נגזרת פולינום 4-5 יחידות

בדף נגזרת פולינום למדנו את היסודות והגענו עד לפונקציית פולינום המורכבת ממספר מרכיבים.

למשל: f (x) = 5x³ -2x + 1
f ' (x) = 15x² -2

בדף זה נתקדם הלאה ונגזור פונקציות פולינום על פי נגזרת מכפלה, מנה ונגזרת מורכבת.

תרגילים נגזרת פולינום שהיא מכפלה

כאשר יש לנו מכפלה של שתי פונקציות.
(f (x) * g (x

הנגזרת של מכפלת הפונקציות היא:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

תרגיל 1
(h (x) = 5x² (2x – 4

פתרון
f (x) = 5x²
f ' (x) = 10x
g (x) = 2x – 4
g ' (x ) = 2

נציב את הנתונים הללו בנוסחה.
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h (x) = 5x² (2x – 4
h ' (x) = 10x (2x – 4) + 2 * 5x²
20x² -40x + 10x² = 30x² – 40x

תרגיל 2
(h (x) = -3x (3x² + 2x -1

פתרון
f (x) = -3x
f ' (x) = -3
g (x) = 3x² + 2x -1
g ' (x ) = 6x  + 2

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h ' (x) = -3 (3x² + 2x -1) + (6x + 2) * (-3x
h ' (x) = -9x² -6x +3 -18x² -6x
h ' (x) = -27x² -12x + 3

תרגיל 3
(h (x) = (x² – 2x) * (-3x + 1

פתרון
f (x) = x² – 2x
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = -3x +1
g ' (x ) = -3

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h ' (x) = (2x – 2) (-3x +1) + -3 (x² – 2x
h ' (x) = -6x² +2x +6x -2 -3x² + 6x
h ' (x) = -9x² +14x -2

תרגיל 4
הוכיחו בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות כי הנגזרת של הפונקציה h (x) = 2x היא 2.

פתרון
ניתן לראות את הפונקציה h (x) = 2x
כמורכבת משתי פונקציות:
f (x) =2
f ' ( x) = 0
g ( x) = x
g ' (x) = 1

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

h ' (x)  = 0 * x + 1 * 2 = 0 +2 = 2

תרגילים בנגזרת פולינום שהיא נגזרת מנה

תרגיל 1

פתרון

f (x ) = 5x
f ' (x) = 5
g (x) = 2x³ – 6
g ' (x) = 6x²

 

תרגיל 2

פתרון

f (x ) = 7x² – x
f ' (x) = 14x – 1
g (x) = 1 – x³
g ' (x) = -3x²

בתרגיל זה לא נבצע פתיחת סוגריים וכו.

תרגיל 3

פתרון

f (x ) = x² -2x + 1
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = x² + 5
g ' (x) = 2x

נשתמש בהוצאת גורם משותף ופירוק הטרינום

נשתמש בהוצאת גורם משותף ופירוק הטרינום

בשלב האחרון השתמשנו בפירוק הטרינום, זה לא הכרחי היה ניתן להשאיר את התשובה כמו שהיא בתחילת השורה האחרונה.

תרגיל 4 (עם פרמטר וכפל במונה)

פתרון
אנחנו עדיין לא יודעים לגזור נגזרת מהסוג הזה.
עלינו להשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר ולפתוח סוגריים על מנת לגזור.

את הביטוי הזה אנו יודעים לגזור.
נתייחס לפרמטר a כאילו הוא מספר.

f (x ) = 4x² + 4xa + a²
f ' (x) = 8x + 4x
g (x) = a – x
g ' (x) = -1

 

נגזרת פולינום שהיא נגזרת מורכבת

זו הנוסחה של נגזרת מורכבת.
הנוסחה הזו מוכרת גם בשם כלל השרשרת.

תרגיל 1
f (x ) = (5x – 2)³

פתרון
יש לנו פונקציה אחת שהיא פונקציית הפולינום ופונקציה אחרת שהיא 5x -2.
אם היינו גוזרים את החזקה ומתעלמים מהנגזרת הפנימית היינו מקבלים:

אבל צריך להכפיל את את הנגזרת הזו בנגזרת של 5x -2 והיא 5.

לכן התשובה היא:

תרגיל 2

f (x ) = (4x3 + 2x)7

פתרון
אם היינו מתייחסים רק לנגזרת החזקה הנגזרת הייתה:

עלינו להכפיל את הנגזרת הזו בנגזרת של הביטוי הפנימי 4x3 + 2x.
הנגזרת היא: 12x² +2.

לכן הנגזרת היא:

תרגיל 3 נגזרת מנה מורכבת

פתרון

במכנה יש לנו פונקציה מורכבת.
f (x ) = 1 – x
f ' (x) = – 1
g (x) = (3 + 2x)²
g ' (x) = 2(3 + 2x) * 2

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.