לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

אי שוויונות ריבועיים

נושא האי שוויון הריבועי (אי שוויון ממעלה שנייה) נלמד לרוב בכיתה ט.

נזכיר כי קיים הבדל יחיד בין אי שוויון לשוויון: כאשר כופלים או מחלקים את האי שוויון במספר שלילי יש להפוך את הסימן של האי שוויון.

בדף זה תמצאו:

  1. ההיגיון מאחורי פתרון אי שוויון ריבועי + שלבים.
  2. תרגילים עם פתרונות מלאים
  3. ההבדל בין < > לבין ≤  ≥
  4. אי שוויונות המתקיימים תמיד או לא מתקיימים אף פעם.
  5. אי שוויונות כפולים.

ובנוסף:

מבוא: כיצד משרטטים סקיצה של פרבולה

על מנת פתור אי שוויון ריבועי עליכם לדעת לשרטט סקיצה של פרבולה, זה מוסבר בסרטון וגם בקישור.

1.ההיגיון מאחורי פתרון של אי שוויון ריבועי + שלבים

לסרטון זה שני חלקים.
עד 5:30 הסבר.
לאחר מיכן דוגמאות.
לאחר הסרטון הסבר כתוב.

כאשר מבקשים מאיתנו לפתור את האי שוויון ריבועי

x² + 7x + 10 > 0

אנו יכולים לשרטט את גרף הפונקציה:

f(x) = x² + 7x + 10

ולהגיד שבנקודות שבהם הגרף נמצא מעל ציר ה x זה אומר שהפונקציה (f(x חיובית ושאי השוויון מתקיים:

בשרטוט ניתן לראות שהפתרון הוא:
x > -2  או  x < -5

ובנקודות שבהן גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x מתקיים:

f(x) = x² + 7x + 10 ≤ 0

אם כך השלבים שלנו לפתרון אי שוויון ריבועי יהיו:

  1. שרטוט סקיצה של פרבולה.
  2. התבוננות בגרף הפרבולה, כאשר הגרף מעל ציר ה x הביטוי חיובי. כאשר הגרף מתחת לציר ה x הביטוי שלילי.

אזכיר כי השלבים לשרטוט סקיצה של פרבולה הם:

  1. מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x.
  2. זיהוי אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
  3. שרטוט סקיצה על פי הקודקוד ונקודות החיתוך עם ציר ה x.

דוגמה 2
נתונים שלוש אי שוויונות וגם משורטטת הפרבולה המתאימה להם.
השתמשו בשרטוט הפרבולה קבעו מתי האי שוויון מתקיים.

פתרון סעיף א

פתרון  x² – 3x + 4 < 0

פתרון התרגיל הוא כאשר הגרף נמצא מתחת לציר ה x וזה קורה כאשר:

1 < x < 4

פתרון סעיף ב

פתרון x² – 2x + 8 > 0-
פתרון התרגיל הוא כאשר הגרף נמצא מעל לציר ה x וזה קורה כאשר:

-4 < x < 2

פתרון סעיף ג

פתרון  x² – x + 3 < 0

הפתרון הוא החלק שנמצא מתחת לציר ה x.

אבל לפרבולה זו אין חלק מתחת לציר ה x.

כל הפרבולה חיובית.

לכן לאי שוויון זה אין פתרון (אין x שמקיים אותו).

דוגמה 3 (כולל שרטוט סקיצה)

x² – 6x + 8 < 0

פתרון התרגיל

שלב 1: מוצאים את שורשי המשוואה הריבועית
עושים זאת בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
נקבל:
x² – 6x + 8 = 0
x – 2) (x-4) = 0)
x = 2  או  x= 4

שלב 2: האם זו פרבולת מינימום או מקסימום
זו פרבולת מינימום כי המקדם של x² חיובי.

שלב 3: שרטוט גרף הפרבולה
על פי נקודות החיתוך וזה שהפרבולה היא מינימום ניתן לשרטט את הגרף הבא.

שלב 4: פתרון על ידי הסתכלות בגרף
הגרף מייצג את הפונקציה
f(x)= x² – 6x + 8
אנו צריכים את התחום השלילי של הפונקציה, והוא נמצא כאשר גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x.

2 < x < 4

זה הפתרון.

3.תרגילים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

29 מחשבות על “אי שוויונות ריבועיים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אפשרות ראשונה לפתור כמו כל אי שוויון ולשרטט את הפונקציה ולראות מתי היא חיובית או שווה ל 0.
      אפשרות שנייה לחשוב בהגיון – אלו מספרים כאשר מעלים אותם בריבוע הם חיוביים או שווים ל 0?

  1. אחרי שמצאתי את נקודות החיתוך, איך אני יודעת אם זו פרבולת מינימום או מקסימום, כדי לדעת איך לכתוב את התשובה? זה ממש דחוף..

  2. שלום, בפרק על אי שוויונות ריבועיים כפולים בשלב התוצאה (כשיצא פיתרון לכל תרגיל) איך הצלבת את הפתרונות כדי למצוא את החיתוך של שני האי שוויונות? יש על זה סרטון?

  3. שלום וברכה
    תודה רבה על כל החומר , הוא כתוב בצורה נהירה וברורה!
    איך אני משנה פונקציה בצורה של y=(x-1)^2+3 לצורה של פונקציה ריבועית?

  4. אהלן אני חושב שיש לך טעות בטרינום הראשון בסקיצה לשרטוט פרבולה האיקסים שווים ל5 ו-1 לא ל 5- ו-1-
    חיבור של 1- ו-5- נותן -6 והפונקציה רשומה ב6 חיובי

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ניב
      הפונקציה מתפרקת כך:
      x^2 + 6x + 5 = (x+ 5) (x + 1)
      והפתרונות הם:
      x = -5
      x = -1
      יש הבדל בין המספרים שמפרקים לטרינום לאיקסים שפותרים את המשוואה.

  5. מזה אומר שיש סימן של משולש באי שוויונות ריבועיים? מה הסימן הזה אומר?

      1. בתרגיל האחרון ( אי שיוויונות ריבועיים כפולים).
        באי שיוויון השני, החלטתי להעביר אגפים הפוך, להפוך את המקדם של ה איקס בריבוע לחיובי.. ולא יצא לי פתרון.
        התחומים בסוף יצאו לי "איקס קטן מ 2 וגדול ממינוס שש" והשני "איקס קטן מ שש וגדול מ 1".
        אני לא מוצאת חיתוך לשניהם.
        אפשר בבקשה הסבר למה זה השפיע על התשובה, עצם זה שהחלטתי להעביר אגפים מהצד השני?

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          במתמטיקה אם פותרים בדרכים שונות מגיעים לאותה תשובה.
          ואם זו לא אותה תשובה זו שגיאה.
          מאיזו שהיא סיבה הגעת ל 6 במקום 6-. ואני לא יכול לדעת למה מבלי לראות את התרגיל.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם אני מבין נכון אז יש דוגמה מתאימה באתר.
      בדוגמה 2 שבדף יש 3 פרבולות.
      פרבולה 2 בדוגמה זו היא מה שכתבת ויש שם הסבר.
      אם זה לא ענה לשאלה חזרי אליי, אם הסבר במה שונה השאלה שלך ממה שרשום שם.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום לוי
      תודה על תשומת הלב לפרק החסר.
      הוספתי דוגמה לפתרון אי שוויון כפול בסוף הדף.
      בהצלחה

  6. היי יש לי שאלה לגבי פתרון אי שוויון עם נעלם במכנה איך אני יכולה לשלוח את התרגיל?

  7. הפתרון של התרגיל הראשון מבלבל אותי קצת, כי לפי מה שלמדתי מכאן, יוצא שהתשובה אמורה להיות x6 ובפתרון כתוב x<-1 או x<6
    אשמח לתגובה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום 
      הדברים שאתה כותב חלקם מופיעים בגיבריש.
      וזו אכן שאלה מבלבלת.
      יש לי שתי שאלות אליך:
      1.האם אתה מסכים שהגרף ששורטט הוא אכן גרף הפרבולה שזו משוואתה?
      2. האם אתה מסכים שהפרבולה שלילית כאשר x > 6 או x < -1? אלו שני השלבים של הפתרון ולפי התשובה שלך אדע טוב יותר להסביר.