תחומי קמירות וקעירות של פונקציה

הגדרת המושגים:

א. קעירות כלפי מעלה:
פונקציה נקראת "קעורה כלפי מעלה" בקטע מסוים, אם עבור כל 2 נקודות בקטע ,
הישר שמחבר אותן נמצא מעל הפונקציה.
ניתן לחשוב על צורה זו כעל  "קעורה".

דוגמה:
פונקציה קעורה

הפונקציה שלמעלה קעורה בקטעים AB ו CD כי הישרים AB ו CD נמצאים מעל הפונקציה.

ב. קעירות כלפי מטה (קמירות):
פונקציה נקראת "קעורה כלפי מטה" בקטע מסוים, אם עבור כל 2 נקודות בקטע ,
הישר שמחבר אותן נמצא מתחת הפונקציה.
ניתן לחשוב על צורה זו כעל "קערה הפוכה".

דוגמה:

הפונקציה שלמעלה קמורה בקטעים AB ו CD כי הישרים AB ו CD נמצאים מתחת לפונקציה.


שינוי תחומי קעירות וקמירות
פונקציה יכולה לעבור מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה, ולהפך.

כיצד מוצאים תחומי קעירות וקמירות

  • אם בנקודה מסוימת מתקיים f " (x) > 0 , אזי בנקודה זו הפונקציה קעורה כלפי מעלה.
  • אם בנקודה מסוימת מתקיים f " (x) < 0  , אזי בנקודה זו הפונקציה קעורה כלפי מטה (קמורה).
  • אם בנקודה כלשהי מתקיים f " (x) = 0 , אז נקודה זו חשודה כנקודת פיתול, נרחיב בהמשך הדף.

תרגיל 1
מצאו את תחומי הקמירות והקעירות של הפונקציה
f(x) = x3

פתרון
נגזור את הפונקציה פעמיים.
f ' (x) = 3x2
f " (x) = 6x

הפונקציה קעורה כלפי מעלה כאשר הנגזרת השנייה חיובית.
f " (x) = 6x > 0
x > 0
לכן עבור x > 0 הפונקציה קעורה כלפי מעלה.

הפונקציה קעורה כלפי מטה (קמורה) כאשר
f" (x) = 6x < 0
x < 0
לכן עבור x < 0 הפונקציה קעורה כלפי מטה (קמורה).

תרגיל 2
מצאו את תחומי הקעירות והקמירות של הפונקציה
f (x) = 4x³  – 6x²

פתרון
נגזור את הפונקציה פעמיים.
f ' (x) = 12x² – 12x
f " (x) = 24x – 12

עכשיו עלינו לפתור אי שוויון.
הפונקציה קעורה כלפי מעלה כאשר הנגזרת השנייה חיובית.
f " (x) = 24x – 12 > 0
x > 0.5
במקרה זה הפונקציה קעורה כלפי מעלה.

f " (x) = 24x – 12 < 0
x < 0.5
במקרה זה הפונקציה קעורה כלפי מטה (קמורה).

תרגיל 3
מצורפים שני גרפים.
הגרף באדום הוא הגרף של (f " (x והגרף בשחור הוא הגרף של (g "(x.
מהם תחומי הקעירות והקמירות של הפונקציות (f(x ו (g(x?
מה הם נקודות הפיתול?

פתרון
עבור (f(x
הפונקציה קעורה כאשר
f " (x) > 0
וזה קורה כאשר גרף הפונקציה מעל ציר ה x ב:
x > -4

הפונקציה קמורה כאשר
f " (x) < 0
וזה קורה כאשר גרף הפונקציה מעל ציר ה x ב:
x < – 4

לפונקציה יש נקודת פיתול כאשר היא עוברת מקעירות לקמירות ב:
x = -4

עבור (g(x
הפונקציה קמורה כאשר גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x.
זה קורה בכול x מלבד x = 2.

לפונקציה זו אין תחומי קעירות ואין נקודת פיתול.
בנקודה x = 2 הפונקציה לא קעורה ולא קמורה אך זו לא נקודת פיתול.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.