אי שוויונות ריבועיים

נושא האי שוויון הריבועי (אי שוויון ממעלה שנייה) נלמד לרוב בכיתה ט.
נזכיר כי קיים הבדל יחיד בין אי שוויון לשוויון: כאשר כופלים או מחלקים את האי שוויון במספר שלילי יש להפוך את הסימן של האי שוויון.

בדף זה תמצאו:

  1. שלבים לפתרון אי שוויון ריבועי.
  2. תרגילים עם פתרונות מלאים
  3. ההבדל בין < > לבין ≤  ≥
  4. אי שוויונות המתקיימים תמיד או לא מתקיימים אף פעם.
  5. אי שוויונות כפולים.

1. שלבים לפתרון אי שוויון ריבועי

יש שתי שיטות לפתרון אי שוויונות ריבועיים.
שיטה גרפית – בעזרת שרטוט של פרבולה.
שיטה אלגברית – שבה מפצלים את האי שוויון לשתי אי שוויונות פשוטים.

איזו שיטה מומלצת?
זו שלמדתם בכיתה, וזו שנוחה לכם.
אין שיטה אחת שיותר טובה עבור כולם.

שלבי הפתרון בשיטה הגרפית

נפתור את האי שוויון
x² – 6x + 8 < 0

שלב 1: מוצאים את שורשי המשוואה הריבועית
עושים זאת בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
נקבל:
x² – 6x + 8 = 0
x – 2) (x-4) = 0)
x = 2  או  x= 4

שלב 2: האם זו פרבולת מינימום או מקסימום
זו פרבולת מינימום כי המקדם של x² חיובי.

שלב 3: שרטוט גרף הפרבולה
על פי נקודות החיתוך וזה שהפרבולה היא מינימום ניתן לשרטט את הגרף הבא.

שלב 4: פתרון על ידי הסתכלות בגרף
הגרף מייצג את הפונקציה
f(x)= x² – 6x + 8
אנו צריכים את התחום השלילי של הפונקציה, והוא נמצא כאשר גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x.

זה הפתרון.

שלבי הפתרון בשיטה האלגברית

נפתור את אותו אי שוויון
x² – 6x + 8 < 0

שלב 1: נפרק את המשוואה הריבועית לגורמים
כמו בדרך הקודמת
x² – 6x + 8 < 0
x – 2) (x-4) < 0)

שלב 2: פיצול המערכת לשתי אפשרויות
קיבלנו את האי שוויון
x – 2) (x-4) < 0)
זו מכפלה של שני ביטויים שאנו רוצים שתהיה שלילית.
זה קורה כאשר אחד הביטויים חיובי והשני שלילי.

לכן שתי אפשרויות הפתרון הם:
x – 2 > 0  וגם  x – 4 <0
x >2   וגם  x < 4

והאפשרות השנייה היא:
x – 2 < 0  וגם   x – 4 > 0
x < 2   וגם   x > 4
למערכת זו אין אף פתרון.

לכן התשובה הסופית תהיה מה שקיבלנו באפשרות הראשונה.

2. אי שוויונות ריבועיים תרגילים

אי שוויונות ריבועיים ניתנים לפתרון בעזרת נוסחת השורשים של משוואה ריבועית ובעזרת פירוק הטרינום. באתר זה אני משתדל לפתור בעזרת פירוק הטרינום.

תרגיל 1
נתונים ארבע אי שוויונות וארבעה גרפים של פרבולות המייצגים אותן.
הסתכלו בשרטוטי הפרבולות וקבעו מתי האי שוויונות מתקיימים (אין צורך לבצע חישובים).
עבור חלק מהפרבולות מצורף פירוק הטרינום.

מצאו מתי האי שוויונות מתקיימים

מצאו מתי האי שוויונות מתקיימים

פתרון

פתרון האי שוויונות

פתרון האי שוויונות

תרגיל 2
פתרו את אי השוויון x²-10x+9>0.

פתרון
פתרון גרפי
שלב 1: מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x.
x²-10x+9>0
x² -x – 9x + 9 > 0
x (x -1) – 9(x -1) > 0
x-9)(x-1) >0)    זה פירוק הטרינום.
נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן (0, 9)  ו- (0, 1).

שלב 2: האם זו פרבולת מינימום או מקסימום
ומכוון שהמקדם של x² הוא חיובי זו פרבולה עם נקודת מינימום ("מחייכת").

שלב 3: שרטוט סקיצה ופתרון
נשרטט סקיצה של הגרף.
בגרף (המצורף מטה) ניתן לראות שאי השוויון מתקיים כאשר:
x<1  או x>9

שרטוט הגרף x²-10x+9

שרטוט הגרף x²-10x+9

פתרון אלגברי
נשתמש בפירוק שביצענו בסעיף הקודם.
x-9)(x-1) >0)

על מנת שהאי שוויון יתקיים יש שתי אפשרויות
x – 9 > 0   וגם   x – 1> 0
x > 9  וגם x > 1
x > 9

או
x – 9 < 0   וגם   x – 1< 0
x < 9  וגם x < 1
x < 1
תשובה: x<1  או x>9

תרגיל 2
פתרו את האי שוויון x²+3x+4 > 0-.

פתרון
ניתן להכפיל את כל המשוואה ב 1- על מנת שהמקדם של x² יהיה חיובי.
פעולה זו לפעמים יכולה לעזור להימנע מטעויות הנובעות מכך שהמקדם של x² שלילי.
אך זו לא פעולה הכרחית.
יש לזכור שכאשר מכפילים במספר שלילי צריך להפוך את סימן אי השוויון.

x²+3x+4 > 0  / *-1-
x²-3x-4 < 0
x² + x -4x – 4 < 0
x (x +1) -4 (x +1) < 0
x+1)(x-4) <0)

נקודות החיתוך עם ציר ה x הן x = -1,  x = 4
וזו פרבולת מקסימום.
לכן סקיצה של הפרבולה נראית כך:

אנו מחפשים את התחום החיובי.
תשובה:

נפתור תרגיל זה גם ללא הכפלה ב 1-, על מנת לראות כיצד עובדים עם פרבולה של נקודת מקסימום.

שלב א: נמצא נקודות חיתוך
x²+3x+4 > 0-.
x+1)(-x+4) >0)
נקודות החיתוך עם ציר ה x הם:
x=4, x=-1

שלב ב: פרבולת מינימום או מקסימום?
זו פרבולת מקסימום כי המקדם של x² שלילי.

שלב ג: נשרטט את הפרבולה ונכתוב פתרון

שרטוט הפרבולה x²+3x+4 > 0-

שרטוט הפרבולה x²+3x+4 > 0-

ניתן לראות שהאי שוויון מתקיים כאשר

תרגיל 3
פתרו את האי שוויון
4x² + 3x – 5 ≤ 2x² +x+19

פתרון
נעביר את כל האיברים לצד אחד של האי שוויון
4x² + 3x – 5 ≤ 2x² +x+19  / -2x² – x – 19
נחלק ב 2 על מנת לקבל מספרים קטנים יותר.
2x² + 2x – 24 ≤ 0  / :2
x² + x – 12 ≤ 0

נפתור בעזרת פירוק הטרינום.
x² + 4x – 3x – 12 ≤ 0
x (x +4) – 3 (x + 4) ≤ 0
x – 3) (x + 4) ≤ 0)

זו פרבולת מינימום לכן סקיצה של הגרף שלה נראה כך:

אנו צריכים את התחום השלילי או שווה 0 של הפונקציה.

תרגיל 4
נתונה הפונקציה ƒ(x)= x²+4 והקו הישר y=7x-8.
מצאו מתי ערכי הישר גדולים יותר מערכי הפרבולה.

פתרון
עלינו למצוא מתי מתקיים:
7x-8>x²+4
x² +7x-12>0-
לשם הנוחות ועל מנת שהמקדם של X² יהיה חיובי נכפיל את האי שוויון ב 1- ונהפוך את סימן האי שוויון.
x² -7x+12<0
x-3) (x-4)<0)
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
x=4  או  x=3.

האם זו פרבולת מינימום או מקסימום?
זו גם פרבולת מינימום משום שהמקדם של x² חיובי (אנו מתייחסים אל האי שוויון שממנו הגענו לפתרונות).
לכן האי שוויון מתקיים כאשר

שרטוט הגרף x² -7x+12

שרטוט הגרף x² -7x+12

3. ההבדל בין < > לבין ≤  ≥ וכיצד משרטטים על ציר המספרים

כאשר אנו פותרים אי שווין ריבועי. מה ההבדלים בין הסימנים הללו?
המשמעות של הסימנים ≤ ≥ היא שנקודות החיתוך עם ציר ה X הם חלק מהפתרון ואילו כאשר משתמשים בסימנים <> נקודת החיתוך היא לא חלק מהפתרון.

למשל x² -6x+8=0. הפתרונות של משוואה ריבועית זו הם x=2, x=4.
עבור האי שוויון x² -6x+8 >0 הפתרון הוא x>4 ו x<2.
עבור האי שוויון x² -6x+8 ≥0 הפתרון הוא x≥4 ו x≤2.

שרטוט גרף הפונקציה y=x² -6x+8

שרטוט גרף הפונקציה y=x² -6x+8

4. אי שוויונות שמתקיימים תמיד ואי שוויונות שלא מתקיימים אף פעם

כאשר הפרבולה אינה חותכת את ציר ה x זה אומר שהמשוואה שלה גדולה או קטנה מ 0 תמיד.

כאשר כל הפרבולה נמצאת מעל ציר ה x זה אומר שמשוואת הפרבולה גדולה מ 0 תמיד וכאשר כל הפרבולה נמצאת מתחת לציר ה x זה אומר שמשוואת הפרבולה קטנה מ 0 תמיד.

x²-3<0 x²-5x+10>0 על פי השרטוט שני השוויונות הללו מתקיימים תמיד

x²-3<0
x²-5x+10>0
על פי השרטוט שני השוויונות הללו מתקיימים תמיד

שימו לב שנובע מכך שהשוויונות הללו מתקיימים תמיד אז השוויונות ההפוכים להם לא מתקיימים אף פעם.
x²-3>0
x²-5x+10<0  לא מתקיימים אף פעם.

תרגיל 1
שרטטו סקיצה של פונקציה עבורה מתקיים האי השוויון y<0 תמיד.

פתרון

אי השוויון y<0 מתקיים תמיד עבור פרבולות שהן פרבולות מקסימום שהקודקוד שלהם נמצא מתחת לציר ה X.

אי השוויון מתקיים תמיד עבור פרבולות שהן פרבולות מקסימום שהקודקוד שלהם נמצא מתחת לציר ה X.

תרגיל 2
עבור הפרבולה y=  ax² +4x -6 מצאו מה הם ערכי ה a עבורם לאי שוויון y≥0 אין אף פתרון.

פתרון
כאשר לאי שוויון y≥0 אין אף פתרון זה אומר שהאי שוויון y<0 מתקיים תמיד.
על מנת שאי שוויון כזה יתקיים תמיד צריכים להתקיים להתקיים שני תנאים:

  1. המקדם של x² יהיה שלילי.
  2. למשוואה הריבועית לא יהיו פתרונות: וזה אומר שהדלתא קטנה מ 0.   b²-4ac <0

(הסבר מדוע שני התנאים הללו צריכים להתקיים בקישור הזה).

התנאי הראשון מתקיים כאשר a<0.

התנאי השני מתקיים כאשר:
4²-4a(-6) <0
16+24a <0
24a < -16
a< -16/24 = -2/3
קיבלנו מערכת של אי שוויונים "וגם" :
a< -2/3 וגם a<0.
שמתקיימת כאשר a< -2/3.
תשובה: כאשר a< -2/3 ערכי הפונקציה y=  ax² +4x -6 הם שליליים תמיד.

שרטוט גרף הפונקציה 0.67x² +4x-6-

שרטוט גרף הפונקציה
0.67x² +4x-6-

תרגיל 3
שאלות ותשובות מהירות בנושא אי שוויונות שמתקיימים תמיד או אף פעם
1.תנו דוגמה למשוואת פרבולה שגדולה תמיד מהישר y=4.

פתרון
זו צריכה להיות פרבולה עם a>0 וקודקוד שערך ה y שלו גדול מ 4. למשל x²+ 5.

2. תנו דוגמה למשוואת פרבולה שקטנה תמיד מהישר y=10.

פתרון
זו צריכה להיות פרבולה עם a<0 וקודקוד שערך ה y שלו קטן מ 10. למשל x²+5-.

5. אי שוויונות ריבועיים כפולים

כיצד נפתור אי שוויון ריבועי הנראה כך:

x² +6x – 10 < 2x +2 < -x² -3x + 8

פתרון
נחלק לשני אי שוויונות
x² +6x – 10 < 2x +2
וגם
2x +2 < -x² -3x + 8
נפתור כל אחד מיהם בנפרד ואז נפתור כמערכת "וגם".

חלק ראשון: נפתור x² +6x – 10 < 2x +2
x²+ 4x -12 <0
נפתור בעזרת טרינום
x² -2x + 6x – 12 < 0
x(x – 2) + 6(x – 2) < 0
x + 6) (x – 2) <0)

זו פרבולת מינימום שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x = -6, x = 2.
הפרבולה נראית כך:

גרף פרבולה

אנו מחפשים את התחום הקטן מ 0 והוא:

חלק שני: נפתור את האי שוויון השני
2x +2 < -x² -3x + 8
x² -5x + 6 > 0-
נפתור בעזרת טרינום:
x² +x – 6x + 6 > 0-
x (1 – x) + 6(1-x) > 0
x + 6) (1 – x) > 0)

שרטוט הגרף
זו פרבולה עם נקודת מקסימום שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x = 1, x = -6
הפרבולה נראית כך:

עבור פרבולה זו אנו מחפשים את התחום החיובי.

שלב 3: מציאת התשובה הסופית
קיבלנו שני אי שוויונות


וזו מערכת וגם.

ניתן לראות שהחיתוך של שני האי שוויונות הוא

וזו התשובה הסופית.

עוד באתר:

  1. משוואות ריבועיות כיתה ט – מידע מקיף על החומר הנדרש בכיתה ט.
  2. משוואה ריבועית – מידע יסודי המתאים למתחילים ללמוד את הנושא.
  3. פרבולה – מדריך מקיף לצורה.
  4. מתמטיקה לכיתה ט – הסברים, תאוריה ותרגילים לחומר הלימוד.
  5. בעיות מילוליות כיתה ט – בעיות מילוליות שעבור מרביתם נדרש ידע במשוואה ריבועית על לפתור אותן.
  6. אי שוויונות – כיצד לפתור אי שוויונות מסוגים נוספים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 thoughts on “אי שוויונות ריבועיים

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום לוי
      תודה על תשומת הלב לפרק החסר.
      הוספתי דוגמה לפתרון אי שוויון כפול בסוף הדף.
      בהצלחה

  1. אנונימי

    הפתרון של התרגיל הראשון מבלבל אותי קצת, כי לפי מה שלמדתי מכאן, יוצא שהתשובה אמורה להיות x6 ובפתרון כתוב x<-1 או x<6
    אשמח לתגובה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום 
      הדברים שאתה כותב חלקם מופיעים בגיבריש.
      וזו אכן שאלה מבלבלת.
      יש לי שתי שאלות אליך:
      1.האם אתה מסכים שהגרף ששורטט הוא אכן גרף הפרבולה שזו משוואתה?
      2. האם אתה מסכים שהפרבולה שלילית כאשר x > 6 או x < -1? אלו שני השלבים של הפתרון ולפי התשובה שלך אדע טוב יותר להסביר.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.