נוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה נעשה חזרה קצרה על נוסחאות הכפל המקוצר ולאחר מיכן נתמקד בפתרון משוואת בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.
המשוואות יהיו מארבעה סוגים:

  1. משוואות הדורשות פתיחת סוגריים.
  2. משוואות הדורשות סגירת סוגרים. סגירת סוגריים זה פירוק לגורמים.
  3. משוואות הדורשות פירוק לגורמים וכוללות מכנה.
  4. משוואת הכוללות מכנה ומשלבות בין נוסחאות הכפל המקוצר לבין פירוק הטרינום.

לאחר מיכן מופיעות שאלות נוספות, בעיניי הן פחות חשובות אבל שתקבלו דומות להן בכיתה / מבחן.
אם אתם מחפשים דף קל יותר שמלמד את כיצד משתמשים בכול נוסחה תוכלו למצוא אותו בנוסחאות הכפל המקוצר מבוא.

חזרה על נוסחאות הכפל המקוצר

יש 3 נוסחאות כפל מקוצר שנלמדות בכיתה ט:

  1. (a² – b²= (a-b)*(a+b – נוסחת הכפל המקוצר.
  2. a+b)²= a²+2ab+b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע.
  3. a-b)²= a²-2ab+b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע, הפרש איברים.

דוגמאות לשימוש בשלושת הנוסחאות:

  1. (x²-9 =(x-3) (x+3
  2. ²(x² + 6x +9 = (x+3
  3. x-6)² = x² -12x +36)

אם אתם מעוניינים בחזרה על כל נוסחה בנפרד תוכלו למצוא תרגילים עם פתרונות מלאים בדף איך לפתוח סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.

1. פתרון משוואות עם פתיחת סוגריים

תרגיל 1: פתיחת סוגריים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר ופתרון משוואה רגילה

x+4)²  = x² – 6)

פתרון

x+4)²  = x² – 6)
x² + 8x + 16 = x² – 6 / -x²
8x + 16 = -6  / -16
8x = -22  / :8
x = -2.75

תרגיל 2: כמו תרגיל 1, רק כולל גם מינוס לפני פתיחת סוגריים

(x – 2)²   = – (x-3)(x+3) –

פתרון
הכלל אומר שכאשר יש מינוס לפני סוגריים עושים את השימוש בנוסחאות הכפל המקוצר תוך שמירה על הסוגריים ולאחר מיכן מכפילים את כל האיברים שבתוך הסוגריים במינוס.

(x – 2)²  = – (x-3)(x+3) –
(x² -4x + 4)  = – (x² -9) –
x² + 4x -4 = – x² + 9  / +x²-
4x – 4 = 9  / +4
4x = 13  / :4
x = 3.25

תרגיל 3: פתיחת סוגריים ופתרון משוואה ריבועית

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²

פתרון

5x² – 2x – 4 = – (x + 2)² – 3x²
5x² – 2x – 4 = – (x² + 4x + 4) – 3x²
5x² – 2x – 4 = – x² – 4x – 4 – 3x²
5x² – 2x – 4 = – 4x² – 4x – 4  / +4x² + 4x + 4
9x² + 2x = 0
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית הזו בעזרת נוסחת השורשים, אני אראה כאן פתרון הנשען על הוצאת גורם משותף.
x (9x +2) = 0
x= 0
או
9x + 2 = 0  / -2
9x = -2  / :9
x = -0.222

2. פתרון משוואות הכוללות פירוק לגורמים

פירוק לגורמים זה סגירת סוגריים.

פתרון משוואות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר נשען על העובדה המתמטית שאם מכפלת שני גורמים שווה ל 0 אז אחד מהגורמים צריך להיות שווה ל 0.

כלומר אם x * y = 0
אז x= 0  או y=0.

פתרו את המשוואות הבאות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.

  1. x²-16=0
  2. x²+20x +100=0
  3. x²-2x+1=0
  4. x² +64=0 –
  5. 4x² + 8x + 4 = 0

פתרונות

תרגיל 1
x²-16=0
x-4) (x+4) =0)
x=4 או  x= – 4

תרגיל 2
x²+20x +100=0
x+10)²=0)
x+10=0 /-10
x= – 10

תרגיל 3
x²-2x+1=0
x-1)²=0)
x-1 = 0 /+1
x=1

תרגיל 4
x² +64=0 –
נהפוך את הסדר בין x²-   ו- 64 ונקבל:

עכשיו הביטוי מתאים לנוסחת הכפל המקוצר הראשונה:
a + b) (a – b) = a² – b²)
x+8) (- x+8)=0)
x = 8 או  x= – 8

תרגיל 5
את התרגיל הבא יש 2 דרכים לפתור:
4x² + 8x + 4 = 0
2x + 2) ²=0)
2x+2=0 /-2
2x= -2 /:2
x = – 1

דרך שנייה:
0 = (4x² + 8x + 4 = 4(x² + 2x + 1
x + 1)² * 4 = 0  / :4)
x + 1)² = 0)
x + 1 = 0 / -1
x = -1

3. משוואות עם שברים

המשוואות הבאות כוללות שברים. פתרו את המשוואות הללו בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ושימו לב לתחום ההצבה.

תרגיל 1

תרגיל

פתרון תרגיל 1

פתרון התרגיל

x- 5 = 0  / +5
x = 5  זה הפתרון.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה של השבר לפני הצמצום. כלומר:
x + 5) ² ≠0)
x +5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5 זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 2

התרגיל

פתרון תרגיל 2

פתרון התרגיל

x – 2 = 0 / +2
x = 2 זה הפתרון.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום:
x – 2 ≠ 0  / +2
x ≠ 2

תרגיל 3

התרגיל

פתרון

פתרון התרגיל

x – 4 = 0 / + 4
x = 4   הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x + 4)² ≠ 0)
x + 4 ≠ 0  / -4
x ≠ -4  זו קבוצת ההצבה.

4. משוואות עם שברים ופירוק הטרינום

משוואות קשות יותר הכוללות את נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק הטרינום.

תרגיל 1

תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

x + 8 = 0 / -8
x = -8 זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום
x(x+2)² ≠ 0
x ≠ 0 אפשרות ראשונה.
x + 2)² ≠ 0)
x + 2 ≠ 0  / -2
x ≠ -2
קבוצת ההצבה היא x≠ 0,  x ≠ -2

תרגיל 2

תרגיל 2

פתרון

פתרון תרגיל 2

x + 2 = 0  / -2
x = -2  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x – 4) (x-3)  ≠ 0)
x – 4  ≠ 0  / +4
x = 4
אפשרות שנייה:
x – 3  ≠ 0  / + 3
x  ≠ 3
תשובה: קבוצה ההצבה x  ≠ 4,  x  ≠ 3

תרגיל 3

תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

x – 5) = 0 ) –
x + 5 = 0 –
x = 5  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום
x + 5) (x-5)  ≠ 0)
x + 5  ≠ 0   / -5
x  ≠ -5
אפשרות שנייה:
x -5)  ≠ 0  / + 5)
x  ≠ 5

נשים לב כי הפתרון של המשוואה  x = 5 אינו  חלק מקבוצת ההצבה.
לכן אין פתרון לתרגיל.
קבוצת ההצבה היא x  ≠ 5,   x  ≠ -5.

תרגיל 4

תרגיל מספר 4

פתרון תרגיל 4

נחשב את גודלו של הביטוי השמאלי ולאחר מיכן נשווה אותו ל- 0.

למשוואה אין פתרון

למשוואה אין פתרון כי גודל הביטוי השמאלי הוא 1, ללא תלות ב x. וגודל הביטוי הימני הוא 0.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני הצמצום.
x + 5)(x-2)  ≠ 0)
או
x + 5)  ≠ 0)-

x + 5)(x-2)  ≠ 0)
x + 5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5
x – 2 ≠ 0  / +2
x ≠ 2

האפשרות הנוספת
x + 5) ≠ 0) –
x + 5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5
קבוצת ההצבה היא x ≠ -5,    x ≠ 2

תרגיל 5

תרגיל מספר 5

פתרון תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

פתרון תרגיל 5

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני הצמצום
x +1 ≠ 0
x – 1 ≠ 0
x – 3 ≠ 0
קבוצת ההצבה היא x ≠ 1, -1, 3

5. שאלות נוספות

השאלות הללו פחות חשובות / שימושיות אך הן עדיין חלק מחומר הלימודים של כיתה ט.

1.השלימו את החלקים החסרים בביטוי המצורף בשתי דרכים שונות.

²(____ – _____) = _____ + 16x – ______

²(____ + ____) =  _____ + 24x +______

פתרון

על מנת לעשות זאת נחפש שני מספרים שמכפלתם שווה למחצית מהמספר שהוא מקדם של x. כלומר בשאלה הראשונה נחפש שני מספרים שמכפלתם 8.

²(____ – _____) = _____ + 16x – ______

x-8)² = x²-16x+8²)

2x – 4)² = 4x² -16x+16)

²(____ + ____) =  _____ + 24x +______

x+12)² =  x² +24x +144)

2x +6)² = 4x² + 24x + 36)

2. פשטו את הביטויים הבאים:

²(2√ + 8√)

²(12√ + 3√)

פתרון

p = (√8 + √2) ² = 8+ 2√2√8 +2=8+2√8*2 +2=8+2*4+2=18

p = (√3 +√12)² = 3+2√3√12+12= 3 +2√3*12+12 = 2+12+12=26

3. פשטו את התרגילים הבאים:

x + 4) (x-4) + (x+3)²)

(2x+1)² – (2x-1)-

פתרון

x + 4) (x-4) + (x+3)² = x²-16 +x²+6x+9=2x²+6x-7)

2x+1)² – (2x-1) =  – (4x² +4x+1) – 2x+1 = -4x² -4x-1-2x+1 = -4x² -6x)-

4. שטח גינה בצורת ריבוע הוא 400 מטר. מגדילים 2 צלעות נגדיות כל אחת ב 20% ומקטינים שתי צלעות נגדיות אחרות כל אחת ב 20%. כך שנוצרת גינה בצורת מלבן.
האם לאחר השינויים הללו שטח הגינה יגדל או יקטן?

פתרון

שטח ריבוע שאורך צלעו a הוא a²
a² = 400
a=20
אורך צלע הריבוע המקורית הוא 20 מטר.

24 = 1.2 *20
18 = 0.8 * 20.
צלעות המלבן הן 18,24
שטח מלבן:
432 = 18*24

שאלה שאלות

6 תגובות בנושא “נוסחאות הכפל המקוצר

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      זה נראה תרגיל קשה והוא לא קשור לנוסחאות הכפל המקוצר.
      אז כאשר מקבלים תרגיל קשה מנסים להתקדם איתו צעד אחר צעד ורואים מה קורה.
      לגבי הסוגריים השמאליים:
      64 = 6^2
      וגם
      64 = 2 ^8
      לכן הסוגריים השמאליים שווים ל 0 וניתן להתעלם מיהם.
      לגבי הסוגריים מימין
      1- = 9 – 8 = 2^3 – 3^2
      בחזקת 17 זה עדיין 1-.
      וכאשר נתייחס למינוס לפני הסוגריים התשובה תהיה 1.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      בכיף חן.
      יש משהוא ספציפי שאת/ה צריכים הסבר עליו בנושא חוק הפילוג המורחב? אם כן כתבי אותו.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.