נגזרת של פונקציה מעריכית

בדף זה נלמד לגזור פונקציה מערכיות.
הדף כולל 7 תרגילים ברמות שונות עם פתרונות מלאים.

כיצד גוזרים פונקציה מעריכית

ex)' = ex)  – כלומר הנגזרת של הפונקציה שווה לפונקציה.
כאשר מעריך החזקה כולל פונקציה בעצמו גוזרים את הפונקציה כפי שגוזרים פונקציה מורכבת.
(ef(x) )' = ef(x) * f ' (x)

דוגמאות בסיסיות:

  1.   f (x) = 5ex   ⇒   f ' (x) = 5ex
  2.   f (x) = ex -3x + 2  ⇒  f ' (x) = ex – 3
  3. f (x) = -3e2x   ⇒ f ' (x) =  -3 * 2e2x
    f ' (x) =  -6e2x

תרגילים

גזרו את הפונקציות הבאות:

תרגיל 1:
5ex + 2

פתרון : 

המקדם של e הוא מספר קבוע ('5').
הנגזרת של ex היא ex.
נוסחה לנגזרת מסוג זה :

לכן:            5ex + 2)'  =  5ex)

תרגיל 2:

  ex – 1.5ex + x

פתרון:

יש לנו חיבור של שלושה גורמים.
במקרה כזה , מחברים את כל נגזרות הגורמים.
הנגזרת של ex היא ex.
כאשר יש לנו הכפלה בקבוע, נפעל עפ"י הנוסחה:

לכן :      e– 1.5ex + x)'  =  e– 1.5ex + 1)

תרגיל 3:

x4 * ex

פתרון:

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = x4
u'(x) = 4x3

השנייה : v(x) = ex
v'(x) = ex

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

x4 * ex)'  =  4x3 * ex + x4 * ex)

תרגיל 4: 

(ex (2x + 4

פתרון:

יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = ex
u'(x) = ex

השנייה :  v(x) = 2x + 4
v'(x) = 2

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

(תזכורת : ).

= ex (2x + 4) ] ' =  ex (2x + 4) + 2ex ] = 2x * ex + 4ex + 2ex   =
2x * ex + 6ex =

תרגיל 5

פתרון:

זוהי מנה של 2 פונקציות.
הראשונה(במונה) : u(x) = 3ex
u'(x) = 3ex

השנייה(במכנה) :           v(x) = 1+3x
v'(x) = 3

נשתמש בנוסחה לנגזרת של מנה.
(תזכורת: ).

ונקבל :


לאחר פתיחת סוגריים וכינוס איברים:
(במכנה – נוסחת כפל מקוצר)

תרגיל 6:

e3x + 1

פתרון:

זוהי פונקציה מורכבת, המורכבת מ – 2 פונקציות :
הראשונה : פונקצית e (אקספוננט) – נסמן (f(x.
f ' (x) = ex

השנייה: הפונקציה בחזקה – g(x) = 3x + 1.
g ' (x) = 3

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :

לכן נקבל :

e3x+1)'  =  3*e3x+1)

תרגיל 7:

פתרון:

זוהי פונקציה מורכבת, המורכבת מ – 2 פונקציות :
הראשונה : פונקצית e (אקספוננט) – נסמן (f(x.
f ' (x) = ex

השנייה: הפונקציה בחזקה –   g(x) = x².
g ' (x) = 2x

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :

לכן נקבל :

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.