טרפז

טרפז הוא מרובע אשר לו שתי צלעות נגדיות מקבילות ושתי צלעות אחרות שאינן מקבילות.

בטרפז שתי הצלעות המקבילות נקראות "בסיסי הטרפז" ושתי האחרות "שוקי הטרפז".
זוג הזוויות הסמוכות לכל אחד מהבסיסים נקרא "זוויות בסיס".

בסיסים, שוקיים וזוויות בסיס של הטרפז

בסיסים, שוקיים וזוויות בסיס של הטרפז

בדף זה:

  1. איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז.
  2. תכונות הטרפז.
  3. שטח טרפז.
  4. קטע אמצעים בטרפז.
  5. טרפז שווה שוקיים.
  6. טרפז משפטים.
  7. 9 מצבים שכדאי להכיר בשאלות על טרפז.

1. איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז

על מנת להוכיח שמרובע הוא טרפז יש להוכיח שהמרובע כולל שתי צלעות מקבילות ושתי צלעות שאינן מקבילות.

ואיך מוכיחים שישרים הם מקבילים?
מוצאים זוויות מתאימות או מתחלפות שוות, זווית חד צדדיות המשלימות ל- 180 מעלות.

אם הנושא לא ברור לכם הוא מוסבר בפירוט בדף הוכחת טרפז.

2. תכונות הטרפז

1.סכום זוויות צמודות שאינן על אותו הבסיס הוא 180 מעלות.
לדוגמה: בשרטוט השמאלי סכום שתי הזוויות האדומות הוא 180 מעלות.
וסכום שתי הזוויות הירוקות הוא 180 מעלות.
תכונה זו נובעת מכך ששני הזוויות הללו הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.

2. קטע אמצעים בטרפזקטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.

תכונות הטרפז

שימו לב שזווית הבסיס אינן שוות אלא אם אמרו שהטרפז הוא שווה שוקיים.

3. שטח טרפז

שטח טרפז שווה לסכום הבסיסים כפול הגובה לחלק בשניים.

שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז כפול גובה הטרפז לחלק ב 2

תרגילים ומידע נוסף בדף שטח טרפז.

4. קטע אמצעים בטרפז

קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכום הבסיסים.
המשפט ההפוך: קטע היוצא מאמצע שוק ומקביל לבסיס מגיע לאמצע הצלע השנייה ושווה למחצית סכום הבסיסים.

5. טרפז שווה שוקיים

טרפז שזוויות הבסיס שלו שוות הוא טרפז שווה שוקיים.

התכונות המיוחדות שלו הן שאלכסוניו שווים, וזוויות הבסיס שלו שוות (ליד כל אחד משתי הבסיסים). המשפטים המדויקים נמצאים בהמשך הדף.

  • תכונות נוספות של טרפז שווה שוקיים שכדאי לדעת אך צריך להוכיח בבחינה + תרגילים ניתן למצוא בדף טרפז שווה שוקיים.

תכונות ומשפטים של טרפז שווה שוקיים

6. טרפז: סיכום המשפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה

הסבר למשפטי הטרפז וטיפ כיצד לזכור אותם

סיכום המשפטים בהם ניתן להשתמש ללא הוכחה. עבור טרפז וטרפז שווה שוקיים.

  1. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  2. טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
  3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  4. טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים
  5. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
  6. בטרפז , ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה (כלומר הוא קטע אמצעים).

6. תרגיל בסיסי בנושא טרפז, תרגיל שכולם צריכים לדעת לפתור

תרגיל זה כולל בניית משוואה מגדלי זוויות טרפז ואינו כולל שימוש במשפטי הטרפז. תרגילים מהסוג הזה מופיעים הרבה מאוד פעמים.
עבור תלמידי כיתה ח ומעלה תרגיל מסוג זה הוא חובה לדעת.

7. 9 מצבים שכדאי להכיר בשאלות על טרפז

מצורפים מצבים ותכונות של טרפז שהיכרות איתם מראש תעזור לכם לפתור שאלות.
על מנת להשתמש בתכונות הללו במבחן עליכם להוכיח אותם. לא ניתן להשתמש במשפטים הבאים כמשפט בלי הוכחה.
המצבים מופיעים בוידאו ולאחר מיכן גם בטקסט.

מצבים בטרפז שכדאי להכיר

1. העברת ישר מקביל לשוק הטרפז יוצרת מקבילית בתוך הטרפז

אם בטרפז מעבירים קו מקביל לאחד משוקי הטרפז נוצרת מקבילית.
החשיבות של זה היא גם בגלל שכך אנו יוצרים מצב שבו חלק מהבסיס הגדול שווה באורכו לבסיס הקטן של הטרפז.

העברת קו מקביל לשוק הטרפז יוצרת מקבילית בתוך הטרפז

הוכחה:

  1. AE מקביל ל BC. נתון.
  2. AB מקביל ל EC. הבסיסים בטרפז (או קטעים מיהם) מקבילים זה לזה.
  3. ABCE מקבילית. מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.

2. בטרפז שווה שוקיים העברת ישר מקביל לשוק הטרפז יוצרת מקבילית + משולש שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים נוספת עוד תכונה: משולש שווה שוקיים.

בטרפז שווה שוקיים העברת ישר מקביל לשוק הטרפז יוצרת מקבילית + משולש שווה שוקיים

הוכחה:

  1. בסעיף הקודם הוכחנו ש ABED מקבילית.
  2. לכן BE=AD.
  3. AD=BC. נתון ABCD טרפז שווה שוקיים.
  4. BE=AD=BC. נובע מ 2,3. הוכחנו כי משולש BEC הוא משולש שווה שוקיים.

3. העברת שני גבהים בטרפז יוצרת מלבן

ובטרפז שווה שוקיים יוצרת גם שני משולשים חופפים על פי ז.צ.ז. AED ≅ BFC.

העברת שני גבהים בטרפז יוצרת מלבן

הוכחה:

  1. AEF = ∠BFE = 90∠ נתון.
  2. EAB = 180-90 = 90∠ זווית חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות (היא חד צדדית עם AEF=90∠).
  3. ABFE מלבן. מרובע שבו 3 זוויות השוות 90 מעלות הוא מלבן.

4. חוצה זווית מקודקוד הטרפז יוצר משולש שווה שוקיים

תכונה זו נובעת מכך שחוצי הזווית חותך את שני הישרים המקבילים ויוצר זוויות מתחלפות שוות.

חוצי זווית טרפז יוצר משולש שווה שוקיים

הוכחה:

  1. BAE = ∠DAE∠  נתון AE חוצי זווית.
  2. BAE = ∠DEA∠ זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. AD=DE. אם במשולש זוויות הבסיס שוות אז המשולש שווה שוקיים.

5. שני חוצי זווית היוצאים מקודקודים הנמצאים על אותה שוק יוצרים משולש ישר זווית

תכונה זו נובעת מכך שסכום שתי הזוויות הנמצאות על אותו שוק הוא 180 מעלות. כאשר חוצים אותם נשארים עם 90 מעלות.

שני חוצי זווית היוצאים מזוויות הנמצאות על אותה שוק יוצרים משולש ישר זווית

הוכחה:

  1. BAE = ∠DAE = X∠  נתון AE חוצי זווית.
  2. D = 180-2X∠. זווית D משלימה את זווית A ל 180 מעלות (זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים).
  3. EDA = ∠EDC = 90-X∠  נתון DE חוצה זווית.
  4. AED = 180 – X – (90-X) = 90∠

6. כאשר נותנים לכם יחס בין זוויות או צלעות עליכם להגדיר את אחת הזוויות / צלעות בעזרת משתנה ולמצוא בעזרתה משוואה

זה כלל שנכון בהרבה שאלות והרבה צורות וגם בטרפז.
מגדירים זווית אחת, מגדירים בעזרתה זוויות אחרות ובונים משוואה בעזרת נתוני השאלה.

שאלה לדוגמה:

בטרפז ABCD (הצלעות AB || CD) ידוע כי AB= BC וגם DAC = 70∠.
B =1.5 ∠D∠

חשבו את זוויות הטרפז.

טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר D=X∠. לכן B = 1.5X∠.
  2. DCA = 110-X∠ זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש DCA.
  3. CAB = ∠DCA = 110-X∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  4. BCA = ∠CAB = 110-X∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים BAC שוות זו לזו.
  5. 1.5x + 110-x + 110-x = 220-0.5x = 180 סכום הזוויות במשולש CAB הוא 180 מעלות.
  6. מהמשוואה נקבל x=80 ומשם ניתן להמשיך לכל זוויות הטרפז.

7. האלכסונים בטרפז יוצרים משולשים דומים

התכונה נובעת ממציאת זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.

האלכסונים בטרפז יוצרים משולשים דומים

הוכחה:

  1. הזוויות האדומות שוות והירוקות שוות על פי המשפט "זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".
  2. DOC ∼ BOA. דמיון משולשים על פי ז.ז.

תלמידי כיתה י אמורים להכיר את צורת "שעון החול" מההרחבה השנייה למשפט תאלס.

8. מכוון ש:
1) האלכסונים יוצרים משולשים דומים.
2) למשולשים סמוכים יש גובה משותף

אז אם נדע את השטח של אחד המשולשים ואת יחס הדמיון בין המשולשים נוכל לחשב את השטח של כל אחד מהמשולשים ואת שטח הטרפז כולו.

נניח כי בשרטוט הנוכחי יחס הדמיון בין AOB ל COD הוא 3. ושטח משולש AOB הוא X.

מכוון שהאלכסונים יוצרים משולשים דומים אם נדע שטח של משולש אחד ואת יחס הדמיון נוכל לדעת את השטח של כל אחד מהארבעת המשולשים

AOB ∼ COD דמיון המשולשים.

חישוב שטח משולש BOC:
מהקודקוד B למשולש BOC ולמשולש BOA יש את אותו הגובה לצלעות AO ו OC. ומכוון ש OC= 3AO אז שטח משולש BOC גדול פי 3 משטח משולש AOB.

חישוב שטח משולש AOD:
בדיוק אותו דבר. DO = 3OB ולכן שטח משולש AOD גדול פי 3 משטח משולש AOB.

חישוב שטח משולש COD:
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. במקרה זה 3²=9.
שטח משולש COD הוא פי 9 משטח משולש AOB.

9. חותכים של צלעות הטרפז הנפגשים בנקודה אחת יוצרים 0 או 2 משולשים דומים

תכונה זו נובעת מזוויות מתאימות או מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.

חותכים של בסיסי הטרפז שנפגשים בנקודה אחת יוצרים 0, 2 או 3 משולשים דומים

 

עוד באתר:

  1. בנושא טרפז: טרפז שווה שוקיים, טרפז ישר זווית, טרפז שטח, טרפז אלכסונים, איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז.
  2. מרובעים נוספים: מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע.
  3. מתמטיקה כיתה ט – סיכום החומר הנלמד בשנה זו + תרגילים.

תרגילים

מצורפים 4 תרגילים המכסים פעולות בסיסיות שיתכן ותדרשו אליהם בטרפז. חישוב זוויות, חפיפת משולשים, דמיון משולשים וקטע אמצעים בטרפז.

תרגיל 1: זוויות בטרפז

בטרפז ABCD מעבירים אלכסונים הנפגשים בנקודה O.
ODC= 30, ∠AOD=80∠.
חשבו את זוויות:
OBA∠
OCD∠
OAB∠

אלכסונים בטרפז שרטוט התרגיל

פתרון
חישוב OBA
OBA = ∠ODC=30∠ – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו (הזווית המתחלפת היא ODC∠).

חישוב OCD
DOC= 180-80=100∠ זווית צמודה לזווית AOD∠ ומשלימה אותה ל 180 מעלות.
OCD = 180-100-30=50∠  – משלימה ל 180 מעלות במשולש OCDD.

חישוב OAB
OAB = 50∠  – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו (הזווית המתחלפת היא OCD∠).

פתרון התרגיל בתמונות

את התמונות מלווים חץ ירוק וסימן שאלה אדום.
החץ הירוק מצביע על הנתון החדש שלמדנו בשאלה הזו.
סימן השאלה האדום מראה על מה שנלמד בשקופית הבאה. נסו לחשב בעצמכם את הגודל הזה.

« 1 של 5 »

תרגיל 2: זוויות בטרפז

בטרפז ABCD מתקיים:
BD=DC,  ∠DBC = 40,   ∠BAD = 110.
חשבו את הזוויות הנוספות בטרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נשלים זוויות במשולש שווה שוקיים DBC

  1. CBD = ∠BCD = 40:2=70∠  זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ומשלימות ל 180 מעלות במשולש BDC.

שלב 2: נשלים זווית במשולש DBA

  1. ABD = ∠CDB = 40∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. ADB = 180-110-40=30∠ סכום זוויות משולש BAD הוא 180 מעלות.

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 4 »

תרגיל 3: תכונות טרפז

בטרפז ABCD מעבירים ישר AE כך ש AE ΙΙ BC.
הוכיחו כי מרובע ABCE הוא מקבילית.

טרפז, שרטוט התרגיל.

פתרון

  1. AB ΙΙ CE – נתון מרובע ABCD טרפז.
  2. AE ΙΙ BC – נתון.
  3. מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.

תרגיל 4: תכונות טרפז

בטרפז ABCD מעבירים ישר AE המקביל ל BC. וישר BF המקביל ל AD.
הוכיחו: CE=DF.

שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נוכיח AB = CE

  1. ABCE הוא מקבילית. מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  2. AB= CE צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

שלב 2: נוכיח AB=DF וגם CE = DF

  1. ABFD הוא מקבילית. מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  2. AB=DF צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. CE = DF נובע מסעיף 2 בשני החלקים.

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 4 »

תרגיל 5

בטרפז ABCD מעבירים חוצי זווית AE.
הוכיחו כי משולש AED הוא משולש שווה שוקיים.

טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר DAE = ∠EAB= X∠ ידוע כי AE חוצי זווית.
  2. AED = ∠ EAB = X∠ זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. AD = DE במשולש ADE זוויות הבסיס שוות זו לזו ולכן הוא משולש שווה שוקיים.

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 3 »

תרגיל 6

במרובע ABCD הישר DE הוא חוצה זווית.
AE=AD.
הישרים AD ו BC אינם מקבילים.
הוכיחו כי מרובע ABCD הוא טרפז.

טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נוכיח כי AB מקביל ל DC.

  1. נגדיר ADE = ∠ CDE= X∠ נתון כי DE חוצי זווית.
  2. AED = ∠ADE∠ זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ADE שוות זו לזו.
  3. CDE = ∠AED = X∠ נובע מ 1 ו 2.
  4. AB מקביל ל DC. אם זוויות מתחלפות שוות זו לזו (CDE = ∠AED = X∠)  אז הישרים מקבילים.

שלב 2: נוכיח כי המרובע ABCD הוא טרפז

  1. הישרים AD ו BC אינם מקבילים (נתון).
  2. ABCD טרפז. מרובע שיש בו זוג אחד של ישרים מקבילים וזוג אחר של ישרים שאינם מקבילים הוא טרפז.

פתרון התרגיל בתמונות

תרגיל 7

הוכיחו כי בטרפז סכום אורכי האלכסונים גדול יותר מסכום אורכי השוקיים.

טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

המפתח לפתרון תרגיל זה הוא המשפט האומר כי "במשולש סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית".

  1. במשולש AOD מתקיים: AO+OD > AD.
  2. במשולש BOC מתקיים BO + OC > BC.
  3. AO + OD + BO + OC = AC + BD > AD+ BC נובע מ 1 ו 2. (מש"ל).

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 5 »

תרגיל 8

במלבן ABCD מעבירים את הישרים DE ו CE הנפגשים מחוץ למלבן בנקודה E.
DE=CE.
הישר DE חותך את הצלע AB בנקודה F, והישר CE חותך את AB בנקודה G.
הוכיחו כי מרובע DFGC הוא טרפז שווה שוקיים.

שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נוכיח שהמרובע DFGC הוא טרפז

  1. FG מקביל ל DC. צלעות נגדיות במלבן (או חלק מיהן) מקבילות אחת לשנייה.
  2. DF ו CG הן צלעות לא מקבילות כי הן נפגשות בנקודה E.
  3. DFGC הוא טרפז. מרובע שיש בו זוג צלעות מקבילות הוא טרפז.

שלב 2: נוכיח שהטרפז הוא טרפז שווה שוקיים

  1. EDC משולש שווה שוקיים (נתון).
  2. EDC = ∠ECD∠ במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס שוות.
  3. DFGC הוא טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו זוויות הבסיס שווה הוא טרפז שווה שוקיים.

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 5 »

תרגיל 9: הוכחה של טרפז שווה שוקיים

בטרפז ABCD מתקיים ACD = ∠BDC∠.
הוכיחו כי הטרפז הוא שווה שוקיים.

טרפז, שרטט התרגיל

פתרון

נוכיח כי האלכסונים של הטרפז  שווים. ואם האלכסונים שווים אז הטרפז שווה שוקיים.

שלב 1: נוכיח כי משולש ODC הוא משולש שווה שוקיים

  1. OD = OC במשולש מול זוויות שוות נמצאו צלעות שוות. (חלק יכתבו משולש שבו זוויות הבסיס שוות הוא שווה שוקיים).

שלב 2: נוכיח כי משולש ABO הוא שווה שוקיים

  1. ACD = ∠BAC, ∠BDC =∠ABD∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. AO=BO  במשולש מול זוויות שוות נמצאו צלעות שוות.

שלב 3: נחבר את השוויונות הקודמים ונוכיח כי האלכסונים שווים

  1. CA = CO + AC
  2. DB = DO + OB
  3. CA=DB נובע מ 1,3,4,5.
  4. ABCD טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו האלכסונים שווים הוא טרפז שווה שוקיים.

פתרון תרגיל בתמונות

« 1 של 6 »

תרגיל 10: דמיון משולשים בסיסי בטרפז

בטרפז ABCD מעבירים את האלכסונים AC ו BD הנפגשים בנקודה O.

  1. הוכיחו כי AOB ∼ COD.
  2. אם ידוע כי DC : AB = 3. מה היחס של AC : OA.

טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: הוכחת דמיון משולשים

  1. OAB = ∠OCD∠ זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. OBA = ∠ODC∠ זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. AOB ∼ COD משולשים דומים על פי ז.ז.

חלק שני: שימוש ביחס הדמיון

  1. DC ו AB הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים.
    לכן הנתון  DC : AB = 3 אומר לנו שיחס הדמיון בין המשולשים הוא 3.
  2. לכן OC : OA = 3
  3. אם OA = X אז OC=3X
  4. AC = X+3X = 4X

תשובה: היחס AC : OA  הוא 4.

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 7 »

תרגיל 11

נתון טרפז ABCD. ידוע כי DC / AB = 4.
שטח משולש ACD הוא 40 סמ"ר.
חשבו את שטח טרפז ABCD.

טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נשים לב כי שטח הטרפז הוא סכום שטחי המשולשים ACD+ CAB.
  2. על מנת לפתור את התרגיל נעביר גבהים במשולשים ACD ו CAB. אלו גם גבהים לבסיסי הטרפז.

שרטוט הגבהים בטרפז

נעביר את הגובה AE לצלע DC. ואת הגובה CF לצלע AB.

שלב 1: נוכיח כי הגבהים AE ו- CF שווים זה לזה

  1. EAF = 90∠ זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות.
  2. AFCE מלבן. מרובע ששלוש זוויותיו שוות 90 מעלות הוא מלבן.
  3. AE= CF צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.

שלב 2: מציאת היחס בין שטחי המשולשים  ACD ו CAB

נשתמש בשוויון AE= CF ונקבל

נשתמש בשוויון AE= CF ונקבל

מכוון שבמשולשים ACD ו CAB אורך הגבהים שווה.
היחס בין הבסיסים AB ו- DC הוא זה שקובע את היחס בין שטחי המשולשים.

לסיכום: שטח משולש SACD = 40 גדול פי 4 משטח משולש SCAB.

SCAB = 40:4=10.

שלב 3: חישוב שטח הטרפז כולו

SABCD = SCAB + SACD = 10+40=50.
תשובה: שטח הטרפז הוא 50 סמ"ר.

תרגיל 12: חפיפת משולשים בטרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים ABCD מעבירים שני אלכסונים הנפגשים בנקודה O. הוכיחו:

  1. הוכיחו ΔACD ≅ ΔBDC
  2. OCD=∠ODC∠
  3. SBOC = SAOD

אלכסונים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

סעיף א: הוכחה ש ΔACD ≅ ΔBDC

  1. AC=BD  – האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה.
  2. DC – צלע משותפת.
  3. AD=BC – השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  4.  ΔACD ≅ ΔBDC – חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה צ.ז.צ.

סעיף ב:  OCD=∠ODC∠

  1. OCD=∠ODC∠ – זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

סעיף ג: נוכיח SBOC = SAOD

  1. SACD= SBDC – שטחים של משולשים חופפים שווים זה לזה.
  2. SBOC = SBCD – SOCD
    SAOD = SACD – SOCD
  3. משלושת המשוואות הרשומות למעלה נובע:
  4. SACD= SBDC.

ניתן לרשום את השוויון גם כמשוואה אחת בצורה הזו:
SBOC = SBCD – SOCD = SACD – SOCD = SAOD

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 8 »

תרגיל 13

במשולש שווה שוקיים ABC (הצלעות AB=AC) מעבירים שני גבהים BD, CE.
BD⊥AC,   CE⊥AB.
הוכיחו כי המרובע DEBC הוא טרפז שווה שוקיים.

טרפז, שרטט התרגיל

פתרון
פתרון תרגיל זה מתבסס על חפיפת משולשים.
תשאלו: איך אנחנו צריכים לדעת שעלינו לבצע חפיפת משולשים?
והתשובה היא שבכמעט כל מקום שניתן לבצע חפיפת משולשים גם צריך לבצע חפיפת משולשים.
לאחר החפיפה תראו אלו שוויונות חדשים נוצרים לכם וכיצד השוויונות הללו מקדמים אותכם אל הפתרון.

בשלב ראשון: נוכיח חפיפת משולשים DBC ≅ ECB

  1. BDC = ∠CEB= 90∠ נתון.
  2. B=∠C∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. ECB = 180-90-∠B∠  סכום הזוויות במשולש ECB שווה ל 180 מעלות.
  4. DBC = 180-90-∠C∠ סכום הזוויות במשולש DBC שווה ל 180 מעלות.
  5. ECB = ∠DBC∠ נובע מ 3,4.
  6. BC צלע משותפת למשולשים ECB ו DBC.
  7. DBC ≅ ECB חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז. (נובע מ 2,5,6).

פתרון סעיף א בעזרת תמונות

« 1 של 7 »

חלק שני, נוכיח טרפז:
(על ידי מציאת זוויות מתאימות שוות  C =  ∠ADE∠).

  1. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. AB=AC נתון.
  3. AD = AC – DC
    AE = AB- EB
    AD = AE
    ולכן ADE הוא משולש שווה שוקיים עם זוויות בסיס שוות.
במשולש שווה שוקיים ABC

במשולש שווה שוקיים ABC

במשולש שווה שוקיים ADE

במשולש שווה שוקיים ADE

 C  = ∠ADE∠
5. CB מקביל ל DE. אם זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים (נובע מ 4).
6. CD ו BE אינם מקבילים כי הם נפגשים בנקודה A.
7. DEBC טרפז. מרובע שיש בו זוג צלעות מקבילות וזוג צלעות שאינן מקבילות הוא טרפז.

פתרון סעיף ב בעזרת תמונות

« 1 של 5 »

חלק שלישי, נוכיח טרפז שווה שוקיים:

  1. DBC ≅ ECB הוכחנו בחלק הראשון.
  2. CD = BE צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  3. DEBC טרפז שווה שוקיים.

תרגיל 14: דמיון משולשים בטרפז

בטרפז  ABCD מעבירים שני אלכסונים הנפגשים בנקודה O. הוכיחו:

  1. ΔAOB ∼ ΔDOC
  2. AO*DC = AB *DO
  3. ידוע כי 4AO= AC.
    אם AB=5 ס"מ. מה אורכו של CDD?
  4. אם שטח משולש OCD הוא 27 סמ"ר. מה שטחו של משולש ABO?

אלכסונים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון
סעיף א הוכחת דמיון משולשים  ΔAOB ∼ ΔDOC

  1. ACD = ∠BAC∠  – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. BDC = ∠ABD∠  – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ΔAOB ∼ ΔDOC דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב' הוכחה ש AO*DC = AB *DO
על פי הדמיון:
AO / DO = AB / DC
AO*DC = AB *DO

סעיף ג, מציאת CD.

  1. נמצא את יחס הדמיון בין משולשים ΔAOB ו ΔDOC.
    אם AO=X אז AC=4X
    OC = AC-AO=3X
  2. יחס הדמיון הוא:
    OC :AO = 3X/X=3
  3. לכן DC = 3*AB=15
    תשובה: DC=155 סמ"ר.

סעיף ד

יחס השטחים בין משולשים דומים הוא ריבוע יחס הצלעות.
לכן יחס השטחים הוא 3²=9.
SAOB = SCOD / 9 =27/9=3
תשובה: שטח משולש AOB הוא 33 סמ"ר.

תרגיל 15

בטרפז ABCD הבסיס הגדול גדול פי 3 מהבסיס הקטן 3AC=CD.
קטע האמצעים בטרפז הוא EF.
אלכסוני הטרפז AC ו BD חותכים את קטע האמצעים בנקודות G ו H בהתאמה.
פי כמה גדול הבסיס הקטן AB מהקטע HG?

טרפז, שרטוט התרגיל.

פתרון

שלב 1: נגדיר את הקטעים EH,  GF באמצעות הקטע AB

  1. נגדיר AB=2X ס"מ.
  2. במשולש ABD הישר EH הוא קטע אמצעים – ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
  3. EH=0.5AB=X – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.
  4. במשולש ABC הישר GF הוא קטע אמצעים – ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
  5. GF=0.5AB=X – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

שלב 2: נגדיר את קטע האמצעים EF באמצעות X ונפתור את התרגיל

  1. EF = (2X+6X) /2=4X – קטע אמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים.
    HG = EF-EF-GF=4X-X-X=2X
  2. מצאנו כי AB=HG=2X. לכן AB גדול פי 1 מהקטע HG.

פתרון התרגיל בתמונות

« 1 של 7 »
שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “טרפז

  1. מישל

    באמת תודה רבה.
    כול פעם שאני צריכה להשלים אני נכנסת לעמוד שלכם והוא באמת באמת עוזר
    אני ממש מרוצה
    תודה רבה!!!!!!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.