הסתברות כיתה ט

השאלות בהסתברות הן יחסית קצרות בזמן ובכתיבה כך שמי ששולט בהסתברות מרוויח לא רק פתרון נכון אלא גם יותר זמן לפתור תרגילים אחרים.
בדף זה אנסה לכסות את כל העקרונות שאתם צריכים לדעת בכיתה ט. חילקתי את הדף לשלושה חלקים.

  1. סרטוני וידאו המסבירים את התאוריה ופותרים בהם תרגילים.
  2. מושגי יסוד בהסתברות הנלמדים בכיתה ט.
  3. 7 תרגילים בהסתברות – שנועדו ליישום העקרונות והצגת דרכים שבהם שאלה יכולה להיכתב.

מה שאין בדף זה אלו טבלאות שכיחויות והצגת הסתברויות דרך דיאגרמת עיגול.

סרטוני וידאו המתאימים לכיתה ט

הסרטון הראשון הוא סרטון תאורטי המסביר מושגים בהסתברות. שני הסרטונים שלאחר מיכן הם סרטונים שבעיקר פותרים תרגילים.

סרטון חזרה על החומר של כיתה ח

ארבעה מושגים חדשים הנלמדים בכיתה ט

מושג ראשון: מאורעות בלתי תלויים

מאורעות בלתי תלויים הם מאורעות שאם ידוע שאחד קרה זה לא משפיע על ההסתברות שהשני יקרה.

בשפה מתמטית כותבים זאת כך:
המאורעות A ו B הם בלתי תלויים אם:
(P (B) = P(B/A

למשל: זורקים שתי קוביות. אם ידוע שבקובייה הראשונה יצא 3. מה ההסתברות שבקובייה השנייה יצא 3?
פתרון: אין קשר בין התוצאות בשתי הקוביות. אלו מאורעות בלתי תלויים.
לכן ההסתברות ל 3 בזריקה השנייה היא 1/6.

תרגיל. בקופסה 6 כדורים אדומים ו 4 כדורים צהובים. מוצאים כדור אחד ומחזירים אותו לקופסה. מוצאים כדור נוסף.
האם יש תלות בין צבע הכדור הראשון שיצא לצבע הכדור השני?
אם ידוע שהכדור הראשון שיצא הוא צהוב. מה ההסתברות שהכדור השני הוא צהוב?

פתרון: מכוון שמחזירים את הכדור שיצא לקופסה, המצב חוזר לקדמותו ואין השפעה לצבע הכדור שיצא על צבע הכדור השני שיצא.
ההסתברות שהשני צהוב היא 4/10.

מושג שני: מאורעות תלויים

מאורעות תלויים הם מאורעות שידיעה שאחד מיהם התרחש משנה את ההסתברות שהשני התרחש.
בניסוח מתמטי כותבים:
אם A,B הם מאורעות תלויים אז:
(P (A) ≠ P (A / B
כלומר אם ידוע ש B קרה זה משנה את ההסתברות שיקרה A.

דוגמאות מחיי היום יום שלנו:

העומס בכבישים והשעה ביום הם מאורעות תלויים. אם ידוע שיש עומס הכבישים ההסתברות לכך שעכשיו שעות הבוקר או שעות אחר הצהריים עולה.
וליהפך, אם ידוע שעכשיו לילה אז ההסתברות שאין עומס עולה.

הטמפרטורה והחודש בשנה הם מאורעות תלויים.
אם ידוע שעכשיו הטמפרטורה מתחת ל 10 מעלות  אז ההסתברות שעכשיו אחד מחודשי החורף עולה.
וליהפך, אם ידוע שעכשיו יש יותר מ 30 מעלות אז ההסתברות לכך שעכשיו אחד מחודשי הקיץ עולה.

דוגמה מעולם ההסתברות.
אם בקופסה 4 כדורים אדומים ו 3 כדורים צהובים. מוציאים כדור אחד ומשאירים אותו בחוץ.
מוציאים כדור שני. האם ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא צהוב תלויה בצבע הכדור הראשון שיצא?

פתרון: כן, הצבע של הכדור הראשון שיצא משפיע על ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא כדור צהוב.
הסבר:
אם הכדור הראשון שיצא הוא אדום אז כאשר מוצאים את הכדור השני יש בקופסה 6 כדורים 3 מתוכם צהובים וההסתברות להוציא צהוב היא 3/6.
אם הכדור הראשון שיצא הוא צהוב אז כאשר מוציאים את הכדור השני יש בקופסה 6 כדורים, 2 מתוכם צהובים וההסתברות להוציא צהוב היא 2/6.
מצאנו שהצבע של הכדור הראשון שיצא משנה את ההסתברות שהכדור השני צהוב ולכן אלו מאורעות תלויים.

מושג שלישי: מאורעות זרים

מאורעות זרים אלו מאורעות שלא יתכן שיקרו בו זמנית.
בשפה מתמטית כותבים זאת כך:
אם A ו B הם מאורעות זרים אז:
P (A/B) = 0, P(B/A) = 0
למשל:
היום יום שני, היום יום חמישי – אלו שני דברים שלא יתכן שיקרו ביחד ולכן אלו מאורעות זרים.
אני נמצא בישראל, אני נמצא בצרפת – לא יתכן שיקרה יחד, לכן אלו מאורעות זרים.
זורקים קובייה. יצא 2, יצא 6. – לא יתכן שיקרה יחד ולכן אלו מאורעות זרים.

מאורעות זרים הם תמיד תלויים. כי הידיעה שאחד מיהם קרה מורידה את ההסתברות שהשני יקרה ל 0.

יום שני ויום חמישי אלו שתי מאורעות זרים

יום שני ויום חמישי אלו שתי מאורעות זרים

מושג רביעי: דיאגרמת עץ

דיאגרמת עץ היא כלי עזר להצגת שאלות בצורה שקל יותר לפתור אותן.
נסביר כיצד:

  1. בונים דיאגרמת עץ.
  2. מה המשמעות של כל ענף בדיאגרמה.
  3. מבצעים חישובים בדיאגרמת עץ.

שאלה לדוגמה.

שכבת כיתה ט יצאו לטיול שנתי, 55% מתלמידי השכבה הן בנות. בערב הייתה הצגה שלא היה חובה ללכת אליה.
70% מהבנים הלכו להצגה. 60% מהבנות הלכו להצגה.

  1. שרטטו דיאגרמת עץ המציגה את הבעיה.

פתרון
הפיצול הראשון בדיאגרמת עץ הוא לבנים לעומת בנות.
עבור כל ענף נרשום את ההסתברות שלו. בנות (0.55) ובנים (0.45).

הפיצול הראשון בדיאגרמת העץ. רושמים הסתברות ליד כל ענף

הפיצול הראשון בדיאגרמת העץ. רושמים הסתברות ליד כל ענף

עכשיו עלינו להסתכל כיצד כל ענף מתפצל.
ענף הבנות מתפצל ל:
0.6 הלכו להצגה.
0.4 לא הלכו להצגה.

ענף הבנים מתפצל ל:
0.7 הלכו להצגה.
0.3 לא הלכו להצגה.

השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ

השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ

עכשיו בואו ננסה להבין את דיאגרמת העץ:
מה הנקודות 1,2,3,4 מסמלות?

כל נקודה מסמלת את הענפים שיש לעבור על מנת להגיע אליה.

  1. אלו בנות שלא הלכו להצגה.
  2. בנות שהלכו להצגה.
  3. בנים שהלכו להצגה.
  4. בנים שלא הלכו להצגה.

חישובים בדיאגרמת עץ.
כאשר הולכים לאורך דיאגרמת העץ מכפילים את ההסתברויות שעוברים על מנת להגיע אל הנקודה.
למשל על מנת להגיע אל הנקודה 2 עוברים דרך ההסתברויות 0.55 ו 0.6.
לכן ההסתברות להגיע לנקודה 2 היא 0.33 = 0.55 * 0.6.

ההסתברות להגיע אל הנקודה 3 היא 0.135 = 0.3 * 0.45.

סוג אחר של שאלות.
בשאלות אחרות יבקשו מאיתנו לחשב מה ההסתברות של שני ענפים.
למשל "בוחרים תלמיד כלשהו, מה ההסתברות שהוא הלך להצגה"

פתרון
אנחנו צריכים למצוא את ההסתברות שנבחר תלמידה שהלכה להצגה (ענף 2) או שנבחר תלמיד שהלך להצגה (ענף 3).
כאשר אנו צריכים לחשב הסתברות של שני ענפים (2 ו 3), אנחנו מחברים את ההסתברויות שלהם.
0.465 = 0.135 + 0.33

עוד באתר:

  1. מתמטיקה כיתה ט – סיכום החומר הנלמד בשנה זו + תרגילים.
  2. הסתברות – הדף המרכזי באתר בנושא זה, לכול הרמות.
  3. מאורעות זרים – הסבר לסוג זה של הסתברות.

תרגילים בהסתברות לכיתה ט

בהתחלה תרגילים המופיעים בטקסט, לאחר מיכן תרגילים עם פתרונות וידאו.

תרגיל 1: הסתברות פשוטה, סכום הסתברויות, שתי מאורעות

בקופסה נמצאים 10 כדורים.
על כל כדור כתוב מספר אחר  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

  1. אם נוציא כדור אחד מה ההסתברות להוציא מספר זוגי?
  2. אם נוציא כדור אחד מה ההסתברות שיהיה כתוב אליו המספר 3 או קטן ממנו?
  3. שאלה מתקדמת: אם נוציא שני כדורים אחד אחרי השני וללא החזרת הראשון. מה ההסתברות ששניהם יהיו גדולים מ- 3?

פתרון:

שרטוט התרגיל

1- יש 5 כדורים עם מספרים זוגיים מתוך 10. לכן ההסתברות להוציא מספר זוגי היא 5/10.

2- יש 3 כדורים שכתוב עליהם המספר 3 או קטן ממנו לכן ההסתברות היא 3/10.

3- בפעם הראשונה יש 7 מספרים גדולים מ- 3 ולכן ההסתברות להוציא מספר הגדול מ- 3 היא 7/10.
במקרה והצלחנו בפעם הראשונה נותרו 6 כדורים כדורים שמספרם גבוה מ- 3 ו- 9 כדורים בסך הכל בקופסה ולכן ההסתברות היא 6/9.
ההסתברות ששני המאורעות יתרחשו היא: (7/10)  *  (6/9) = 42/90 = 0.4666.
תשובה: ההסתברות ששני הכדורים יכללו מספרים גדולים מ- 3 היא 0.4666.

תרגיל 2: הסתברות משלימה, הסתברות מותנית

זורקים קוביית משחק הוגנת שעליה המספרים 1,2,3,4,5,6.

  1. מה ההסתברות שהמספרים 5 או 6 לא יצאו?
  2. אם ידוע שיצא מספר קטן מ 4. מה ההסתברות שיצא מספר זוגי?

פתרון

  1. מבקשים את ההסתברות שיצאו המספרים 1,2,3,4 מתוך 6 המספרים הקיימים בקובייה.
    ההסתברות לכך היא 4/6.
  2. ידוע כי יצא 1 או 2 או 3. מה ההסתברות שיצא 2? הסתברות זו היא 1 מתוך 3 שזה 1/3 (שליש).

תרגיל 3: הסתברות מותנית

ידוע כי ההסתברות ליום גשם ביום מקרי במהלך השנה בישראל היא 0.16.
מניסיונכם האישי: כיצד הסתברות זו הייתה משתנה אם היה נאמר לכם שהיום יום קיץ? יום חורף? אנשים הולכים עם מעילים בחוץ?

פתרון

ביום קיץ ההסתברות תהיה נמוכה מ 0.16.

ביום חורף או כאשר אנשים הולכים אם מעילים בחוץ ההסתברות תהיה נמוכה יותר.

תרגיל 4

לקובייה יש 6 צדדים. 4 מתוכם אדומים ו 2 כחולים.

  1. זורקים את הקובייה פעם אחת מה הסיכוי לקבל אדום?
  2. זורקים את הקובייה פעמיים. בפעם הראשונה יצא אדום. מה ההסתברות שבזריקה השנייה נקבל צד כחול?
  3. זורקים את הקובייה 300 פעמים. כמה פעמים (בקירוב) נקבל אדום?

פתרון

  1. ההסתברות לקבל אדום היא 4/6.
  2. ההסתברות לקבל בפעם השנייה צד כחול לא קשורה למה שהתקבל קודם לכן ההסתברות היא 2/6.
  3. 300 * (4/6) = 1200/6 = 200.
    תשובה נקבל כ- 200 פעמים אדום.

תרגיל 5

זורקים קובייה 3 פעמים.

  1. מה ההסתברות לקבל 3 פעמים 2?
  2. מה ההסתברות לקבל פעמיים 2 ובפעם השלישית 6?
  3. אם זורקים את הקובייה 5 פעמים. מה ההסתברות לקבל 5 פעמים 2?

פתרון

1.ההסתברות לקבל בזריקה אחת 2 היא 1/6. ההסתברות לקבל 3 פעמים 2 היא:
0.00021 = ³(1/6)

2. ההסתברות לקבל פעמיים 2 היא:
1/36 = ²(1/6)
ההסתברות לקבל בפעם השלישית 6 לאחר פעמיים 2 היא:
0.00021 = ³(1/6) = (1/6) * (1/36)

3. 5(1/6)

תרגיל 6

באימון כדורגל בועטים לשער.
הסיכוי להבקיע גול בבעיטה הראשונה הוא 1/3.
אם הבקעתם גול בבעיטה הראשונה הסיכוי להבקיע גול בבעיטה השנייה 3/4.
אם החמצתם בבעיטה הראשונה הסיכוי להבקיע גול בבעיטה השנייה הוא 1/4.שני בועטת לשער פעמיים.

  1. מה ההסתברות ששני תבקיע שני גולים בשתי בעיטות?
  2. מה ההסתברות שלא תבקיע גול בכלל?
  3. מה ההסתברות שתבקיע גול אחד. (הערה: שאלה בתחום של הסתברות מותנית).

פתרון

ניתן לשרטט דיאגרמת עץ על מנת לפתור את השאלה – אך זו לא חובה.

שרטוט התרגיל בדיאגרמת עץ

1-  ההסתברות לגול בבעיטה הראשונה היא 1/3.
ההסתברות לגול בבעיטה השנייה 3/4 (בתנאי שהבעיטה הראשונה הצליחה).
ההסתברות שגם הדבר הראשון וגם הדבר השני יקרו היא מכפלת ההסתברויות.
1/4 = 3/12= (1/3) *  (3/4)
תשובה: ההסתברות להכניס שני גולים בשתי בעיטות היא 1/4.

2 – ההסתברות להחמיץ בבעיטה הראשונה היא 1-1/3=2/3.
אם החמצתם בבעיטה הראשונה ההסתברות להחמיץ בבעיטה השנייה היא 1-1/4=3/4.
לכן ההסתברות להחמיץ בשתי הבעיטות היא (2/3)  * (3/4)  = 6/12  = 1/2.

3- ניתן לפתור שאלה זו בשתי דרכים:
דרך 1:
בדרך זו נסתכל אל
כאשר בועטים 2 פעמים יש בסך הכל 3 אפשרויות:
1)לא להבקיע גול. 2)להבקיע גול אחד. 3)להבקיע 2 גולים.
לכן הבקעת גול 1 צריכה להשלים את את שתי ההסתברויות שמצאנו בסעיפים 1 ו- 2 ל 1.
לכן:
0.25= 1-0.5-0.25
תשובה: ההסתברות להבקיע גול פעם אחת היא 0.25.

דרך 2:
בדרך זו נחשב ישירות את ההסתברויות.
– להבקיע בראשון ולהחמיץ בשני.
– להחמיץ בראשון ולהבקיע בשני.
לאחר מיכן יש לחבר את ההסתברויות להבקיע בראשון ולהחמיץ בשני:
1/12 = (1/3)  * (1/4)
להחמיץ בראשון ולהבקיע בשני:
1/6 = 2/12 = (2/3) * (1/4)

נחבר את ההסתברויות:
0.25 = 1/4 = 3/12 = 1/6 + 1/12.

הערה: איזו דרך מבין שני הדרכים עדיפה?
הדרך הראשונה קצרה ודורשת פחות חישובים – אבל הסכנה בה היא שנשמיט את אחת המאורעות  – כלומר מה שנחשוב שהוא המאורע המשלים לא יהיה באמת המאורע המשלים. במקרה זה נאבד חלק ניכר מהניקוד.
הדרך השנייה ארוכה יותר ודורשת ריכוז, קפדנות ותשומת לב לפרטים קטנים.

תרגיל 7: שני מאורעות, מאורעות בילתי תלויים

מסובבים שני גלגלי מזל, כל גלגל מסתובב פעם אחת.
על גלגל אחד רשומים המספרים 1,2,3.
על גלגל שני רשומים המספרים 1,2.

  1. מה ההסתברות לקבל בשני הגלגלים 2?
  2. מה ההסתברות לקבל בשני הגלגלים מספר אי זוגי?

הסתברות שני מאורעות

פתרון

1. ההסתברות לקבל בגלגל הראשון 2 היא 1/2.
בגלגל השני ההסתברות 1/3.
ההסתברות ששני הדברים יקרו בו זמנית היא:
1/6 = (1/2) * (1/3)

2. ההסתברות לקבל בגלגל הראשון 1 היא 1/2.
ההסתברות לקבל בגלגל השני 1 או 3 היא 2/3.
ההסתברות ששני הדברים יקרו בו זמנית היא:
1/3 = (1/2) * (2/3)

תרגיל 8: הסתברות מותנית, הסתברות של שני מאורעות

בשכבת בית ספר 120 תלמידים.
1/4 מהתלמידים בשכבה גרים במרחק של עד 4 ק"מ מבית הספר.
1/10 מתלמידי השכבה מאחרים לבית ספר.
1/5 מהתלמידים הגרים במרחק של של 4 ק"מ מבית הספר מאחרים לבית הספר.

  1. מה ההסתברות שתלמיד כלשהו בשכבה מאחר לבית ספר?
  2. מה ההסתברות שתלמיד מאחר לבית ספר אם ידוע שהוא גר במרחק של עד 4 ק"מ מבית ספר?
  3. מה ההסתברות שתלמיד גם מאחר לבית ספר וגם גר במרחק 4 ק"מ מבית ספר?

פתרון

1.ההסתברות היא 1/10 = 0.1.

2. ההסתברות היא 1/5= 0.2.

3. ההסתברות היא (1/4) * (1/5) = 1/20 = 0.05.

נספח: תרגילי וידאו

סיימתי לכתוב את הדף וחשבתי שהוא דף טוב העונה לצרכים של כיתה ט.
לאחר מיכן כתבתי דף אחר הכולל סרטוני וידאו עבור תלמידי כיתה יא ברמת 3 יחידות.
ואז חשבתי שהסרטונים יכולים להתאים גם לכאן.

לכן, הסרטונים הללו הם לא חובה, אבל בכול שאלה בהסתברות הניסוח הוא קצת שונה והניסוח יכול להכשיל.
אני ממליץ לקרוא את השאלות, אם אתם יודעים אז לדלג ואם לא ללחוץ play.

שאלה שאלות

תגובה אחת בנושא “הסתברות כיתה ט

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.