ריבוע

תכונות הריבוע

ריבוע הוא מקבילית שיש לו גם את תכונת המעוין והמלבן.

  1. כל הצלעות שוות.
  2. שתי זוגות של צלעות מקבילות.
  3. האלכסונים חוצים, מאונכים ושווים זה לזה.
  4. כל זוויות הריבוע הן 90 מעלות.
תכונות הריבוע בשרטוט

תכונות הריבוע בשרטוט

איך מוכיחים שמרובע הוא ריבוע

על מנת להוכיח שמרובע הוא ריבוע לרוב נוכיח (או יגידו לנו) שהמרובע הוא מלבן / מעוין ואז נצטרך למצוא תכונה ששייכת למרובע האחר – אם המרובע הוא מלבן נצטרך למצוא לו תכונת מעוין וליהפך.

המשפטים בעזרתם מוכיחים שמרובע הוא ריבוע:

  1. מרובע עם 4 צלעות שוות ו- 4 זוויות שוות הוא ריבוע.

אם נתון לנו מעוין:

  1. מעוין עם זווית ישרה (90 מעלות) הוא ריבוע.
  2. מעוין עם אלכסונים שווים הוא ריבוע.

אם נתון לנו מלבן:

  1. מלבן שאלכסוניו מאונכים זה לזה הוא ריבוע.
  2. מלבן שאלכסוניו הם חוצי זווית הוא ריבוע.
  3. מלבן עם זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.

כיצד מוכיחים שמעוין הוא ריבוע

הדרכים להוכחה שמלבן הוא ריבוע

שטח והיקף ריבוע

  1. היקף ריבוע הוא אורך הצלע כפול 4 (4a).
  2. שטח ריבוע הוא מכפלת צלע בעצמה a².
    או מכפלת האלכסונים חלקי 2.

נוסחאות שטח והיקף ריבוע

תרגילים

התרגילים מתאימים ברמתם לתלמידי כיתה ט-י. רק את התרגיל הראשון מתאים גם לתלמידים צעירים יותר.

תרגיל 1

בריבוע ABCD עובר אלכסון AC ועליו מונחת הנקודה E כך ש CE=CD. חשבו את כל הזוויות שנוצרו בריבוע.

ריבוע, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. ACB=45∠ – זווית הריבוע שוות ל 90 והאלכסונים הם חוצי זווית.
  2. BC=DC – צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  3. BC=ED – נובע מ 2. לכן משולש ΔBCE הוא משולש שווה שוקיים.
  4. BEC=∠EBC=(180-45)/2=67.5∠ – מול צלעות שוות במשולש שווה שוקיים ΔBCE נמצאות זוויות שוות וגם סכום זוויות במשולש הוא 180.
  5. EBA=90-67.5=22.5∠ – כל זווית בריבוע שווה ל 90 מעלות.
  6. BEA = 180-67.5=112.5∠  – סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  7. EAB=45∠ – זווית הריבוע שוות ל 90 והאלכסונים הם חוצי זווית.
שרטוט חישוב גודל הזוויות

חישוב גודל הזוויות

תרגיל 2

בריבוע העבירו שני ישרים כך ש CE=AF.
הוכיחו:

  1. ΔABE≅ΔCBF.
  2. מרובע AGCD הוא דלתון.

ריבוע, שרטוט התרגיל

 פתרון

נוכיח את חפיפת המשולשים ΔABE≅ΔCBF.

  1. AB=CB – צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  2. B=90∠ – זווית משותפת לשני המשולשים.
  3. BE=BC- CE
    BF= AB-AF
    חיסור קטעים שווים (CE=AF) מקטעים שווים (BC=AB) נותן קטעים שווים (BE=BF). ניתן לרשום זאת גם כך בשורה אחת:
    BE=BC- CE = AB-AF=BF.
  4. ΔABE≅ΔCBF – משולשים חופפים על פי משפט חפיפה צ.ז.צ.

סעיף ב. על מנת להוכיח שהמרובע AGCD הוא דלתון עלינו להוכיח שהמרובע מורכב משני משולשים שווי שוקיים.
נעשה זאת על ידי הוכחת חפיפה של ΔAGF≅ΔCGE.

  1. CE=AF נתון.
  2. FCB = ∠EAB∠  – זווית מתאימות בין משולשים חופפים.
  3. AGF =∠CGE∠ – זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
  4. GEC = 180- ∠EGC – ∠FCB∠ – סכום זוויות במשולש הוא 180.
    GFA= 180- ∠AGF- ∠EAB∠
    GEC= ∠GFA∠ – נובע מהשורות שלמעלה והנתונים. ניתן לכתוב זאת גם כך:
    GEC = 180- ∠EGC – ∠FCB∠ = 180- ∠AGF- ∠EAB = ∠GFA
  5. ΔAGF≅ΔCGE – חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז (סעיפים 1,2,4).ולמה AGCD הוא דלתון?
  6. AG=CG – זווית מתאימות בין ישרים מקבילים.
  7. AD=DC – צלעות הריבוע שוות זו לזו.
    הוכחנו שמרובע AGCD מורכב משני משולשים שווי שוקיים ולכן הוא דלתון.

תרגיל 3

בריבוע ABCD העבירו ישרים AE ו BF כך ש CF=BE.

  1. הוכיחו ΔBCF ≅ ΔABE.
  2. הוכיחו כי משולש ΔBGE הוא משולש ישר זווית.

פתרון

  1. BC=BA – צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  2. CF=BE – נתון.
  3. C=∠B∠ – זוויות הריבוע שוות זו לזו.
  4. ΔBCF ≅ ΔABE  המשולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

סעיף ב

  1. נגדיר FBC=α∠.
  2. BFC= 180-90-α=90-α∠ – סכום הזוויות במשולש ΔBCF הוא 180.
  3. AEB= ∠BFC = 90-α∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים שוות זו לזו.
  4. נסתכל על משולש ΔBGE:
    BGE=180-α-(90-α)=90∠
    הוכחנו כי משולש ΔBGE הוא משולש ישר זווית.

תרגיל 4: ריבוע ודמיון משולשים.

בתוך משולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) חסום ריבוע FBDE.
AF=8, FB=4 ס"מ.
א. הוכיחו כי ΔABC ∼ ΔAFE.
ב. חשבו את AC
ב. חשבו את DC.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. B=∠AFE∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. A∠ – זווית משותפת למשולשים ΔABC ו ΔAFE.
  3.  ΔABC ∼ ΔAFE דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב

  1. FE=FB=8 -צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  2. על פי משפט פיתגורס במשולש ΔAFE מתקיים AE² = AF² +FE²
    AE² = 8² +4² = 78
    AE=√78 ס"מ.

סעיף ג.
נוכיח כי ΔCDE ∼ ΔEFA.

  1. DCE = ∠FEA∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. EDC = ∠AFE=90∠ –  זוויות הריבוע שוות ל 90 מעלות. לכן גם הזוויות הצמודות אליהן שוות ל 90 מעלות.
  3. ΔCDE ∼ ΔEFA דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.
  4. DC / FE = DE / AF – במשולשים דומים היחס בין צלעות מתאימות שווה זה לזה.
    DC = DE * FE / AF = 4*4 /8
    DC =16/8=2 ס"מ.

עוד באתר:

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.