נוסחאות הכפל המקוצר מבוא

יש 3 נוסחאות כפל מקוצר הנלמדות בכיתה ט:

  1. (a² – b²= (a-b)*(a+b – נוסחת הכפל המקוצר.
  2. a+b)²= a²+2ab+b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע.
  3. a-b)²= a²-2ab+b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע, הפרש איברים.

אלו הן נוסחאות בסיסיות שנעשה בהן שימוש רב.
בחלק מהתרגילים משתמשים בהם על מנת לפתוח סוגריים בקיצור.

בדף זה נעבור על הנוסחאות ונפתור תרגילים הקשורים לנוסחאות הללו.

(a²-b²)= (a-b)*(a+b)

דוגמאות לשימוש בנוסחה:

  1. (x²-9 =(x-3) (x+3
  2. (4x² -25 = (2x+5) (2x-5
  3. x²-36=0
    x+6) (x-6)= 0)
    x= – 6 או  x=6

שימו לב ביטוי כמו x²+9 לא מתאים לנוסחה ולא ניתן לפרק לגורמים (בגלל שיש בין האיברים פעולת חיבור ולא פעולת חיסור).

במקרים מסוימים נשתמש בנוסחה על מנת להפוך מכפלה שקשה לחשב לקלה יותר, לדוגמה:
96 = 2² – 10² = (2 – 10) (2 + 10) = 8* 12

תרגילים:

  1. (x-4) (x+4)
  2. (x-6) (x+6)
  3. x² – 4
  4. 25x² – y²
  5.  = 47 * 53
  6.  = 16 * 24

פתרונות

  1. x-4) (x+4) = x²-16)
  2. x-6) (x+6) = x²-36)
  3. (x²-4 = (x+2) (x-2
  4. (25x² – y² = (5x+y) (5x-y
  5. 2491 = 9 – 2500 = 3² – 50² = (3 – 50) ( 3+ 50) = 47 * 53
  6. 384 = 16 – 400 = 4² – 20² = (4 – 20)  (4 + 20) = 16 * 24

a+b)²= a²+2ab+b²)

דוגמאות לשימוש בנוסחה:

  1. ²(x² + 6x +9 = (x+3
  2. x+1)²= x² +2x+1)
  3. 2x +4)² = 4x² + 16x+ 16)
  4. 324 = 64 + 160 + 100 = 8² + 10*8*2 + 10² = ²(8 +10) = 18²

תרגילים

  1. x² + 10x +25
  2. x² +20x +100
  3. 9x² + 12x + 4
  4. x+6)²)
  5. 2x +4)²)
  6. 4x+1)²)
  7. = 26²

פתרונות

  1. ²(x² + 10x +25 = (x+5
  2. x² +20x +100 = (x+10)²
  3. ²(9x² + 12x + 4 = (3x+2
  4. x+6)²= x² +12x+36)
  5. 2x +4)² = 4x² + 16x+ 16)
  6. 4x+1)² = 16x² +8x +1)
  7. 676 = 36 + 240 + 400 = 6² + 6*20*2 + 20² = ²(6 + 20) = 26²

a-b)²= a²-2ab+b²)

דוגמאות:

  1. ²(x² – 6x +9 = (x-3
  2. ²(25x² – 10x +1 = (5x-1
  3. x-6)² = x² -12x +36)

תרגילים

  1. x² – 14x +49
  2. x² – 2x +1
  3. x-6)²)
  4. 3x-2)²)

פתרונות

  1. ²(x² – 14x +49 = (x-7
  2. x² – 2x +1 = (x-1)²
  3. x-6)² = x² -12x +36)
  4. 3x-2)² = 9x² – 12x + 4)

נוסחאות הכפל המקוצר הכוללות פרמטר

בחלק זה נלמד כיצד פותחים סוגריים כאשר נתון משתנה x וגם פרמטר b.

אלו נוסחאות הכפל המקוצר בהם נשתמש.

  1. (a² – b²= (a-b)*(a+b – נוסחת הכפל המקוצר.
  2. a+b)²= a²+2ab+b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע.
  3. a-b)²= a²-2ab+b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע, הפרש איברים.

תרגיל 1
x² – b²

פתרון
נשתמש בנוסחה:
(a² – b²= (a-b)*(a+b
ונקבל:
(x² – b² =  (x + b) (x- b

תרגיל 2
x + 2b)²)

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a+b)²= a²+2ab+b²)
ונקבל:
x + 2b)² = x² + 2 *2b* x + (2b)²)
x² + 4bx + 4b²

תרגיל 3
3x – 5b)²)

פתרון
נשתמש בנוסחה:
(a² – b²= (a-b)*(a+b
ונקבל:
(3x)² – (5b)² = (3x + 5b) (3x – 5b)

תרגיל 4
9x² – 24xb + 16b²

פתרון
נשתמש בנוסחה
a – b)²= a² – 2ab + b²)
כאשר האיבר הראשון הוא 3x והאיבר השני 4b-.
נקבל:
9x² – 24xb + 16b² = (3x – 4b)²

תרגיל 5 (מקרה מיוחד)
3x – 2b)²-)

פתרון
התרגיל הזה שונה כי שני האיברים שבתוכו הם בסימן מינוס.
נפתור את התרגיל על פי הנוסחה:
a + b)²= a² + 2ab + b²)
כאשר במקום a נציב 3x- ובמקום b נציב 2b-.

3x – 2b)² = (-3x)² + 2 * (-3x) * (-2b)  + (2b)²-)
9x² + 12xb  + 4b²

הערה: נשים לב שקיבלנו 3 איברים חיוביים.
בפועל מתקיים השוויון:
3x – 2b)² = (3x + 2b)²-)

תרגיל 6 (מקרה מיוחד)
6x + 2b)²-)

פתרון
בתרגיל הזה הפכו את הסדר שאליו אנו רגילים.
האיבר השלילי מופיע ראשון ולאחריו מופיע האיבר החיובי.

על מנת לפתור את התרגיל נכתוב את התרגיל בסדר שנו לנו:
6x + 2b)² = (2b – 6x)²-)

נפתור בעזרת הנוסחה:
a – b)²= a² – 2ab + b²)
ונקבל:
2b – 6x)² =(2b)² – 2 * 2b * 6x + (6x)²)
4b² – 24bx + 36x²

עוד באתר:

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “נוסחאות הכפל המקוצר מבוא

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.