נגזרת ln

בדף זה נגפתור תרגילי גזירת פונקציית ln.
5 תרגילים של פונקציית ln רגילה ו- 9 תרגילים של פונקציית ln מורכבת.

 נגזרת הפונקציה lnx:

כאשר הפונקציה היא פונקציה מורכבת גוזרים אותה כמו פונקציה מורכבת.
(ln f (x))' = (1/ x) * f ' (x)

תרגילים

תרגיל 1
ln (x) + 5x²

פתרון

הנגזרת של lnx היא .
לכן:
ln(x) + 5x²) ' = 1/x + 10x)

תרגיל 2
4ln x

פתרון
הנגזרת של lnx היא .
המקדם של lnx הוא מספר קבוע ('4').
נוסחה לנגזרת מסוג זה :

לכן:
4lnx) ' = 4*1/x = 4/x)

תרגיל 3
x² * ln x

פתרון
יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = x²
u'(x) = 2x

השנייה : v(x) = ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

= x² * lnx) ' = 2x * lnx + x² * 1/x)
 2x * lnx + x =

תרגיל 4

פתרון
זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = x
u'(x) = 1

השנייה(במכנה) :           v(x) = ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל:

תרגיל 5

פתרון

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 1 – ln x
u'(x) = -1/x

השנייה(במכנה) :           v(x) = 2 + ln x
v'(x) = 1/x

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל :

פתיחת סוגריים ומכנה משותף :

כינוס איברים וסידור השבר :

גזירת פונקציות ln מורכבות


נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :
.
נוכל להסיק מהנוסחה הנ"ל:

לכן , כאשר יהיה ביטוי (בתוך ה-ln) 
שהוא פונקציה של x, נגזור בצורה הבאה:

תרגיל 1
(ln (9 – 3x

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = 9 – 3x
g ' (x) =  -3

לכן :
ln(9 -3x)] '   =   – 3 / 9 -3x]

תרגיל 2
ln x²

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = x²
g ' (x) =  2x
לכן :
ln (x²) ] '   =   2x / x²  =  2/x ]

תרגיל 3
(ln (-x²

פתרון:
**נשים לב:  x² הוא תמיד חיובי ( פרט ל x = 0).
מכיוון שכופלים את x² במינוס, הביטוי שבתוך הln תמיד שלילי ( או אפס)
לכן הפונקציה אינה מוגדרת עבור אף ערך של x.

למרות זאת, נגזור את הפונקציה לשם התרגול :
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = -x²
g ' (x) =  -2x
לכן :
ln (-x²) ] '   =   -2x / -x²  =  2/x ]

תרגיל 4
ln x)²)

פתרון
נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא חזקה (בריבוע) – (f(x
f ' (x) = 2x
השנייה : g(x) = lnx
g ' (x) = 1/x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת: 

לכן נקבל:
=  lnx)² ] '  =   2ln x * 1/x) ]
2lnx / x =

 

תרגיל 5
(ln x)√

פתרון
נשים לב כי מדובר בהרכבה של 2 פונקציות.
הפונקציה הראשונה היא פונקציית השורש. (נסמן (f(x )
f ' (x) = 1 / 2√x
השנייה : g(x) = lnx
g ' (x) = 1/x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת : 

לכן נקבל:

 

תרגיל 6

פתרון:

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו :   g(x) = 4 / x+3
  =  (g ' (x

לכן נקבל : 


סידור השבר וצמצום :

 

תרגיל 7

פתרון:

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו :   

לכן נקבל:

 

תרגיל 8
(ln (ex +1

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = ex + 1
g ' (x) = ex

לכן :
ln (ex +1) ] ' = ex / ex +1 ]

תרגיל 9
ln sin²x

פתרון
נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

במקרה שלנו : g(x) = sin²x
g ' (x) = 2sinx * cosx = sin2x
(השתמשנו בזהות טריגונומטרית)

לכן :
ln ( sin²x) ] '  =  sin2x / sin²x ]

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.