סדרה הנדסית

בדף זה נלמד על סדרה הנדסית.
בדף הזה נעשה היכרות עם נוסחאות הסדרה ונפתור תרגילים בעיקר בנושא של נוסחת האיבר הכללי.

על מנת ללמוד את הנושא של סכום סדרה הנדסית וסכום סדרה הנדסית מתכנסת יש דפים נפרדים.

דפים בנושא סכום סדרה הנדסית:

  1. שיעור 1: סדרה הנדסית סכום האיברים במקומות האחרונים.
  2. שיעור 2: סדרה הנדסית סכום האיברים הזוגיים או האי זוגיים.
  3. שיעור 3: סכום סדרה הנדסית מתכנסת (נושא חשוב!)
  4. סכום סדרה הנדסית (דף מסכם).

עבור תלמידי 3 יחידות יש את הדף סדרה הנדסית שאלון 381.

נוסחאות סדרה הנדסית

נוסחת האיבר הכללי:    an=a1qn-1

נוסחת סכום סדרה הנדסית

סכום סדרה הנדסית

נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית

סכום סדרה הנדסית אינסופית

תרגילים

תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים להכרת הנוסחה.
תרגילים 3-5 הם תרגילים קשים יותר, שלרוב דורשים פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים.
תרגיל 6 הוא תרגיל קצת יותר קשה.

תרגיל 1
כתבו את הנוסחה לאיבר הכללי ונוסחת סכום הסדרה ההנדסית עבור הסדרה     32,   8,   2.

פתרון
נשתמש בסדרה על מנת לזהות את:
a1   האיבר הראשון של הסדרה.
q   מנת הסדרה.

האיבר הראשון הוא 2.
אנו רואים שכל איבר גדול מקודמו פי 4, לכן q=4.

נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא:
an=a1qn-1
an = 2 * 4n – 1

נוסחת הסכום של סדרה הנדסית:
סכום סדרה הנדסית

סכום סדרה הנדסית

תרגיל 2
כתבו את הנוסחה לאיבר הכללי ונוסחת סכום הסדרה ההנדסית עבור הסדרה     0.2-,   1-,   5-.

פתרון
רואים כי:
a1 = -5
כל איבר קטן מקודמו פי 5.
לכן מנת הסדרה היא:
q = 1/5 = 0.2

לכן משוואת האיבר הכללי היא:
an=a1qn-1
an = -5 * 0.2n – 1

משוואת הסכום היא:
סכום סדרה הנדסית

תרגיל 3  (שימוש בנוסחת האיבר הכללי)
אלו שני מספרים ניתן להוסיף למספרים 4 ו- 500 כך שתיווצר סדרה הנדסית עם 4 איברים.

פתרון
נתון לנו כי:
a1 = 4
a4 = 500

נציב את הנתונים הללו במשוואת האיבר הכללי ונמצא את q.
n = 4
an=a1qn-1


מצאנו שמנת הסדרה היא 5.
עכשיו ניתן למצוא את a2, a3.
a2 = a1 * q = 4 * 5 = 20
a3 = a2 * q = 20 * 5 = 100

תשובה: שני האיברים הנוספים הם a2  = 20,  a3 = 100.

דרך נוספת לפתור את התרגיל.
איברים סמוכים בסדרה ההנדסית מקיימים:

a1 = 4  נתון.
a2 = a1 *q = 4q
a3 = a1q² = 4q²
a4 = 400  נתון.

נציב את הנתונים במשוואה ונקבל:


16q³ = 2000
q³ = 125
q = 5

נמצא את a2, a3
a2 = 4 * 5 = 20
a3 = 20 * 5 = 100

תשובה: ארבעת האיברים של הסדרה ההנדסית הם:   500, 100, 20,  4.

תרגיל 4 (שימוש בנוסחת האיבר הכללי)
בסדרה הנדסית האיבר החמישי הוא 5  והאיבר השלישי הוא 20 מצאו את האיבר הראשון.

פתרון
הנתונים הם:
a3 = 20
a5 = 5.

על פי נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית:
a5 = a3 * q²
q² * 20 = 5  / : 20
q² = 0.25
q = 0.5

נמצא את a1
a1 * q² = a3
a1 * 0.5² = 20
0.25a1 = 20  / *4
a1 = 80

תרגיל 5 (שימוש בנוסחת האיבר הכללי)
בסדרה הנדסית האיבר השני הוא 18- והאיבר השביעי הוא 4374-.
מצאו את האיבר האחרון אם בסדרה 10 איברים.

פתרון
עם המידע על כל אחד מהאיברים ניתן לבנות משוואה.
כך שנוכל לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים.
נגדיר:
a1 האיבר הראשון בסדרה.
q  מנת הסדרה.

לכן:
a2 = a1 * q = -18
a7 = a1 q6 = -4374

נחלק את משוואה מספר 2 במשוואה מספר 1.
מותר לנו לעשות את הפעולה הזו כי אנו מחלקים את שני צדדי משוואה 2 באותו מספר.
ואנו יודעים שאנו לא מחלקים במספר 0 אלא במספר 18-.

לאחר פעול החילוק נקבל:
q5 =  243
נמצא בעזרת מחשבון:
q = 3

על מנת למצוא את a1 נציב במשוואה מספר 1 שלמעלה.
a2 = a1 * q = -18
a1 * 3 = -18   / : 3
a1 = -6

תשובה: a1 = -6,  q = 3.

הערה:
מי שלא מעוניין לחלק את המשוואות על מנת להגיע לפתרון יכול לפתור את התרגיל בעזרת בידוד אחד המשתנים והצבתו במשוואה האחרת.
a2 = a1 * q = -18
a7 = a1 q6 = -4374

נבודד את a1 במשוואה הראשונה.
a1 = -18 / q
נציב במשוואה השנייה:
q6 (-18 / q) = -4374
18q5= -4374-
q5 =  243
נמצא בעזרת מחשבון:
q = 3

תרגיל 6 (תכונת איברים סמוכים בסדרה הנדסית, שתי משוואות)
בסדרה הנדסית האיבר השלישי קטן ב- 15 מהאיבר הראשון.
האיבר הרביעי קטן ב- 60 מהאיבר השני.
מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.

פתרון
הרעיון: בשאלה זו יש לנו שני נעלמים a1, q. נבנה שתי משוואות בעזרת שני המשפטים שיש לנו בשאלה.

האיבר השלישי קטן ב- 15 מהאיבר הראשון.
נגדיר:
a1 האיבר הראשון
q מנת הסדרה.
לכן:
a3 = a1 – 15

האיבר הרביעי קטן ב- 60 מהאיבר השני.
a4 = a1q – 60

איברים סמוכים בסדרה ההנדסית מקיימים:
a2 : a1 = a4 : a3

qa1 – 15q = qa1 – 60
15q = 60  / :15
q = 4

מציאת a1
נציב q = 4 במשוואה a3 = a1 – 15
a1q² = a1 -15
16a1 = a1 -15  / -a1
15a1 = – 15  / : 15
a1 = -1

תשובה: q = 4, a1 = -1.

תרגיל 7
בסדרה שבה 6 איברים סכום האיברים השני והשלישי הוא 20 וסכום שני האיברים האחרונים הוא 1280
חשבו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.

פתרון
נגדיר:
a1  האיבר הראשון בסדרה.
q   מנת הסדרה.

המשוואות של הבעיה הן:
a2 + a3 = a1q + a1q² = 20
נוציא גורם משותף ונקבל:
a1q (1 + q ) = 20   (זו משוואה 1).

המשוואה השנייה היא:
a5 + a6 = a1q4 + a1q5 = 1280
a1q4 (1 + q) =1280   (זו משוואה 2).

נחלק את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה.
מותר לנו לעשות זאת משום ששני צדדי המשוואה שווים ומשום שאנו יודעים שצדדי המשוואה אינם שווים 0.

q³ = 1280 :20 = 64
q = 4

מציאת a1
נציב q = 4 במשוואה:
a1q (1 + q ) = 20
a1 * 4 (1 + 4) =20
4a1 * 5 = 20
20a1 = 20   / : 20
a1 = 1

תשובה: a1 = 1,  q = 4.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.