביטוי מצד שמאל נגזור כפונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:

כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקצית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = 3x – 1
g ' (x) = 3

*את הביטוי הימני נגזור לפי נגזרת של שורש, שהיא : .
כמו כן, הוא כפול בקבוע, לכן נשתמש בנוסחה:
,
כאשר k = -2.

לכן:

תרגיל 4
נגזרת מכפלה מורכבת

נגזרת פונקציית שורש

פתרון
יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = 5x
u'(x) = 5

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

נקבל:

תרגיל 5
נגזרת מכפלה מורכבת

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :   = (u(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (u ' (x

השנייה :   = (v(x
נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מורכבת:
  = (v ' (x

כעת נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

נקבל:


מכנה משותף:

נזכיר כי שורש כפול עצמו זה בעצם המספר שבתוך השורש. לכן:

תרגיל 6

נגזרת שורש

פתרון
יש שתי דרכים לפתור את התרגיל הזה. כנגזרת מנה וכנגזרת פולינום.

גזירה על פי נגזרת מנה.
(f(x = 3
f ' (x) = 0
g(x) = √x
(g ' (x) = (1 /2√x

נגזרת שורש

נגזרת שורש

גזירה על פי נגזרת פולינום.
כאשר ביטוי השורש במכנה הוא ביטוי שורש יחיד (ללא פעולות חיבור או חיסור במכנה) אז בעזרת חוקי חזקות ניתן להפוך את הפונקציה לפונקציית פולינום.

עוד באתר:

נספח: כיצד לגזור פונקציית שורש בעזרת הפיכת השורש לחזקה

נלמד כאן דרך נוספת לגזירת פונקציית שורש.
הדרך הזו לרוב דורשת יותר עבודה ולכן נלמדת כאן בתחתית הדף.

ניתן להפוך כל פונקציית שורש לחזקה ואז לגזור כמו פולינום.
למשל:

x = x0.5

וגם כאשר השורש נמצא במכנה ניתן להשתמש בחוק החזקה הזה:

ולהפוך את השורש לחזקה בצורה הזו:

למשל את הפונקציה:

נהפוך לחזקה:

ואז נשתמש בנוסחה של נגזרת פולינום:
f(x)=xn.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nxn-1.

ונקבל:

דוגמה לפונקציה עם שורש במכנה:

נהפוך את השורש לחזקה:

נגזור את הפונקציה:

 

דוגמה נוספת

פתרון
שורש זוגי זו למעשה חזקת 0.5.
לכן ניתן לכתוב את הפונקציה ללא שורש ועם פולינום.

ואת הביטוי הזה ניתן לגזור באופן מיידי על פי נגזרת של פולינום:
0.2x0.5 + 2x) ' = 0.5*0.2x-0.5 + 2) = 0.1x-0.5 + 2)
זו התשובה הסופית.

אבל אם רוצים ניתן להשתמש בחוקי חזקות ולכתוב את החזקה השלילית כביטוי שורש במכנה.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.