נגזרת מורכבת

בדף זה נלמד כיצד מוצאים נגזרת מורכבת עבור פונקציית פולינום, פונקציית שורש, פונקציה טריגונומטרית, פונקציה מעריכית ופונקציית ln.

בכול המקרים הנוסחה בה נשתמש היא הנוסחה הזו.
הנוסחה הזו מוכרת גם בשם כלל השרשרת.

(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

אני מאמין שהנוסחה תהיה יותר ברורה עם פתרון התרגילים.

תרגילים

נגזרת מורכבת של פונקציית פולינום

תרגילים 1-5 הם תרגילים "רגילים".
תרגילים 6-8 משלבים נגזרת מכפלה ונגזרת מנה.

תרגיל 1
f (x ) = (x + 5)4

פתרון
החזקה היא פונקציה אחת (h (x
הביטוי שבתוך הסוגריים x + 5 הוא הפונקציה השנייה (g (x
הנגזרת על פי החזקה בלבד היא:
h ' (x) = 4(x + 5)³
אבל צריך להכפיל את את הנגזרת הזו בנגזרת של x + 5 והיא 1.

לכן התשובה היא:
f ' (x) = 1*4(x + 5)³

תרגיל 2
f (x ) = (3 – x)7

פתרון
החזקה היא פונקציה אחת (h (x
הביטוי שבתוך הסוגריים

הוא הפונקציה השנייה (g (x

הנגזרת על פי החזקה בלבד היא:
h ' (x) = 7(3 -x)6
אבל צריך להכפיל את את הנגזרת הזו בנגזרת של הביטוי שבתוך הסוגריים והיא 1-.

לכן התשובה היא:
f ' (x) = -1*7(3 -x)6 = -7(3 -x)6

תרגיל 3
f (x ) = (5x – 2)³

פתרון
החזקה היא פונקציה אחת (h (x
הביטוי שבתוך הסוגריים 5x -2 הוא הפונקציה השנייה (g (x
הנגזרת על פי החזקה בלבד היא:
h ' (x) = 3(5x – 2)²
אבל צריך להכפיל את את הנגזרת הזו בנגזרת של 5x -2 והיא 5.

לכן התשובה היא:
f ' (x) = 5*3(5x – 2)² = 15(5x – 2)²

תרגיל 4
f (x ) = (4x3 + 2x)7

פתרון
החזקה היא פונקציה אחת (h (x
הביטוי שבתוך הסוגריים 4x3 + 2x הוא הפונקציה השנייה (g (x
הנגזרת על פי החזקה בלבד היא:
h ' (x) = 7(4x3 + 2x)6
אבל צריך להכפיל את את הנגזרת הזו בנגזרת של 4x3 + 2x והיא 12x²  + 2.

לכן הנגזרת היא:
(f ' (x) = 7(4x3 + 2x)6 * (12x²  + 2

תרגיל 5 (חזקה שלילית)
f (x) = (5-3x5)-6

פתרון
(f ' (x) = -6(5-3x5)-7 * (-15x4
f ' (x) = 90x4* (5-3x5)-7

נגזרת מורכבת המשלבת נגזרת מכפלה

תרגיל 6
f (x) = 2x (3x -1)²

פתרון
הנוסחה של נגזרת מכפלה היא:
'v * u' + u* v

נניח ש:
v (x) = 2x
v ' (x) =2
u (x) = (3x -1)²
(u ' (x) = 2(3x -1)*3 = 6(3x -1

נציב את הנתונים הללו בנוסחה ונקבל:
'v * u' + u* v
f ' (x) = 2x * 6(3x -1) + 2(3x -1)²
(f ' (x) =12x (3x -1) + 2(9x² -6x +1
f ' (x) = 36x² -12x +18x² -12x +2
f ' (x) = 54x² -24x + 2

תרגיל 7
(f (x) = (4- x)³ * (2x -1
(מכוון שנגזרת זו כוללת חזקת 3 אין צורך לפשט את הנגזרת עד הסוף).

פתרון
נגדיר:
v (x) =(4-x)³
v ' (x) = 3(4 – x)² *-1 = -3(4 – x)²
u  (x) = 2x -1
u ' (x) = 2

נציב את הנתונים בנוסחה:
'v * u' + u* v
ונקבל:
(f ' (x) = (4 -x)³ *2 -3(4 – x) ² * (2x -1

תרגיל 8

פתרון
הנוסחה של נגזרת מנה היא:

נגזרת מנה

f (x) = (5x -1)²
f ' (x) = 2 (5x -1) *5 = 10(5x -1) = 50x -10
g (x) = 2x
g ' (x) = 2

נציב את הנתונים בנוסחה ונקבל:

נגזרת מורכבת של פונקציית שורש

תרגיל 1

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

*את הביטוי מצד שמאל נגזור כפונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]
כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקצית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = 3x – 1
g ' (x) = 3

*את הביטוי הימני נגזור לפי נגזרת של שורש, שהיא : .

לכן:

 

תרגיל 2

נגזרת פונקציית שורש

פתרון

זוהי פונקציה מורכבת.
נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]
כאשר במקרה שלנו:
(f(x = פונקציית השורש
f ' (x) = 1/2√x
g(x) = x² + 6x – 4
g ' (x) = 2x + 6
לכן:

נגזרת מורכבת של פונקציה טריגונומטרית

  • חזרה בנושא נגזרת טריגונומטרית כולל תרגילים נוספים בנושא נגזרת טריגונומטרית מורכבת תמצאו בקישור.

תרגיל 1
(h (x) = sin ³ (x

פתרון
f (x) = sinx
f' (x) = cos x
g (x) = ³

ביצוע הגזירה:
(h (x) = sin ³ (x
h' (x) = 3cos² x

תרגיל 2
(h (x) = cos(-6x

פתרון
f (x) = cos x
f ' (x) = -sin x
g (x ) = -6x
g ' (x) = -6

גזירת הפונקציה
(h (x) = cos(-6x
h ' (x) = – 6 (-sin 6x) = 6sin6x

תרגיל 3


פתרון

נוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

כאשר:
f(x) = sinx
f ' (x) = cosx

g(x) = 4x3 + 3x2
g ' (x) = 12x2 + 6x

לכן התשובה:

תרגיל 4

(cos (1/x

פתרון

במקרה זה, 2 הפונקציות הן :
1. f(x) = cosx
2. g(x) = 1/x

הנגזרת של (g(x :   (לפי נגזרת של מנה של פולינומים)

נוסחה לגזירת פונקציה מורכבת :
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

לכן:

נגזרת מורכבת של פונקציה מעריכית

חזרה בנושא נגזרת פונקציה מעריכית תוכלו לעשות בקישור.

תרגיל 1
h (x) = e2x – 5

פתרון
f (x ) = ey
f ' (x)  = ey
g (x) = 2x – 5
g ' (x) = 2

גזירת הפונקציה
h (x) = e2x – 5
h ' (x) = 2e2x – 5

נגזרת מורכבת של פונקציית ln

חזרה בנושא נגזרת ln כולל תרגילים נוספים של נגזרת ln מורכבת תמצאו בקישור.

חשבו את הנגזרת:

פתרון

נוסחה לגזירה מורכבת של ln :

כאשר:
g(x) = x2 + 3x
g ' (x) = 2x + 3

לכן התשובה: 
 

 

תרגיל 2
חשבו את הנגזרת:

פתרון

נוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת:
(f (g(x) ]' = f ' (g(x)) * g ' (x]

כאשר:
(g(x) = ln(2x+4
(f(x היא פונקציית החזקה (העלאה בריבוע)

את (f(x ניתן לגזור כמו פולינום : הנגזרת של x2 היא 2x.

את (g(x נגזור לפי נגזרת מורכבת של lnx :

כאשר :
h(x) = 2x + 4
h ' (x) = 2

לכן:

תשובה:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות ? פנו אליי ואתקן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.