מציאת נקודת השקה על פי שיפוע המשיק

חלק א: מציאת הנקודה שבה שיפוע המשיק הוא 0.5
שיפוע המשיק 0.5 זה אומר ערך הנגזרת בנקודה 0.5.
אנו מחפשים:
f ' (x) = 0.5

לכן נגזור את הפונקציה.
f (x) = 2x² – 4
f ' (x) = 2 *2x = 4x

נציב f ' (x) = 0.5
4x = 0.5
x = 0.125

מציאת ערך ה y בנקודה מתבצעת על ידי הצבה של x = 0.125 במשוואת הפונקציה.
f (x) = 2x² – 4

f (0.125) = 2 * 0.125² – 4 = -3.96

סעיף א: מציאת נקודת ההשקה
לישרים מקבילים שיפוע שווה.
לכן שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה המבוקשת הוא 10.

נגזור את הפונקציה:
f (x) = 2x³ + 2x²
f ' (x) = 6x² + 4x

נשווה את הנגזרת ל 10.
6x² + 4x = 10
6x² + 4x – 10 = 0  / :2
3x² + 2x – 5 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת טרינום או נוסחת השורשים.
נראה כאן את הדרך של טרינום.
3x² + 2x – 5 = 0
3x²  – 3x + 5x – 5 = 0
3x(x – 1)  + 5(x – 1) = 0
3x + 5) (x – 1) = 0)

הפתרונות הם:
x = 1,  x = -1.66

נמצא את ערכי ה y עבור ערכי ה x הללו על ידי הצבה במשוואת הפונקציה.
f (x) = 2x³ + 2x²
f (1) = 2*1³ + 2*1² = 4

f (-1.66) = 2* (-1.66)³ + 2*(-1.66)² = -3.63

תשובה: הנקודות בהם למשיק (ולפונקציה) יש שיפוע של 10 הן:
(1,4)   (3.63- , 1.66-)

סעיף ב: מציאת משוואת משיק באחת הנקודות
נמצא את משוואה המשיק העובר בנקודה (1,4) ושיפועו 10.
(y-y₁=m(x-x₁
(y – 4 = 10(x – 1
y – 4 = 10x – 10  / +4
y = 10x – 6

תשובה: משוואת המשיק לפונקציה בנקודה (1,4)  היא y = 10x – 6.

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
לכן אם שיפוע המשיק הוא m, אז המשוואה שלנו היא:
m * (-2) = -1
m = 0.5

עלינו למצוא את הנקודה שבה למשיק לפונקציה יש שיפוע של 0.5.
כלומר ערך הנגזרת בנקודה הזו הוא 0.5.
נגזור את הפונקציה:
f (x) = x² + x
f ' (x) = 2x + 1

נשווה את הנגזרת ל 0.5
2x + 1 = 0.5
2x = -0.5
x = -0.25

נמצא את ערך ה y כאשר x = – 0.25 על ידי הצבה במשוואת הפונקציה
f (x) = x² + x
f (-0.25) = (-0.25)² – 0.25 = -0.187

תשובה: הנקודה שבה עובר משיק המאונך לישר  y = -2x + 5 היא (0.187 -,  0.25-).

ישר המקביל לציר ה x הוא מהצורה
y = k
כאשר k הוא מספר כלשהו.
השיפוע של ישר זה הוא 0.

לכן עלינו להוכיח בעצם כי הנגזרת של הפונקציה בשתי נקודות שווה ל 0.

נגזור את הפונקציה:
f (x) = x³ – x²
f ' (x) = 3x² – 2x

נשווה ל 0.
3x² – 2x = 0
x (3x – 2) = 0
למשוואה זו שני פתרונות:
x = 0,  x = 0.66

נמצא את ערכי ה y בנקודות הללו.
f (x) = x³ – x²
f (0) = 0³ – 0² = 0
f (0.66) = 0.66³ – 0.66² = -0.15

מצאנו כי בנקודות (0,0)  ו (0.15-, 0.66) יש לפונקציה שיפוע 0.
לכן y = 0  ו   y = -0.15  הם שני משיקים לפונקציה ששיפועם 0.