הסתברות כיתה ט

השאלות בהסתברות הן יחסית קצרות בזמן ובכתיבה כך שמי ששולט בהסתברות מרוויח לא רק פתרון נכון אלא גם יותר זמן לפתור תרגילים אחרים.
בדף זה אנסה לכסות את כל העקרונות שאתם צריכים לדעת בכיתה ט. חילקתי את הדף לשלושה חלקים.

  1. 5 מושגים חדשים הנלמדים בכיתה ט.
  2. 9 תרגילים בהסתברות.

מה שאין בדף זה אלו טבלאות שכיחויות והצגת הסתברויות דרך דיאגרמת עיגול.

חמישה מושגים חדשים הנלמדים בכיתה ט

בחלק הראשון של הדף נסביר 5 מושגים חדשים הנלמדים בכיתה ט.
מאורעות בלתי תלויים, מאורעות תלויים ומאורעות זרים – אלו שלושה מושגים שאתם צריכים להבין.
הסתברות מותנית ודיאגרמת עץ – אל ומושגים משמעותיים יותר ואני ממליץ לצפות בוידאו שלהם וגם ללמוד אותם מהדף הנפרד שלהם (קישורים לאחר הסרטונים).

מאורעות בלתי תלויים ומאורעות תלויים

מושג שלישי: מאורעות זרים

עכשיו אנו עוברים אל שני מושגים חשובים יותר שאני ממליץ לאחר הוידאו ללמוד אותם מהדפים הנפרדים שלהם.

מושג רביעי: הסתברות מותנית

מושג חמישי: דיאגרמת עץ

עוד באתר:

  1. מתמטיקה כיתה ט – סיכום החומר הנלמד בשנה זו + תרגילים.
  2. הסתברות – הדף המרכזי באתר בנושא זה, לכול הרמות.
  3. מאורעות זרים – הסבר לסוג זה של הסתברות.

תרגילים לחימום הקנה 

בוידאו הזה הסבר על ההבדל בין התרגילים של כיתה ח לתרגילים של כיתה ט ומספר תרגילים פתורים לתלמידי כיתה ט.

תרגילים בהסתברות לכיתה ט

בחלק זה של הדף 9 תרגילים.
תרגילים 1-3 הם חזרה על חומר של כיתה ח.
תרגילים 4-5 הם תרגילי הסתברות בהם יש שני מאורעות בלתי תלויים.
תרגילים 6-7 הם על מאורעות תלויים.
תרגילים 8-9 הם בנושא דיאגרמת עץ.

תרגיל 1

לקובייה יש 6 צדדים. 4 מתוכם אדומים ו 2 כחולים.

  1. זורקים את הקובייה פעם אחת מה הסיכוי לקבל אדום?
  2. זורקים את הקובייה פעמיים. בפעם הראשונה יצא אדום. מה ההסתברות שבזריקה השנייה נקבל צד כחול?
  3. זורקים את הקובייה 300 פעמים. כמה פעמים (בקירוב) נקבל אדום?

פתרון

סעיף א
יש 4 אפשרויות מתוך 6 לקבל אדום.
לכן ההסתברות לקבל אדום היא:
4/6 = 6 : 4

סעיף ב
ההסתברות לקבל בפעם השנייה כחול לא קשורה למה שקרה בזריקה הראשונה.
יש 2 צדדים כחולים מתוך 6 צדדים. לכן ההסתברות לקבל כחול היא:
1/3 = 6 : 2

סעיף ג
כאשר נזרוק את הקובייה הרבה מאוד פעמים מספר הפעמים שיצא אדום יהיה קרוב למספר הפעמים שנחשב בעזרת ההסתברות.
200 = 300 * (4/6)
תשובה נקבל כ- 200 פעמים אדום.

תרגיל 2: הסתברות פשוטה, סכום הסתברויות, שתי מאורעות

בקופסה נמצאים 10 כדורים.
על כל כדור כתוב מספר אחר  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

  1. אם נוציא כדור אחד מה ההסתברות להוציא מספר זוגי?
  2. אם נוציא כדור אחד מה ההסתברות שיהיה כתוב אליו המספר 3 או קטן ממנו?
  3. שאלה קשה יותר: אם נוציא שני כדורים אחד אחרי השני וללא החזרת הראשון. מה ההסתברות ששניהם יהיו גדולים מ- 3?

פתרון:

שרטוט התרגיל

סעיף א
יש 5 כדורים עם מספרים זוגיים, כלומר 5 אפשרויות טובות.
יש סך הכל 10 כדורים.
לכן ההסתברות להוציא מספר זוגי היא:
0.5 = 10 : 5

סעיף ב
יש 3 כדורים שכתוב עליהם המספר 3 או קטן ממנו.
יש סך הכל 10 כדורים.
לכן ההסתברות להוציא מספר 3 או קטן ממנו היא:
0.3 = 10 : 3

סעיף ג
בהוצאת הכדור הראשון יש 7 מספרים גדולים מ- 3.
יש סך הכל 10 כדורים.
ולכן ההסתברות להוציא מספר הגדול מ- 3 היא:
0.7 = 10 : 7

במקרה והוצאנו בפעם הראשונה כדור גדול מ 3 אז נותרו לנו 6 כדורים כדורים שמספרם גבוה מ- 3
יש סך הכל 9 כדורים.
ולכן ההסתברות להוציא מספר הגדול מ- 3 היא:
0.66 = 9 :6

ההסתברות של המאורע הראשון היא 0.7
ההסתברות של המאורע השני היא 0.66.
כאשר מחשבים את ההסתברות שהמאורע הראשון יקרה וגם המאורע השני יקרה אנו מכפילים את ההסתברויות.
0.4666 = 0.66 * 0.7
תשובה: ההסתברות ששני הכדורים יכללו מספרים גדולים מ- 3 היא 0.4666.

תרגיל 3

זורקים קובייה 3 פעמים.

  1. מה ההסתברות לקבל 3 פעמים 2?
  2. מה ההסתברות לקבל בשתי הפעמים הראשונות 2 ובפעם השלישית 6?
  3. אם זורקים את הקובייה 5 פעמים. מה ההסתברות לקבל 5 פעמים 2?

פתרון

סעיף א
ההסתברות לקבל בזריקה הראשונה 2 היא 1/6.
בזריקה השנייה 1/6.
בזריקה השלישית 1/6.
על מנת לחשב את ההסתברות ששלושתם יקרו ביחד עלינו להכפיל את שלושת ההסתברויות.
0.00021 = ³(1/6) = 1/6 * 1/6 * 1/6

סעיף ב
ההסתברות לקבל בשתי הפעמים הראשונות 2 היא
1/36 = ²(1/6) = 1/6 * 1/6
ההסתברות לקבל בפעם השלישית 6 היא 1/6

על מנת לחשב את ההסתברות ששני הדברים יקרו עלינו להכפיל את ההסתברויות.
0.00021 = ³(1/6) = (1/6) * (1/36)
תשובה: ההסתברות לקבל בפעמיים הראשונות 2 ובפעם השלישית 6 היא 0.00021.

סעיף ג
על בסיס הפתרון של הסעיפים הקודמים אנו מבינים שבכול פעם שאנו זורקים קובייה ההסתברות לקבל 2 היא 1/6.
לכן עבור 5 פעמים נקבל
5(1/6) = 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6

חישוב הסתברות משותפת של שני מאורעות שונים ובלתי תלויים

תרגיל 4:

מסובבים שני גלגלי מזל, כל גלגל מסתובב פעם אחת.
על גלגל אחד רשומים המספרים 1,2,3.
על גלגל שני רשומים המספרים 1,2.

  1. מה ההסתברות לקבל בשני הגלגלים 2?
  2. מה ההסתברות לקבל בשני הגלגלים מספר אי זוגי?

הסתברות שני מאורעות

פתרון

סעיף א
בגלגל הראשון יש 2 מספרים. ושתיים מופיע פעם אחת.
לכן ההסתברות ל 2 בגלגל הראשון היא:
1/2 = 2 : 1

בגלגל השני יש 3 אפשרויות והמספר 2 מופיע פעם אחת.
לכן ההסתברות לקבל 2 בגלגל השני היא
1/3 = 3 : 1

על מנת לקבל את ההסתברות ששני הדברים יקרו בו זמנית נכפיל את שתי ההסתברויות:
1/6 = (1/2) * (1/3)

*הערה: על מנת לחשב את ההסתברות ששני המאורעות יקרו ביחד השתמשנו בנוסחה של מאורעות בלתי תלויים.
(P (A∩B) = P (A) * P (B
כאשר:
A – המאורע שיצא 2 בגלגל הראשון.
B – המאורע שיצא 2 בגלגל השני.

סעיף ב
בגלגל הראשון יש רק מספר אי זוגי אחד (1) וההסתברות לקבל אותו היא 1/2.

בגלגל השני יש שני מספרים אי זוגיים (1,3) וההסתברות לקבל אותם היא  2/3.

ההסתברות ששני הדברים יקרו בו זמנית היא:
1/3 = (1/2) * (2/3)

*הערה. שוב פעם זו הנוסחה:
(P (A∩B) = P (A) * P (B

תרגיל 5

מסובבים סביבון וזורקים קובייה.
על הסביבון רשימות האותיות נ,ג,ה,פ.
על הקובייה המספרים 1,2,3,4,5,6.

מה ההסתברות שיצא המספר 3 בקובייה והאות ג בסביבון?
מה ההסתברות שבקובייה יצא מספר זוגי גדול מ 3 ובסביבון לא תצא האות פ?

פתרון
סעיף א
ההסתברות למספר 3 בקובייה היא 1/6.

בסביבון יש 4 אפשרויות והאות ג היא אחת מיהן.
לכן ההסתברות לאות ג היא 1/4.

ההסתברות ששתי המאורעות יקרו ביחד היא:
1/24 = 1/4 * 1/6

סעיף ב
עבור הקובייה.
המספרים הזוגיים הגדולים מ 3 הם 4,6.
ההסתברות שבזריקת קובייה נקבל 4 או 6 היא:
1/3 = 2/6 = 6 : 2.

עבור הסביבון
ההסתברות לא לקבל פ היא ההסתברות לקבל את אחת משלושת האותיות נ,ג,ה.
ההסתברות הזו היא:
3/4 = 4 : 3

ההסתברות ששני המאורעות יקרו ביחד היא מכפלת ההסתברויות.
1/4 = 3/12 = (3/4) * (1/3)
*הערה: השתמשנו בנוסחה
(P (A∩B) = P (A) * P (B

הסתברות מותנית / מאורעות תלויים

תרגיל 6

ידוע כי ההסתברות ליום גשם ביום מקרי במהלך השנה בישראל היא 0.16.
מניסיונכם האישי: כיצד הסתברות זו הייתה משתנה אם היה נאמר לכם שהיום יום קיץ? יום חורף? אם אתם יודעים שאנשים הולכים עם מעילים בחוץ?

פתרון
אם בממוצע ההסתברות ליום גשם היא 0.16 אז ביום קיץ ההסתברות תהיה נמוכה מ 0.16.

ביום חורף או כאשר אנשים הולכים עם מעילים בחוץ ההסתברות תהיה גבוהה מ 0.16.

תרגיל 7

זורקים פעם אחת קוביית משחק הוגנת שעליה המספרים 1,2,3,4,5,6.

  1. מה ההסתברות שהמספרים 5 או 6 לא יצאו?
  2. אם ידוע שיצא מספר קטן מ 4. מה ההסתברות שיצא מספר זוגי?

פתרון
סעיף א
כאשר מבקשים שהמספרים 5,6 לא יצאו זה כמו לבקש שהמספרים 1,2,3,4 כן יצאו.
יש 4 אפשרויות טובות.
סך הכל יש 6 אפשרויות.
לכן ההסתברות היא:
0.66 = 6 : 4.

סעיף ב
דרך פתרון ראשונה
ידוע שיצא מספר הקטן מ 4.
כלומר יצא אחד מהמספרים 1,2,3. סך הכל יש 3 אפשרויות.
מתוכם המספר הזוגי היחיד הוא 2. לכן יש לנו רק אפשרות אחת טובה.
לכן ההסתברות היא 1 מתוך 3.
0.333 = 3 : 1.

דרך פתרון שנייה
לפתור את התרגיל היא בעזרת הנוסחאות של הסתברות מותנית.
נגדיר את המאורעות הבאים:
A –  ההסתברות שיצא מספר זוגי.
B – יצא מספר הקטן מ 4.

0.5 = P (B) = 1/2  (זו ההסתברות למספר זוגי).
0.166 = P (A∩B) = 1/6 זו ההסתברות לקבל מספר זוגי הקטן מ 4. (ההסתברות לקבל 2 בזריקת קובייה).
נציב את הנתונים הללו בנוסחה

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))

ונקבל:
P (A / B) = 0.166 : 0.5 = 0.33

*הערה המאורעות "יצא מספר קטן מ 4" והמאורע " יצא מספר זוגי" הם מאורעות תלויים.
לכן לא יכולנו להשתמש בנוסחה
(P (A∩B) = P (A) * P (B
המיועדת למאורעות בלתי תלויים. שימוש בה היה גורם לטעות.

דיאגרמת עץ

תרגיל 8

באימון כדורגל בועטים לשער.
הסיכוי להבקיע גול בבעיטה הראשונה הוא 1/3.
אם הבקעתם גול בבעיטה הראשונה הסיכוי להבקיע גול בבעיטה השנייה 3/4.
אם החמצתם בבעיטה הראשונה הסיכוי להבקיע גול בבעיטה השנייה הוא 1/4.
לילך בועטת לשער פעמיים.

  1. מה ההסתברות שלילך תבקיע שני גולים בשתי בעיטות?
  2. מה ההסתברות שלא תבקיע גול בכלל?
  3. מה ההסתברות שתבקיע גול אחד בשתי הבעיטות.

פתרון

ניתן לשרטט דיאגרמת עץ על מנת לפתור את השאלה – אך זו לא חובה.

שרטוט התרגיל בדיאגרמת עץ

סעיף א
הענף מצד שמאל מייצג את ההסתברות המבוקשת.
ההסתברות לגול בבעיטה הראשונה היא 1/3.
ההסתברות לגול בבעיטה השנייה 3/4 (בתנאי שהבעיטה הראשונה הצליחה).
ההסתברות שגם הדבר הראשון וגם הדבר השני יקרו היא מכפלת ההסתברויות.
1/4 = 3/12= (1/3) *  (3/4)
תשובה: ההסתברות להבקיע שני גולים בשתי בעיטות היא 1/4.

סעיף ב
הענף המייצג את ההסתברות המבוקשת הוא הענף השמאלי.
ההסתברות להחמיץ בבעיטה הראשונה היא
2/3 = 1-1/3
אם החמצתם בבעיטה הראשונה ההסתברות להחמיץ בבעיטה השנייה היא
3/4 = 1-1/4
לכן ההסתברות להחמיץ בשתי הבעיטות היא
1/2 = 6/12 = (2/3)  * (3/4)

סעיף ג
ניתן לפתור שאלה זו בשתי דרכים:
דרך 1:
בדרך זו נחשב ישירות את ההסתברויות.
– להבקיע בראשון ולהחמיץ בשני (הענף השני משמאל).
1/12 = (1/3)  * (1/4)
– להחמיץ בראשון ולהבקיע בשני (הענף השני מימין).
1/6 = 2/12 = (2/3) * (1/4)

בשאלה מבקשים מאיתנו שאחד משני הדברים הללו יקרה.
כלומר הקשר בין ההסתברויות הוא קשר של "או".
בקשר של "או" אנחנו מחברים את ההסתברויות.
0.25 = 1/12 + 1/6.
תשובה: ההסתברות להבקיע גול פעם אחת היא 0.25.

דרך פתרון שנייה
בדרך זו נשים לב שהסעיפים הקודמים יכולים לעזור לנו להגיע לפתרון.
כאשר בועטים 2 פעמים יש בסך הכל 3 אפשרויות:
1)לא להבקיע גול. 2)להבקיע גול אחד. 3)להבקיע 2 גולים.
לכן הבקעת גול 1 היא ההסתברות המשלימה של שתי ההסתברויות שמצאנו בסעיפים 1 ו- 2.
לכן:
0.25= 1-0.5-0.25
תשובה: ההסתברות להבקיע גול פעם אחת היא 0.25.

הערה: איזו דרך מבין שני הדרכים עדיפה?
הדרך הראשונה קצרה ודורשת פחות חישובים – אבל הסכנה בה היא שנשמיט את אחת המאורעות  – כלומר מה שנחשוב שהוא המאורע המשלים לא יהיה באמת המאורע המשלים. במקרה זה נאבד חלק ניכר מהניקוד.
הדרך השנייה ארוכה יותר ודורשת ריכוז, קפדנות ותשומת לב לפרטים קטנים.

תרגיל 9: שאלה קשה מהרגיל

בשכבת בית ספר 120 תלמידים.
1/4 מהתלמידים בשכבה גרים במרחק של עד 4 ק"מ מבית הספר.
1/10 מתלמידי השכבה מאחרים לבית ספר.
1/5 מהתלמידים הגרים במרחק  של עד 4 ק"מ מבית הספר מאחרים לבית הספר.

  1. מה ההסתברות שתלמיד הגר במרחק של של יותר מ 4 קילומטר מאחרים לבית ספר?
  2. כמה תלמידים הגרים יותר רחוק מ 4 קילומטר לא מאחרים כלל לבית הספר?
  3. דגמו תלמיד הגר במרחק רחוק מ 4 קילומטר. מה ההסתברות שהוא מאחר לבית ספר?  לאחר שמצאתם את ההסתברות הוסיפו אותה לעץ במקום הנכון.

פתרון

נשרטט דיאגרמת עץ עבור התרגיל

דיאגרמת עץ

סעיף א
תלמיד מאחר במרחק של יותר מ 4 קילומטר זה ענף 3 שאין לנו את ההסתברויות שלו.

נשים לב שבנתון "1/10 מתלמידי השכבה מאחרים לבית הספר לא עשינו שימוש"
כמו כן נשים לב שהנתון הזה הוא סכום הענפים 1 ו 3.

נחשב את ההסתברות של ענף 1.
0.05 = 0.2 * 0.25

ההסתברות של ענף 3 היא ההפרש בין כל המאחרים (1/10 = 0.1) לענף מספר 1.
0.05 = 0.05 – 0.1

סעיף ב
עלינו לחשב את ההסתברות של ענף 4.
אנו יודעים שסכום הענפים 3 ו 4 הוא 0.75.
אנו יודעים שענף 3 הוא 0.05.
לכן ההסתברות של ענף 4 היא:
0.7 = 0.05 – 0.75

נשים לב שלא שאלו אותנו על ההסתברות אלא שאלו על מספר התלמידים.
מספר התלמידים הוא:
84 = 0.7 * 120
תשובה: 84 תלמידים גרים רחוק יותר מ 4 קילומטר ולא מאחרים לבית הספר.

סעיף ג
נגדיר:
A – מאחרים לבית הספר.
B גרים במרחק של יותר מ 4 קילומטר. P(B) = 0.75

עלינו למצוא את (P (A/B.

ההסתברות הסופית של של ענף 3 היא למעשה:
P (A ∩B) = 0.05

נציב את הנתונים הללו בנוסחה:

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))

הנוסחה להסתברות מותנית

P (A/B) = 0.05 : 0.75 = 0.066

נוסיף את ההסתברות הזו לעץ במקום הנכון:
דיאגרמת עץ

פתרון של תרגיל דומה בוידאו

נספח: תרגילי וידאו

סיימתי לכתוב את הדף וחשבתי שהוא דף טוב העונה לצרכים של כיתה ט.
לאחר מיכן כתבתי דף אחר הכולל סרטוני וידאו עבור תלמידי כיתה יא ברמת 3 יחידות.
ואז חשבתי שהסרטונים יכולים להתאים גם לכאן.

לכן, הסרטונים הללו הם לא חובה, אבל בכול שאלה בהסתברות הניסוח הוא קצת שונה והניסוח יכול להכשיל.
אני ממליץ לקרוא את השאלות, אם אתם יודעים אז לדלג ואם לא ללחוץ play.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

1 thought on “הסתברות כיתה ט

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.