נגזרת מנה, נגזרת פונקציה רציונלית

אם נתונות לנו שתי פונקציות שהקשר בניהן הוא קשר של חילוק.

אז הנגזרת מתקבל על ידי שימוש בנוסחה.

נגזרת מנה

נגזרת מנה

בדף זה נלמד להשתמש בנוסחה הזו עבור מספר סוגים של נגזרות:

  1. נגזרת מנה שבה יש רק מספר במונה.
  2. נגזרת מנה עם פולינום במונה ובמכנה (כולל פרמטרים)
  3. נגזרת מנה עם פונקציית שורש במונה או במכנה.

שם אחר לנגזרת מנה הוא נגזרת של פונקציה רציונלית.

חוקי חזקות:
על מנת לפתור תרגילים הרבה פעמים נצטרך להשתמש בחוקי חזקות.
החוקים השימושיים ביותר הם:

על מנת לפתח את המכנה נשתמש בחוק האומר:
ab)n = an * bn)

על מנת לצמצם בסוף התרגיל נשתמש בחוק האומר:
am : an = am – n.

כמו כן עליכם לדעת נגזרת מכפלה לפני שאתם לומדים את דף זה.

דרך נוספת לגזור נגזרת מנה

שיטה זו מיועדת לתלמידי 4-5 יחידות המחפשים לפתור חלק מהתרגילים בדרך קצרה יותר.
אין חובה ללמוד את הגזירה בדרך הזו.

כאשר יש לנו מנה והמכנה של המנה הוא איבר בודד ניתן להפוך את הביטוי לביטוי שאינו כולל מנה אלא פולינום בלבד.
עושים זאת בעזרת כלל החזקה:
חוקי חזקות

על פי כלל זה אנו נוכל לעשות את המעברים הבאים:

לאחר שהפכנו לפולינום ניתן לגזור את הביטוי על פי הכלל של נגזרת פולינום.
אם הפונקציה היא:
f(x)=xn.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nxn-1.

עבור שלושת הפונקציות שראינו למעלה הגזירה תראה כך:
f (x) = x-2
f ' (x) = -2x-3

f (x) = 3x-7
f ' (x) = -21x-6

f (x) = 0.25ax³
f ' (x) = 0.75ax²

נגזרת מנה שבה יש רק מספר במונה

הנגזרת של מספר היא 0.
אם:
f (x) = 2
אז:
f ' (x) = 0.

לכן כאשר יש לנו רק מספר במונה  זה מצמצם את מספר האיברים שלנו.

תרגילים

נגזרת מנה

שלושת התרגילים הראשונים נפתרים בדרך הרגילה וגם על ידי הפיכה לפולינום.

תרגיל 1

הפונקציה

פתרון
f (x) = 1  פונקציית המונה.
f ' (x) = 0
g (x) = x  פונקציית המכנה.
g ' (x) = 1

נציב בנוסחה של נגזרת מנה ונקבל:

אם היינו גוזרים על פי השיטה של נגזרת פולינום היינו מקבלים:

הנגזרת

תרגיל 2

פתרון
f (x) = -2  פונקציית המונה.
f ' (x) = 0
g (x) = x  פונקציית המכנה.
g ' (x) = 1

נציב בנוסחה של פונקציית מנה ונקבל:

פתרון על ידי הפיכה לפונקציית פולינום נראה כך:

תרגיל 3

הפונקציה

פתרון
f (x) = 4  פונקציית המונה.
f ' (x) = 0
g (x) = x5  פונקציית המכנה.
g ' (x) = 5x4

נציב בנוסחה של נגזרת מנה ונקבל:

פתרון על ידי הפיכה לפונקציית פולינום נראה כך:

תרגיל 4

פתרון
הנוסחה שלנו היא:

נגזרת מנה

f (x ) = 10
f ' (x) = 0
g (x) = 3x²
g ' (x) = 6x

נגזור את הפונקציה:

הנגזרות מסומנות באדום

הנגזרות מסומנות באדום

תרגיל 5

פתרון
f (x ) = -4
f ' (x) = 0
g (x) = 2x7
g ' (x) = 14x6

הערה
מדוע לא התייחסנו למצב שבו יש רק מספר במכנה? כיצד נגזור את המצב הזה?

התשובה היא שניתן לכתוב היא 0.375 = 3/8.
ואז אנו הופכים את הפונקציה לפונקציית פולינום שקל לגזור.
h (x) = 0.375 x²
h ' (x) 0.75x

זו דרך קלה בהרבה משימוש בנוסחה של פונקציית מנה.

נגזרת מנה שבה יש פולינומים במונה ובמכנה

חזרה על נגזרת פולינום תוכלו לעשות בקישור.

תרגיל 1

פתרון

f (x ) = 5x
f ' (x) = 5
g (x) = 2x³ – 6
g ' (x) = 6x²

תרגיל 2

פתרון

f (x ) = 7x² – x
f ' (x) = 14x – 1
g (x) = 1 – x³
g ' (x) = -3x²

בתרגיל זה לא נבצע פתיחת סוגריים וכו.

תרגיל 3

הפונקציה

פתרון

הנגזרת

הנגזרת

תרגיל 4

פתרון

f (x ) = x² -2x + 1
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = x² + 5
g ' (x) = 2x

נשתמש בהוצאת גורם משותף ופירוק הטרינום

נשתמש בהוצאת גורם משותף ופירוק הטרינום

בשלב האחרון השתמשנו בפירוק הטרינום, זה לא הכרחי היה ניתן להשאיר את התשובה כמו שהיא בתחילת השורה האחרונה.

תרגיל 5

פתרון

תרגיל 6 (עם פרמטר וכפל במונה)

פתרון
אנחנו עדיין לא יודעים לגזור נגזרת מהסוג הזה.
עלינו להשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר ולפתוח סוגריים על מנת לגזור.

את הביטוי הזה אנו יודעים לגזור.
נתייחס לפרמטר a כאילו הוא מספר.

f (x ) = 4x² + 4xa + a²
f ' (x) = 8x + 4x
g (x) = a – x
g ' (x) = -1

תרגילים הכוללים נגזרת שורש

חזרה על נגזרת שורש תוכלו לעשות בקישור.

תרגיל 1

פתרון

f (x ) = 3
f ' (x) = 0
g (x) = 1 – √x
(g ' (x) = 1/(2√x

 

תרגיל 2

פתרון

שימוש בנגזרת מנה בפונקציה הזו ייתן תרגיל ארוך ולא לצורך.
ניתן להשתמש בשוויון:
x0.5 = √x

ואז נשתמש בחוק החזקה האומר:
am : an = am – n

נהפוך את הפונקציה לפשוטה יותר:

ואז נגזור:

נספח: 2 אלטרנטיבות לנגזרת מנה

אם יש לכם סבלנות לדרכים שונות שיכולות לקצר לכם את הדרך בחלק מהמקרים המשיכו לקרוא.
יש מספר קיצורי דרך למספר סוגים של פונקציות רציונליות.

סוגי הפונקציות הרציונליות הן (חלוקה שלי):

(a הוא מספר קבוע)
פונקציות מסוג זה אני מעדיף לגזור כמו פונקציות פולינום רגילות תוך שימוש בחוק החזקה

2. פונקציה שהמונה שלה מסובך והמכנה פשוט.

במקרה זה ניתן לפרק את הביטוי למספר שברים פשוטים ואז לגזור:

תרגיל 1

הפונקציה

פתרון

הנגזרת

תרגיל 2

3. כאשר המכנה של הפונקציה אינו פשוט מומלץ לגזור על פי פונקציית מנה.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.