פרבולה ומשוואה ריבועית כיתה ט הסבר ותרגילים

בדף זה נלמד:

  1. כיצד מוצאים נקודת חיתוך של ישר ופרבולה.
  2. כיצד מוצאים משוואת ישר שיש לה 2 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או 0 נקודות חיתוך עם פרבולה.
  3. כיצד מוצאים נקודות חיתוך של 2 פרבולות וכיצד יודעים כמה נקודות חיתוך יש להם מבלי למצוא את נקודות החיתוך עצמן.

 1. פתרון של מערכת משוואות אחת משוואה ריבועית והשנייה קו ישר

לפני שניגש לפתרון תרגילים אסביר משהו תאורטי חשוב שעוזר בפרק זה ובפרקים נוספים של מתמטיקה.

ניקח את פונקציה הריבועית f(x)=x²+6x-16  ונצייר לה גרף.
לנקודות שנמצאות על הגרף יש ערך X וערך Y,  מה הנקודות שעל הגרף מסמלות?
תשובה: הנקודות הללו הן נקודות שאם נציב את ערך ה X שלהם בפונקציה f(x)=x²+6x-16 נקבל את ערך ה Y שלהן. ברוב המקומות תמצאו את הביטוי "מקיימות את הפונקציה" כדי לתאר אותן.

ועכשיו ניקח פונקציה קווית ונשרטט לה גרף. מה הנקודות שעל הגרף מסמלות?
תשובה: הנקודות הללו הן נקודות מקיימות את הפונקציה f(x)=5x-3.

יש נקודות בהם שני הגרפים נפגשים. מה הנקודות הללו מסמלות?
תשובה: אלו נקודות שמקיימות את הפונקציה הראשונה ושנייה.
מבחינה אלגברית הנקודות הללו הן הפתרון של מערכת המשוואות הכוללת את שתי הפונקציות.

בשורה התחתונה מה שרציתי להגיד שכאשר מבקשים ממכם לפתור מערכת של שתי משוואות בעצם מבקשים ממכים למצוא את נקודות החיתוך של הגרפים של שתי המשוואות.
ואם מצאתם נקודות חיתוך של פונקציות מצאתם את הפתרון של מערכת המשוואות.

  • שתי נקודות חיתוך – שתי פתרונות.
  • נקודת חיתוך אחת – פתרון אחד.
  • אין נקודות חיתוך – אין פתרונות למערכת המשוואות.
הגרפים של הפונקציות f(x)=x²+6x-16 ו f(x)=5x-3. הנקודות 1 ו 2 הם הפתרונות של מערכת המשוואות

הגרפים של הפונקציות f(x)=x²+6x-16 ו f(x)=5x-3. הנקודות 1 ו 2 הם הפתרונות של מערכת המשוואות

סוגי שאלות שיכולים לשאול אותכם

בנושא של חיתוך ישר ופרבולה יש מספר סוגי שאלות שיכולים לשאול אותכם:

א. מצאו נקודות חיתוך של פרבולה וישר
עושים זאת על ידי:

  1. פתרון רגיל של שתי משוואות עם שני נעלמים.
  2. מציבים את ערך ה X שמצאנו באחת המשוואות (לא משנה איזו) ומוצאים את ערך ה Y.

למשל: מצאו את נקודות החיתוך של y=x²-5x+20 ו- y=4x+2.
פותרים את המשוואה: x²-5x+20=4x+2.
x²-9x+18=0
x-3)(x-6)=0)
x=3 או x=6
עכשיו נציב בפונקציה y=4x+2 ונמצא את ערכי ה Y של הפתרון

y=4*3+2=14
y =4*6+2=26
תשובה: נקודות החיתוך הן  (3,14) (26, 6).
כך זה נראה בגרף:

נקודות החיתוך של y=x²-5x+20 ו- y=4x+2.

נקודות החיתוך של y=x²-5x+20 ו- y=4x+2.

ב. מצאו ישר שאין לו נקודות חיתוך / שיש לו נקודת חיתוך אחת / שיש לו שתי נקודות חיתוך עם פרבולה נתונה.
יש מספר דרכים לענות על שאלה זו. דרך פופולרית היא:

  1. למצוא את קודקוד הפרבולה.
  2. לזהות אם הפרבולה היא מינימום או מקסימום ואז:
  3. – אם מבקשים 0 פתרונות – להציג גרף ישר מקביל לציר ה- X מהצורה Y=מספר הנמצא מתחת לפרבולה אם זו פרבולת מינימום או מעל הפרבולה אם זו פרבולת מקסימום.
    – אם מבקשים פתרון אחד – מציגים ישר המקביל לציר ה – X שערך ה- Y שלו הוא ערך ה- Y של קודקוד הפרבולה.
    אם מבקשים שתי פתרונות – מציגים ישר המקביל לציר ה – X שערך ה- Y שלו גדול יותר מערך ה- Y של קודקוד הפרבולה אם זו פרבולת מינימום וערך קטן יותר מערך הקודקוד עם זו פרבולת מקסימום.
    ערך ה- X של קודקוד הפרבולה נתון על ידי הנוסחה:

נוסחה לקודקוד הפרבולה

עבור הפרבולה y=x² – 4
מצאו משוואות ישרים היוצרים שתי נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת ואפס נקודות חיתוך.

פתרון
שלב 1: נמצא את ערכי נקודת קודקוד הפרבולה.
a = 1, b = 0 , c = -4
x= 0

נציב x=0 במשוואת הפרבולה ונמצא את ערך ה y של הקודקוד:
y = 0² -4 = -4
קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה (4-, 0).

שלב 2: האם זו פרבולת מינימום או מקסימום?
מכוון שהמקדם של x² הוא חיובי (a=1) זו פרבולה עם נקודת מינימום.

שלב 3: מציאת משוואות הישרים
ניתן להעביר לה 3 קווים המקבילים לציר ה X והיוצרים מספר פתרונות שונה.
הקו  y= -2 – נמצא מעל קודקוד הפרבולה ולכן יוצר 2 נקודות חיתוך.
הקו y= -4 עובר דרך קודקוד הפרבולה ומשיק לו, לכן יש לו נקודת חיתוך אחת עם הפרבולה.
הקו y= -5 נמצא מתחת לקודקוד ואין נקודות חיתוך עם הפרבולה.

תרגילים לדוגמה

תרגיל 1

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y=x²+5x+2    עם הישר y=4x+22.
פתרון
נמצא את ערכי ה- X של נקודות המפגש.
(x2+5x+2 = 4x+22  / -(4x+22
X2+x-20=0  / אשתמש בפירוק הטרינום
x+5)(x-4)=0)
x-4=0 x=4   או x+5=0 x=-5

נמצא את ערכי ה- Y של נקודות המפגש, ניתן להציב את הערכים שקיבלנו במשוואת הישר או הפרבולה. יותר קל להציב במשוואת הישר.
Y=4*4+22=16+22=38 הנקודה היא (38, 4).
Y=4*-5+22=-20+22=2 הנקודה היא (2, 5-).

הגרפים של הפרבולה y=x²+5x+2 והישר y=4x+22.

הגרפים של הפרבולה y=x²+5x+2 והישר y=4x+22.

תרגיל 2

נתונה הפרבולה y=x² -7x-2. מצאו משוואת ישרים שיש להם 0 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או שתי נקודות חיתוך עם משוואת הפרבולה.

פתרון
נמצא את שיעור ה- X של קודקוד הפרבולה.
שיעור ה- X נתון על ידי      x = 7/2=3.5
שיעור ה- Y של הקודקוד הוא y = 3.5²-7*(-3.5) -2=-14.25

בנוסף, מכוון שהמקדם של x² הוא חיובי זו פרבולה עם קודקוד מינימום ("מחייכת", "ישרה").
לכן לישר y=-14.25  יש נקודת חיתוך אחת עם הפרבולה – הוא נוגע בה בקודקוד.
לישר y=-17 אין נקודות חיתוך עם הפרבולה – הוא עבר מתח,.
לישר y=-10 יש שתי נקודות חיתוך עם הפרבולה – משום שהוא נוגע בה בשני הענפים.

שרטוט הפרבולה y=x² -7x-2 ושלושה ישרים שלכול אחד מיהם מספר נקודות חיתוך שונה איתה

שרטוט הפרבולה y=x² -7x-2 ושלושה ישרים שלכול אחד מיהם מספר נקודות חיתוך שונה איתה

תרגיל 3 – ישרים מיוחדים

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y=-3x2-5x+1  עם הישרים:
1) x=2
2)  y=4

פתרון
נציב x=2 במשוואת הפרבולה.
Y=-3*22-5*2+1=-21
לכן נקודת החיתוך עם הישר x=2 היא (21-, 2).

נציב Y=4 במשוואת הפרבולה
4=3x2-5x+1-
0=3x2-5x-3-
למשוואה זו אין פתרונות לכן הישר Y=4 לא חותך את הפרבולה y=-3x²-5x+1

כך זה נראה בגרף:

שרטוט הפרבולה y=-3x²-5x+1 ושני הישרים

שרטוט הפרבולה y=-3x²-5x+1 ושני הישרים

 

מציאת נקודות חיתוך של שתי פרבולות

כיצד מוצאים נקודות חיתוך של שתי פרבולות?

מתייחסים אל שני הפרבולות כמו אל שתי משוואות עם שני נעלמים (בדיוק כפי שמצאנו נקודות חיתוך של ישר ופרבולה). למשל: y=x²-10x-10 ו- y=x²-x+8.

  1. יוצרים משוואה  x²-x+8= x²-10x-10. פותרים ומוצאים את ערכי ה- X של נקודות החיתוך.
  2. מציבים את ערכי ה- X באחת הפרבולות ומקבלים את ערכי ה- Y של נקודות החיתוך.

כיצד יודעים כמה נקודות חיתוך יש לשתי פרבולות מבלי למצוא את נקודות החיתוך

ניתן להשוות את משוואות הפרבולות ולראות כמה פתרונות יש להן. למשל, כמה נקודות חיתול יש לפרבולות  y=x²-10x-10 ו- y=x²-x+8.
פתרון
(x²-x+8= x²-10x-10   / (x²-10x-10 –
9x+18=0
זו משוואת קו ישר ולכן יש לה פתרון אחד. אם היינו רוצים לדעת מה הוא הפתרון היינו ממשיכים ופותרים אך על מנת לדעת כמה פתרונות אין צורך לעשות זאת.

כאשר נשווה בין משוואות הפרבולות יתכן ונקבל משוואה ריבועית ואז נבדוק כמה שורשים / פתרונות יש למשוואה (על ידי מציאת הדלתא) – מספר נקודות החיתוך הוא כמספר הפתרונות.

תרגילים

נתונות הפרבולות Y=3x2-5x-10 ו – y=2x2+5x-26.
1) מצאו את מספר נקודות החיתוך של הפרבולות מבלי למצוא את נקודות החיתוך עצמן.
2) מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולות.

פתרון

1)נשווה את משוואות הפרבולות.
(3x2-5x-10=2x2+5x-26/ -(2x2+5x-26
x2-10x-16=0   – זו משוואה ריבועית. נבדוק בדרך אלגברית כמה פתרונות יש למשוואה.
נמצא את הערך של b2-4ac וכך נוכל לדעת את מספר הפתרונות.
(16-)*2-4*1  – 10²
36=100-64
0<36
תשובה: הדלתא חיובית לכן לפרבולות Y=3x²-5x-10 ו – y=2x2+5x-26 יש שתי נקודות חיתוך.
2) נשווה את משוואות הפרבולות
(3x2-5x-10=2x2+5x-26 /-(2x2+5x-26 –
x2-10x-16=0  / נשתמש בפירוק הטרינום
x-8)(x-2)=0)
x-8=0  x=8    או   x-2=0   x=2

עכשיו עלינו למצוא את ערכי ה- y של נקודות המפגש. על מנת לעשות זאת נציב את ערכי ה- X שקיבלנו במשוואת הפרבולות. זה לא משנה באיזו פרבולה נציב את ערכי ה- X משום שהפרבולות נפגשות בנקודות הללו.
נציב X=8.
2 * 82 + 5*8 – 26 = 128+40-26=142
נציב x=2
2*22+5*2-26=8-10-26=-28

תשובה: נקודות המפגש של הפרבולות הן: (142, 8)  ו- (-28, 2).

כך זה נראה בגרף.

הגרפים ונקודות החיתוך של הפרבולות Y=3x²-5x-10 ו – y=2x2+5x-26

הגרפים ונקודות החיתוך של הפרבולות Y=3x²-5x-10 ו – y=2×2+5x-26

עוד באתר:
דף זה הוא חלק ממספר דפים העוסקים במשוואה ריבועית ופונקציה ריבועית. הדפים האחרים הם:

  1. משוואה ריבועית – כיצד לפתור משוואה זו בעזרת נוסחת השורשים, פירוק הטרינום, השלמה לריבוע ועוד.
  2. משפחות של פרבולות והזזה של פרבולה – כיצד משפיעים הפרמטרים השונים על גרף הפרבולה.
  3. אי שוויונים ריבועיים – כיצד לפתור.
  4. מתמטיקה כיתה ט – הסברים לתרגילים לחומר הנלמד בשנה זו.

 

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “פרבולה ומשוואה ריבועית כיתה ט הסבר ותרגילים

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.